集合的概念和运算

§1.1集合的概念与运算第一章集合与常用逻辑用语栏目导引教材回扣•夯实双基考点探究•讲练互动考向瞭望•把脉高考知能演练•轻松闯关教材回扣•夯实双基基础梳理1．集合与元素(1)集合中元素的特性：_______、________、_______．(2)集合与元素的关系①a属于集合A，用符号语言记作______.②a不属于集合A，用符号语言记作______.确定性互异性无序性a∈Aa∉A栏目导引教材回扣•夯实双基考点探究•讲练互动考向瞭望•把脉高考知能演练•轻松闯关(3)常见集合的符号表示(4)集合的表示法:_________、_______、Venn图法.数集自然数集非负整数集正整数集整数集有理数集实数集符号____________________NN＋ZQR列举法描述法栏目导引教材回扣•夯实双基考点探究•讲练互动考向瞭望•把脉高考知能演练•轻松闯关2.集合间的基本关系表示关系文字语言符号语言相等集合A与集合B中的所有元素都相同A＝B子集A中任意一个元素均为B中的元素_____或________真子集A中任意一个元素均为B中的元素,且B中至少有一个元素不是A中的元素______或_________空集空集是任何集合的子集,是任何____集合的真子集∅⊆A,∅B(B≠∅)A⊆BB⊇AABBA非空栏目导引教材回扣•夯实双基考点探究•讲练互动考向瞭望•把脉高考知能演练•轻松闯关思考探究集合{∅}是空集吗?∅、{0}、{∅}之间有何关系?提示:不是.∅是不含任何元素的集合,{∅}表示含有一个元素∅的集合,{0}表示含有一个元素0的集合,因此有∅{0}.若把∅当作元素,则有∅∈{∅},若把∅当作集合,则有∅{∅}.栏目导引教材回扣•夯实双基考点探究•讲练互动考向瞭望•把脉高考知能演练•轻松闯关3.集合的基本运算集合的并集集合的交集集合的补集符号表示A∪B______若全集为U,则集合A的补集为∁UA图形表示意义{x|x∈A,或x∈B}{x|x∈A,且x∈B}∁UA＝{x|x∈U,且x∉A}性质A⊆A∪BB⊆A∪BA∪B＝B⇔A⊆BA∩B⊆AA∩B⊆BA∩B＝A⇔A⊆B∁U(A∩B)＝(∁UA)∪(∁UB)∁U(A∪B)＝(∁UA)∩(∁UB)A∩B栏目导引教材回扣•夯实双基考点探究•讲练互动考向瞭望•把脉高考知能演练•轻松闯关课前热身1.(2011·高考浙江卷)若P＝{x|x1},Q＝{x|x－1},则()A.P⊆QB.Q⊆PC.∁RP⊆QD.Q⊆∁RP解析:选C.根据子集的概念,显然A、B错误;又∁RP＝{x|x≥1},Q＝{x|x－1},∴∁RP⊆Q正确,故选C.栏目导引教材回扣•夯实双基考点探究•讲练互动考向瞭望•把脉高考知能演练•轻松闯关2.若集合M＝{－1,0,1},N＝{0,1,2},则M∩N等于()A.{0,1}B.{－1,0,1}C.{0,1,2}D.{－1,0,1,2}解析:选A.∵M＝{－1,0,1},N＝{0,1,2},∴M∩N＝{0,1}.栏目导引教材回扣•夯实双基考点探究•讲练互动考向瞭望•把脉高考知能演练•轻松闯关解析:当m＝0时,B＝∅,此时B⊆A.当m≠0时,B＝xx＝1m,由B⊆A得1m＝1,∴m＝1.∴m＝0或1.3.(教材习题改编)已知集合A＝{1},B＝{x|mx－1＝0},若B⊆A,则m的值为________.答案:0或1栏目导引教材回扣•夯实双基考点探究•讲练互动考向瞭望•把脉高考知能演练•轻松闯关4.(2012·南昌质检)已知M＝{x|lgx2＝0},N＝{x|2－12x＋122,x∈Z},则M∩N＝________.解析:∵M＝{x|lgx2＝0}＝{－1,1},N＝{x|2－12x＋122,x∈Z}＝{－1,0}.∴M∩N＝{－1}.答案:{－1}栏目导引教材回扣•夯实双基考点探究•讲练互动考向瞭望•把脉高考知能演练•轻松闯关考点探究•讲练互动例1考点突破考点1集合的概念设a,b∈R,集合{a,ba,1}＝{a2,a＋b,0},求a2012＋b2012的值.栏目导引教材回扣•夯实双基考点探究•讲练互动考向瞭望•把脉高考知能演练•轻松闯关【解】由已知得a≠0,∴ba＝0,∴b＝0.则在集合{a2,a＋b,0}中,a2＝1.∴a＝±1.又a＝1时,不合题意.∴a＝－1.∴a2012＋b2012＝(－1)2012＝1.栏目导引教材回扣•夯实双基考点探究•讲练互动考向瞭望•把脉高考知能演练•轻松闯关【规律小结】(1)解决此类题目,应利用集合相等的定义,首先分析已知元素与另一个集合中的哪一个元素相等,有几种情况等,然后列方程组,求解.