等差数列知识点解读

第1页共6页等差数列一、学习目标：等差数列的概念、性质及前n项和求法。1.设数列na的前n项和为nS．已知5a1，13nnnaS，*nN．设3nnnbS，求数列nb的通项公式；解：依题意，113nnnnnSSaS，即123nnnSS，由此得1132(3)nnnnSS．因此，所求通项公式为nnnn23-Sb。2．设数列{}na是递增等差数列，前三项的和为12，前三项的积为48，则它的首项为2．3．已知等差数列{}na的公差0d，且139,,aaa成等比数列，则1392410aaaaaa1316．【考点梳理】1.在解决等差数列问题时，如已知，a1，an，d，nS，n中任意三个，可求其余两个。2.补充的一条性质1）项数为奇数21n的等差数列有：1snsn奇偶nssaa奇偶中，21(21)nnsna2）项数为偶数2n的等差数列有：1nnsasa奇偶，ssnd偶奇21()nnnsnaa3.等差数列的判定：{an}为等差数列数”）（缺常数项的“二次函的“一次函数”）（关于（定义）BnAnSnBAnaaaadaannnnnnn22112即：*),2(2(11n1nNnnaaaddaaannnn为常数）｝｛BnAnsbknann2；4.三个数成等差可设：a，a＋d，a＋2d或a－d，a，a＋d；四个数成等差可设：a－3d，a－d，a＋d，a＋3d.5．等差数列与函数：1）等差数列通项公式与一次函数的关系：从函数的角度考查等差数列的通项公式：an=a1+(n-1)d=d·n+a1-d,an是关于n的一次式；从图像上看，表示等差数列的各点（n,na）均匀排列在一条直线上，由两点确定一条直线的性质，不难得出，任两项可以确定一个等差数列.k=d=11naan，d=mnaamn，由此联想点列（n，an）所在直线的斜率.2）点)S(n,n在没有常数项的二次函数2nSpnqn上。其中，公差不为0.6.等差数列前n项和最值的求法（结合二次函数的图象与性质理解）1）若等差数列na的首项10a，公差0d，则前n项和nS有最大值。（ⅰ）若已知通项na，则nS最大100nnaa；（ⅱ）若已知2nSpnqn，则当n取最靠近2qp的非零自然数时nS最大；2）若等差数列na的首项10a，公差0d，则前n项和nS有最小值（ⅰ）若已知通项na，则nS最小100nnaa；第2页共6页（ⅱ）若已知2nSpnqn，则当n取最靠近2qp的非零自然数时nS最小。7.等差数列的定义、通项公式、求和公式、性质等等差数列定义{an}为等差数列an+1-an=d（常数），n∈N+2an=an-1+an+1（n≥2，n∈N+）通项公式1）na=1a+（n-1）d=ka+（n-k）d；na=dn+1a-dbkn2）推广：an=am+（n－m）d.3）变式：a1=an－（n－1）d，d=11naan，d=mnaamn，由此联想点列（n，an）所在直线的斜率.求和公式1）nBnA)2(22)1(2)(S21211ndanddnnnaaannn2）变式：21naa=nSn=naaan21=a1+（n－1）·2d=an+（n－1）·（－2d）.等差中项1）等差中项：若a、b、c成等差数列，则b称a与c的等差中项，且b=2ca；a、b、c成等差数列是2b=a+c的充要条件.2）推广：2na=mnmnaa重要性质1mnlkmnlkaaaa(反之不一定成立)；特别地,当2mnp时,有2mnpaaa；特例：a1+an=a2+an-1=a3+an-2=…。2下标成等差数列且公差为m的项ak，ak+m，ak+2m，…组成的数列仍为等差数列，公差为md.3nnnnnsssss232,,成等差数列。4)(11nmnmaanaadnmn5增减性为递增数列na0d为常数列na0d为递减数列na0d其它性质1an=am+（n－m）d.2若数列{an}是公差为d的等差数列，则数列{λan+b}（λ、b为常数）是公差为λd的等差数列；若{bn}也是公差为d的等差数列，则{λ1an+λ2bn}（λ1、λ2为常数）也是等差数列且公差为λ1d+λ2d.3an=an+b，即an是n的一次型函数，系数a为等差数列的公差；Sn=an2+bn，即Sn是n的不含常数项的二次函数；三、合作探究：题型1等差数列的基本运算例1在等差数列{an}中，(1)已知a15＝10，a45＝90，求a60；(2)已知S12＝84，S20＝460，求S28；(3)已知a6＝10，S5＝5，求a8和S8．第3页共6页解：(1)方法一：38382904410141145115dadaadaa∴a60＝a1＋59d＝130．方法23815451545aamnaadmn，an＝am＋(n－m)da60＝a45＋(60－45)d＝90＋15×38＝130．