安全工程学 第1章第4-5节 安全科学的数理基础

第一章安全科学基础第四节安全科学的数理基础第五节安全科学的流变—突变规律一、基本逻辑运算和逻辑函数（一）基本逻辑运算逻辑代数又称布尔代数，是英国数学家GeorgeBoole在19世纪中叶创立的；是事故（件）逻辑分析方法的理论基础及计算工具。它比普通代数简单，它的变量仅有两个值：1和0；1或0并不表示两个数值，而是表示两种相对的逻辑状态；如：是与否、真与假、高与低、有与无、开与闭等；在逻辑代数中，最基本的逻辑关系有与﹑或﹑非3种。用逻辑符号表示时也称:与门、或门和非门；可以用一个表来表示Boole代数的基本逻辑运算。表1-1基本逻辑运算名称逻辑符号函数式含义与门z(ab)=ab1×1=11×0=0或门z(ab)=a+b1+1=11+0=10+0=0非门z(a)=a′a=1,a′=0a=0,a′=1与运算—也叫逻辑乘运算，简称逻辑乘。表示输入变量为a、b时，输出为z=a·b。其意义是决定事件z的条件a与b全部具备时，事件z才会发生，否则不会发生。或运算—也叫逻辑加运算，简称逻辑加。表示输入变量为a、b时，输出z=a+b。即决定事件z的条件a和b中只要有一个具备时z就会发生（包括全具备）。仅当a与b都不具备时，z才不会发生。非运算—也叫逻辑求反运算，简称逻辑非。表示输入变量为a时，输出z=a′，读作a非。即决定事件z的条件为a时，z与a相反，a存在z则不会发生，反之亦然。表1-1基本逻辑运算名称逻辑符号函数式含义与门z(ab)=ab1×1=11×0=0或门z(ab)=a+b1+1=11+0=10+0=0非门z(a)=a′a=1,a′=0a=0,a′=1(二)逻辑变量与逻辑函数一般来讲，如果输入变量a,b,c…的取值确定之后，输出变量z的值也就确定了。那么，就称z是abc…的逻辑函数，并写成：z=F(abc…)不管是变量还是函数，它们都只有两个取值(0与1)。(三)真值表描述逻辑函数，各个变量取值组合和函数值对应关系的表格叫做真值表。每个变量有2个取值，n个变量就有2n个不同的取值组合，以3个变量为例，有23=8个取值组合，对应的也有8个逻辑函数输出值，list如表1-2。0001111100110110010101010111010010010011101100101101000111100000a′b′c′a+b+cabcabc非或与函数变量值与运算中，只要有一个变量取值为0，则其函数输出值就为0。只有所有变量均取值为1，函数输出值才为1。或运算中，只要有一个变量取值为1，则其函数输出值就为1。只有所有变量均取值为0，函数输出值才为0。（四）布尔代数的运算法则与化简1．布尔代数的运算法则2．布尔化简化简的程序是：•①代数式如有括号应先去括号将函数展开；•②利用幂等法则，归纳相同的项；•③充分利用吸收法则直接化简。二、随机事件与概率计算在安全系统工程分析及可靠性工程中经常遇到对事件或系统的发生概率及故障率的计算，并常以此来评价系统的安全性或可靠性，在此先简要介绍相关的概念。（一）随机事件有三种事件：1必然事件，用S表示：在一定条件下必然发生的现象。例如，在地球上向上抛一石子必然会下落，太阳每天从东方升起等。2不可能事件，用表示：在一定条件下必然不发生的现象。例如，电场内同性电荷相互吸引是不可能的事件。3随机事件，常用大写的ABC等表示：指是在一定条件下可能发生，也可能不发生的现象。在相同的条件下，进行多次试验或观察，结果可能不止一个，且每次试验或观察之前无法预知确切的结果，呈现出不确定性。•例如，气手枪射击，运动员不论怎样控制射击，每次打的环数（弹着点）都不相同，而且在每次射击之前也无法断定弹着点的确切位置，属于随机事件。•再以掷骰子为例，分析以下事件各属于什么事件？事件描述发生可能性判断属于何种事件出现点数大于0出现点数为7出现点数是4伤亡事故及其相关因素，在一定条件下可能发生也可能不发生，故也属于随机事件。