有理数的四则运算

1/14预习课程˙有理数的四则运算我们已经熟悉正数的加法运算，然而实际问题中做加法运算的数有可能超出正数范围.例如，足球循环赛中，可以把进球数记为正数，失球数记为负数，他们的和叫做净胜球数.章前言中，红队进4个球，失2个球；蓝队进1个球，失1个球.于是红队的净胜球为：4+（-2）黄队的净胜球为：1+（-1）这里就用到了正数和负数的加法.下面我们来借助数轴来讨论有理数的加法：我们先规定，一个物体作左右方向的运动，我们规定向左为负，向右为正.向右运动5m记作5m，向左运动5m记作-5m（1）如果物体先向右运动5m，再向右运动3m，那么两次运动后总的结果：物体从起点向右运动了8m，写成算式就是：5+3=8（2）如果物体先向左运动5m，再向左运动3m，那么两次运动后总的结果：物体从起点向左运动了8m，写成算式就是：（-5）+（-3）=-8这个运算也可以用数轴表示，其中假设原点O为运动起点（3）如果物体先向右运动5m，再向左运动3m，那么两次运动后总的结果：物体从起点向右运动了2m，写成算式就是：5+（-3）=2这个运算也可以用数轴表示，其中假设原点O为运动起点我们再次借助数轴来讨论以下情况物体两次运动的结果：（1）先向右运动3m，再向左运动5m，物体从起点向_______运动了_______m；知识引入有理数的四则运算2/14预习课程˙有理数的四则运算（2）先向右运动5m，再向左运动5m，物体从起点向____运动了_____m；（3）先向左运动5m，再向右运动5m，物体从起点向____运动了_____m.这三种情况运动结果的算是如下：3+（-5）=-25+（-5）=0（-5）+5=0如果物体第1秒向右（或左）运动5m，第2秒原地不动，两秒后物体从起点向右（或左）运动了5m，写成算是就是5+0=5或（-5）+0=-5一、有理数的加法通过上面的算式我们发现有理数加法的运算法则：有理数加法法则：①同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加.②绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值.③一个数同0相加，仍得这个数.有理数加法的运算步骤：法则是运算的依据，根据有理数加法的运算法则，可以得到加法的运算步骤：①确定和的符号；②求和的绝对值，即确定是两个加数的绝对值的和或差.有理数加法的运算律：①两个加数相加，交换加数的位置，和不变.abba(加法交换律)②三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变.()()abcabc(加法结合律)探究应用：（1）下列运算中正确的是()．(A)(＋8)＋(－10)＝－(10－8)＝－2(B)(－3)＋(－2)＝－(3－2)＝－1(C)(－5)＋(＋6)＝＋(6＋5)＝＋11(D)(－6)＋(－2)＝＋(6＋2)＝＋8（2）足球比赛中，甲队攻入乙队两球，同时被乙队攻入五球，则计算甲队净胜球数的算式为__________________．（3）－2的相反数与12的倒数的和的绝对值等于______．有理数加法运算规律：我们以前学过加法交换律、结合律，在有理数的加法中它们还适用吗？新知学习3/14预习课程˙有理数的四则运算计算30+(-20)(-20)+30两次所得的和相同吗？换几个加数再试一试.计算[8+(-5)]+(-4)8+[(-5)+(-4)]两次所得的和相同吗？换几个加数再试一试.我们可以得到，在有理数的加法中：两个数相加，交换加数的位置，和不变.-----加法交换律：ab______三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变.----加法结合律：()abc_______探究应用：（1）7(10.5)12.520（2）(＋7)＋(－21)＋(－7)＋(＋21)（3）0＋(－3.71)＋(＋1.71)－(－5)（4）)511()72()51()73(（5）)215()726()5.15()753(小结：有理数加法的运算技巧：①分数与小数均有时，应先化为统一形式.②带分数可分为整数与分数两部分参与运算.③多个加数相加时，若有互为相反数的两个数，可先结合相加得零.④若有可以凑整的数，即相加得整数时，可先结合相加.⑤若有同分母的分数或易通分的分数，应先结合在一起.⑥符号相同的数可以先结合在一起.4/14预习课程˙有理数的四则运算二、有理数的减法在实际问题中，有事还要涉及有理数的减法.例如，某地一天的气温是34C，这天的温差就是4-（-3）.这里用到正数和负数的减法.减法是与加法想法的运算，计算4-（-3），上就是要求出一个数x，使得x与-3相加得4.因为7与-3相加得4，所以x应该是7，即4-（-3）=7另一方面，我们知道：4+（+3）=7于是：4-（-3）=4+（+3）我们再尝试着换几个数试试：9-8,9+（-8）；15-7,15+（-7），从中又能有新发现吗？有理数减法法则：减去一个数，等于加这个数的相反数.()abab有理数减法的运算步骤：①把减号变为加号（改变运算符号）②把减数变为它的相反数（改变性质符号）③把减法转化为加法，按照加法运算的步骤进行运算.探究应用：（1）计算(1)(＋15)－(－11)＝______；(2)(＋15)－(＋11)＝______；(3)0－(＋3.75)＝______；(4)｜－4｜－｜－9｜＝______；(5)－9－______＝0(6)a－b＝a＋______．（2）判断正误()两数之差一定小于被减数．()若两数的差为正数，则两数都为正数．()零减去一个数仍得这个数．()一个数减去一个负数，差一定大于被减数．下面我们来研究怎样进行有理数的加减混合运算：例：计算（-20）+（+3）-（-5）-（+7）分析：这个式子中有加法，也有减法，可以根据有理数减法法则，把它改写为（-20）+（+3）+（+5）+（-7）使问题转化为几个有理数的加法.