(2)不妨设Sn＝An2＋Bn，∴172460202084121222BABABA∴Sn＝2n2－17n∴S28＝2×282－17×28＝1092(3)∵S6＝S5＋a6＝5＋10＝15，又S6＝2)10(62)(6161aaa∴15＝2)10(61a即a1＝－5而d＝31616aa∴a8＝a6＋2d＝16S8＝442)(881aa变式训练1设{an}为等差数列，Sn为数列{an}的前n项和，已知S7=7，S15=75，Tn为数列{nSn}的前n项和，求Tn.解：设等差数列{an}的公差为d，则Sn=na1+21n（n－1）d.∵S7=7，S15=75，∴,7510515,721711dada即.57,1311dada解得a1=－2，d=1.∴nSn=a1+21（n－1）d=－2+21（n－1）=25n.∴11nSn－nSn=21.∴数列{nSn}是等差数列，其首项为－2，公差为21.∴Tn=41n2－49n.小结与拓展：基本量的思想：常设首项、公差及首项，公比为基本量，借助于消元思想及解方程组思想等。等差数列中，已知五个元素a1，an，n，d，Sn中的任意三个，便可求出其余两个.题型2等差数列的判定与证明例2已知数列{an}满足2an＋1＝an＋an＋2(n∈N*)，它的前n项和为Sn，且a3＝5，S6＝36.求数列{an}的通项公式；解：∵2an＋1＝an＋an＋2，∴{an}是等差数列，设{an}的首项为a1，公差为d，由a3＝5，S6＝36得a1＋2d＝56a1＋15d＝36，解得a1＝1，d＝2.∴an＝2n－1.变式训练2在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝2an＋2n.设bn＝an2n－1，证明：数列{bn}是等差数列；证明：由已知an＋1＝2an＋2n得bn＋1＝an＋12n＝2an＋2n2n＝an2n－1＋1＝bn＋1.又b1＝a1＝1，因此{bn}是首项为1，公差为1的等差数列．小结与拓展：证明数列{an}是等差数列的两种基本方法是：1）利用定义，证明an－an－1（n≥2）为常数；2）利用等差中项，即证明2an=an－1+an+1（n≥2）.题型3等差数列的性质例3设等差数列na的首项及公差均是正整数，前n项和为nS，且11a，46a，312S，则2010a=___．答案：4020变式训练3在等差数列{an}中，已知log2(a5＋a9)＝3，则等差数列{an}的前13项的和第4页共6页S13＝________.答案：52解：∵log2(a5＋a9)＝3，∴a5＋a9＝23＝8.∴S13＝13×(a1＋a13)2＝13×(a5＋a9)2＝13×82＝52.小结与拓展：解决等差（比）数列的问题时，通常考虑两类方法：①基本量法，即运用条件转化成关于a1和d（q）的方程；②巧妙运用等差（比）数列的性质（如下标和的性质、子数列的性质、和的性质）.一般地，运用数列的性质，可化繁为简.题型4等差数列的前n项和及最值问题例4设等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a3=12，S12＞0，S13＜0.（1）求公差d的取值范围；（2）指出S1，S2，S3，…，S12中哪一个最大，并说明理由.解：（1）a3=12，∴a1=12－2d，解得a12=12+9d，a13=12+10d.由S12＞0，S13＜0，即2)(12121aa＞0，且2)(13131aa＜0，解之得－724＜d＜－3.（2）易知a7＜0，a6＞0，故S6最大.变式训练4设等差数列na的前n项和为nS,若111a,466aa,则当nS取最小值时,n等于(A)A．6B．7C．8D．9【解析】设该数列的公差为d，则461282(11)86aaadd，解得2d，所以22(1)11212(6)362nnnSnnnn，所以当6n时，nS取最小值。小结与拓展：等差数列的前n项和为nS，在0d时，有最大值.如何确定使nS取最大值时的n值，有两种方法：一是求使0,01nnaa，成立的n值；二是由ndandSn)2(212利用二次函数的性质求n的值.2.等差数列{an}中，当a1＜0，d＞0时，数列{an}为递增数列，Sn有最小值；当a1＞0，d＜0时，数列{an}为递减数列，Sn有最大值；当d=0时，{an}为常数列.3.注意方程思想、整体思想、分类讨论思想、数形结合思想的运用.五、检测巩固：1．有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个书的和是12，求这四个数．解：设这四个数为：2(),,,adadaada，则2()16212adadaad解得：48ad或96ad，所以所求的四个数为：4,4,12,36；或15,9,3,1．2．由正数组成的等比数列{}na，若前2n项之和等于它前2n项中的偶数项之和的11倍，第3项与第4项之和为第2项与第4项之积的11倍，求数列{}na的通项公式．第5页共6页第6页共6页