必然发生的必然事件S不可能发生不可能事件可能但不一定发生随机事件A事件之间的关系与事件的种类从图中可以看出，有三种情况均能使和事件发生：1.只有A发生而B不发生的情况；2.只有B发生而A不发生的情况；3.A和B均发生的情况；在A与B相交的区域。4.互斥事件设A、B是两个互斥事件，若事件A与事件B不能同时发生，亦即（A与B的积事件为不可能事件）。则称事件A与事件B是互斥（不相容）事件。例如掷一个骰子，“出现1点”和“出现2、3、4、5、6”不能同时发生，则它们是互斥的。两个互斥事件可用图1-6表示。BA从图1-6中可见：AB没有交集。5．事件的逆事件对于事件A、B，如果有：①，即A、B不能同时出现；②，即A、B一定有一个要出现。则称A、B为互逆（对立）事件，B称为事件A的逆事件，同样A也称为B的逆事件。一个事件A的逆事件常用表示。若把A看作是一个集合时，就是A的补集。•对立事件可用图1-7表示。BASBAAA注意：A、B互逆，则一定互斥；但A、B互斥不一定互逆。例如掷一个骰子，“出现偶数点”和“出现奇数点”不能同时发生，且非此即彼。这两事件互逆，而且互斥。但出现1点与出现2点虽然也是互斥，但可以都不出现，故不为互逆事件。6．差事件有A、B两事件，如果C发生就是事件A发生且事件B不发生的一个事件，我们则称事件C为事件A与事件B的差，记作。•两事件的差事件如图1-8所示：BACB差事件是图中的隐影区域，可是看成是B以外的矩形区域与A的交集。BABA故有：（二）频率与概率由于，所以随机事件的频率值介于0与1之间，即：0≤≤1。必然事件的频率恒等于1，即W(S)=1；不可能事件的频率恒等于0，即W（）=0；nm0)(AWnmAW/)(（1-1）1、频率若随机事件A在n次试验中发生了m次，则比值m／n称为随机事件A的频率（或相对频率），记作W（A），用公式表示如下：需注意的是：频率大小与试验的条件及试验的次数相关。在一组试验条件下，随着试验的次数n不断增加，比值m／n将趋于一恒定的值q，则称q为事件A在这组条件下发生的概率。记作：同样0≤≤1随机事件的频率与进行试验的次数有关，而随机事件的概率却是客观存在的。虽然进行一次试验并不能断定该事件是否一定发生，但是如果进行大量重复试验，随机事件的发生就会呈现出一定的规律性，这种规律称为随机事件的统计规律。qAQ)()(AQ0)(,1)(QSQPAP)(nmPAP/)(1)(0AP1）（SP0）（P2．概率的统计定义定义：在同一条件下进行n次重复试验，其中事件A出现m次，事件A的频率m／n随试验次数的变化稳定在某一个数值P，则定义事件A的概率为P，记为一般，数值P很难得到准确值，因此，实际上当n充分大时，可以用事件A的频率作为事件A的概率的近似值，即：由定义可以看出事件的概率与频率一样，同样有下列几个性质：3．概率的古典定义定义：一个随机试验，若：①只有有限个可能的结果（基本事件）；②每个结果的出现都是等可能的。则称这样的随机现象模型为古典概率。在古典概率中，如果基本事件的总数是n，而且事件A包含了其中的m个，则事件A的概率定义为：基本事件总数中所包含的基本事件数）（AnmAP/抛掷一枚硬币，求出现正面的概率，就属于古典概率模型，古典概率不需要通过做试验来统计求算。抛掷一枚质地均匀的骰子，由骰子的点数为奇数还是偶数来决定球赛的发球权，公平吗？同时抛掷两枚质地均匀的骰子，由两枚骰子的点数之和为奇数还是偶数来决定球赛的发球权，公平吗？均匀的骰子有6面，分别是1、2、3、4、5、6，故“抛掷一枚质地均匀的骰子的基本事件总数是6个。“抛掷一枚骰子出现奇数”这一事件A含了3个基本事件，即出现1、3、5点，故：出现奇数的概率为：3/6；出现偶数的概率也是3/6。所以抛掷一枚骰子以奇/偶数决定发球权是公平的。公平性决定于出现奇数还是偶数的概率：掷两枚质地均匀的骰子出现奇数或偶数这两个事件的概率又是多少呢？