（-20）+（+3）-（-5）-（+7）=（-20）+（+3）+（+5）+（-7）=[（-20）+（-7）]+[（+5）+（+3）]=(-27)+(+8)=-195/14预习课程˙有理数的四则运算式子（-20）+（+3）+（+5）+（-7）是-20,3,5，-7这四个数的和，为书写简单，可以省略式子中的括号和加号，把它写为-20+3+5-7，那么上述运算过程也可以简单地写为：（-20）+（+3）-（-5）-（+7）=-20+3+5-7=-20-7+3+5=-27+8=-19归纳：引入相反数后，加减混合运算可以统一为加法运算：_____abcab三、有理数的乘法我们已经熟悉正数及0的乘法运算，引入负数以后，怎么进行有理数的乘法运算呢？下面，我们仍然借助数轴来研究有理数的乘法：上图中，一只蜗牛沿直线l爬行，它现在的位置恰在l上的点O为区分方向，我们规定：向左为负，向右为正；为区分时间，我们规定：现在前为负，现在后为正（1）如果蜗牛一直以每分2cm的速度向右爬行，3分后它在什么位置？3分钟后蜗牛应在l上点O右边6cm处，这可以表示为：(2)(3)6（2）如果蜗牛一直以每分2cm的速度向左爬行，3分后它在什么位置？3分钟后蜗牛应在l上点O左边6cm处，这可以表示为：(2)(3)6（3）如果蜗牛一直以每分2cm的速度向右爬行，3分前它在什么位置？3分钟后蜗牛应在l上点O左边6cm处，这可以表示为：(2)(3)6（4）如果蜗牛一直以每分2cm的速度向左爬行，3分前它在什么位置？3分钟后蜗牛应在l上点O右边6cm处，这可以表示为：(2)(3)66/14预习课程˙有理数的四则运算观察上面四个式子，根据你对有理数乘法的思考，填空：正数乘正数积为_____数，负数乘正数积为_____数，正数乘负数积为_____数，负数乘负数积为_____数，乘积的绝对值等于各乘数绝对值的_____.于是，我们得到：有理数乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘.任何数同0相乘，都得0.探究应用：（1）下列计算正确的是()．(A)911)311()311((B)1172)218((C)766)71()7((D)1)31(3（2）直接将答案写在横线上：(1))54(43______；(2))4()85(______；(3)38)1923(______；(4))2.1()411(______．多个有理数相乘，可以把它们按顺序依次相乘.下列各式的积是正的还是负的？234(5),234(4)(5),2(3)(4)(5),(2)(3)(4)(5)几个不是0的数相乘，积的符号是负因数的个数之间有什么关系？归纳：几个不是0的数相乘，负因数的个数是_______时，积为正数；负因数的个数是_______时，积为负数；同时，我们还能得到有理数乘法运算律：①两个数相乘，交换因数的位置，积相等.abba(乘法交换律)②三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等.()abcabc(乘法结合律)③一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加.()abcabac(乘法分配律)有理数乘法法则的推广：①几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数的个数是偶数时，积为正数；负因数的个数是奇数时，积为负数.②几个数相乘，如果有一个因数为0，则积为0.③在进行乘法运算时，若有带分数，应先化为假分数，便于约分；若有小数及分数，一般先将小数化为分数，或凑整计算；利用乘法分配律及其逆用，也可简化计算.7/14预习课程˙有理数的四则运算探究应用：（1）式子)66()981()8.3(5.7)6(31的符号为______．（2）两个有理数之积是0，那么这两个有理数()．(A)至少有一个是0(B)都是0(C)互为倒数(D)互为相反数（3）,04.018)05.041110(54这个运算应用了()．(A)加法结合律(B)乘法结合律(C)乘法交换律(D)分配律（4）)83()154()52()433()322()211(四、有理数的除法怎样计算8(4)呢？根据除法的意义，这就是要求一个数，使它与（-4）相乘得8.因为(2)(4)8，所以8(4)2另一方面，我们有18()24，于是有18(4)8()24我们可以得到有理数除法法则：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数.1abab，(0b)两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除；0除以任何一个不等于0的数，都得0.有理数除法的运算步骤：首先确定商的符号，然后再求出商的绝对值.因为有理数的除法可以化成乘法，所以可以利用乘法的运算性质简化运算.乘除混合运算往往先将除法化成乘法，然后确定积的符号，最后就出结果例：515812.5()184254探究应用：（1）若两数之积为1，则这两数互为________；若两数之商为1，则这两数________；若两数之积为－1，则这两数互为________；若两数之商为－1，则这两数互为________．（2）零乘以________都得零，零除以________都得零．（3）化简下列分数：123=_______；4512=________.8/14预习课程˙有理数的四则运算（4）填空：(1))21()12(＝_______；(2))2533(2.5＝_______；(3)551)51(5_______；(4))45(545445＝_______；五、有理数的乘方求n个相同因数的积的运算叫做乘方，naaaa个记作na，乘方的结果叫做幂，在na中，a叫做底数，n叫做指数，读作a的n次幂。例如，49中，底数是9，指数是4，49读作9的4次方，或9的4次幂.一个数就可以看作这个数本身的一次方，