先看基本事件数，两颗骰子有以下这些组合：（1，1）（1，2）（1，3）（1，4）（1，5）（1，6）（2，2）（2，3）（2，4）（2，5）（2，6）（3，3）（3，4）（3，5）（3，6）（4，4）（4，5）（4，6）（5，5）（5，6）（6，6）共有基本事件总数：21个出现奇数的组合有：9个，概率为9/21;出现偶数的组合有：12个，概率为12/21;显然抛掷两枚骰子以奇/偶数决定发球权是不公平的！4．独立事件的概率计算在一组随机事件中，按事件的影响关系，又可分为独立事件与排斥事件。若A事件的发生与否，并不影响B事件的概率，反之亦然，则称两事件相互独立。即独立事件是一组概率互不影响的事件。设事件A,B,C,…,N发生的概率依次为：NCBAqqqq,,,,iNAiNCBANCBAqqqqqq),,,,(),,,,(NCBAi它们的逻辑积概率（独立事件是与门连接的）4．独立事件的概率计算在一组随机事件中，按事件的影响关系，又可分为独立事件与排斥事件。若A事件的发生与否，并不影响B事件的概率，反之亦然，则称两事件相互独立。即独立事件是一组概率互不影响的事件。设事件A,B,C,…,N发生的概率依次为：NCBAqqqq,,,,它们的逻辑和概率(独立事件是或门连接的)：),,,,(NCBAi)1(1)1()1)(1)(1(1()iNAiNcBANCBAqqqqqq5.非独立事件的概率计算独立事件的概率计算举例例1：某人有4把钥匙，其中2把能打开门。现随机地取1把钥匙试着开门，不能开门的就扔掉，问第二次才能打开门的概率是多少？若试过的钥匙不扔掉，这个概率又是多少？解：第一次未打开门（事件A）的概率是2/4；第二次打开门（事件B）的概率为2/3（扔掉一把后）故“第二次开门并打开这一事件”，是事件A与事件B与门连接的。故可以看成是AB两个独立事件的逻辑积。第二次才能打开门的概率=(2/4)×(2/3)=1/3。同理，钥匙不扔掉时的概率=(2/4)×(2/4)=1/44．独立事件的概率计算例2甲、乙2人各进行一次射击，如果2人击中目标的概率都是0.6，计算：（1）2人都击中目标的概率；（2）其中恰有一人击中目标的概率；（3）至少有1人击中目标的概率；（4）至多有1人击中目标的概率。解：三、可靠性及基本事件发生概率计算（一）可靠性的基本概念1.可靠性可靠性是指研究对象在规定条件下、规定时间内完成规定功能的能力。①规定的时间，一般指通常的时间概念，也有因对象不同而使用诸如次数、周期、距离等相当于时间指标的量。在人机系统中，由于目的和功能不同，对系统正常工作时间的要求也就不同，若没有时间的要求，就无法对系统在要求正常工作的时间内能否正常工作作出合理判断。因此，时间是可靠性指标的核心。②规定的条件：系统所处条件包括使用条件、维护条件、环境条件和操作条件。系统能否正常工作与上述各种条件密切相关。条件的改变，会直接改变系统的寿命，又时相差几倍甚至几十倍。③规定功能：系统的规定功能常用各种性能指标或技术指标来描述，人机系统在规定时间、规定条件下各项指标都能达到，则称系统完成了规定功能，否则称为“故障”或“失效”。因此对失效的判据是重要的，否则无据可依，使可靠性的判断失去依据。④能力：在可靠性定义中的“能力”具有统计意义，如：“平均无故障时间”长，可靠性就越高。由于人机系统相当广泛，且各有不同，因此，度量系统可靠性“能力”的指标也很多，如“可靠度”、“平均寿命”等。2．可靠度与不可靠度可靠度是可靠性的概率度量，通常记为R。是指研究对象在规定条件下、规定时间内完成规定功能的概率。不可靠度是指研究对象在规定的条件下和规定的时间内丧失规定功能的概率，又叫失效概率。通常记为F。可靠度和不可靠度是一完备事件组，所以有1FRFR1或只要求出不可靠度就可确定可靠度，反之亦然。不可靠度可以通过大量的统计实验得出：假设：共有N0个研究对象，在规定条件下工作到某规定时间tm时，有Nfm个研究对象失效。把工作时