本例中从元素“0”着手分析,问题变得简单.(2)对于含有字母的集合,在求出字母的值后,要注意检验集合是否满足互异性.栏目导引教材回扣•夯实双基考点探究•讲练互动考向瞭望•把脉高考知能演练•轻松闯关备选例题(教师用书独具)对于任意两个正整数m,n,定义某种运算(运算符号用#表示):当m,n都为正偶数或正奇数时,m#n＝m＋n;当m,n中一个为正奇数,另一个为正偶数时,m#n＝mn,则在上述定义下,集合M＝{(a,b)|a#b＝36,a∈N＋,b∈N＋}中元素个数为()A.40B.41C.36D.9例栏目导引教材回扣•夯实双基考点探究•讲练互动考向瞭望•把脉高考知能演练•轻松闯关【解析】当m,n都为正偶数或正奇数时,36＝1＋35＝2＋34＝3＋33＝…＝17＋19＝18＋18,共18个等式,能组成的实数对(a,b)为18×2－1＝35对;当m,n中一个为正奇数,另一个为正偶数时,36＝1×36＝3×12＝4×9,能组成的实数对(a,b)为2×3＝6对,因此集合中共有41个元素,故选B.【答案】B栏目导引教材回扣•夯实双基考点探究•讲练互动考向瞭望•把脉高考知能演练•轻松闯关变式训练1.(2011·高考课标全国卷)已知集合M＝{0,1,2,3,4},N＝{1,3,5},P＝M∩N,则P的子集共有()A.2个B.4个C.6个D.8个解析:选B.由已知得P＝M∩N＝{1,3},∴P的子集有22＝4个.栏目导引教材回扣•夯实双基考点探究•讲练互动考向瞭望•把脉高考知能演练•轻松闯关考点2集合间的基本关系若集合P＝{x|x2＋x－6＝0},S＝{x|ax＋1＝0},且S⊆P,求由a的可能取值组成的集合.例2栏目导引教材回扣•夯实双基考点探究•讲练互动考向瞭望•把脉高考知能演练•轻松闯关【解】由题意得,P＝{－3,2}.当a＝0时,S＝∅,满足S⊆P;当a≠0时,方程ax＋1＝0的解为x＝－1a,为满足S⊆P,可使－1a＝－3或－1a＝2,即a＝13或a＝－12.故所求集合为0，13，－12.栏目导引教材回扣•夯实双基考点探究•讲练互动考向瞭望•把脉高考知能演练•轻松闯关【规律小结】(1)分析集合关系时,首先要分析、简化每个集合.(2)此类问题通常借助数轴,利用数轴分析法,将各个集合在数轴上表示出来,以形定数,还要注意验证端点值,做到准确无误,一般含“＝”用实心点表示,不含“＝”用空心点表示.(3)对两集合A、B,当A⊆B时,不要忘记A＝∅的情况.栏目导引教材回扣•夯实双基考点探究•讲练互动考向瞭望•把脉高考知能演练•轻松闯关备选例题(教师用书独具)例已知集合A＝{x|0＜ax＋1≤5},集合B＝x－12＜x≤2.(1)若A⊆B,求实数a的取值范围;(2)A、B能否相等?若能,求出a的值;若不能,试说明理由.栏目导引教材回扣•夯实双基考点探究•讲练互动考向瞭望•把脉高考知能演练•轻松闯关【解】A中不等式的解集应分三种情况讨论:①若a＝0,则A＝R;②若a＜0,则A＝x4a≤x＜－1a;③若a＞0,则A＝x－1a＜x≤4a.栏目导引教材回扣•夯实双基考点探究•讲练互动考向瞭望•把脉高考知能演练•轻松闯关(1)当a＝0时,若A⊆B,此种情况不存在.当a＜0时,若A⊆B,如图,则4a＞－12－1a≤2,∴a＜－8a≤－12,∴a＜－8.当a＞0时,若A⊆B,如图,栏目导引教材回扣•夯实双基考点探究•讲练互动考向瞭望•把脉高考知能演练•轻松闯关则－1a≥－124a≤2,∴a≥2a≥2,∴a≥2.综上知,当A⊆B时,a的取值范围是(－∞,－8)∪[2,＋∞).栏目导引教材回扣•夯实双基考点探究•讲练互动考向瞭望•把脉高考知能演练•轻松闯关(2)若A＝B,则由(1)知a0.当a0时,由－1a＝－124a＝2,解得a＝2.综上,若A＝B,a的值为2.栏目导引教材回扣•夯实双基考点探究•讲练互动考向瞭望•把脉高考知能演练•轻松闯关变式训练2.若集合A＝{x|－2≤x≤5},B＝{x|m＋1≤x≤2m－1},且B⊆A,求由m的可能取值组成的集合.解:当m＋12m－1,即m2时,B＝∅,满足B⊆A;栏目导引教材回扣•夯实双基考点探究•讲练互动考向瞭望•把脉高考知能演练•轻松闯关若B≠∅,且满足B⊆A,如图所示,则m＋1≤2m－1m＋1≥－22m－1≤5即m≥2m≥－3m≤3.∴2≤m≤3.故m2或2≤m≤3,即所求集合为{m|m≤3}.栏目导引教材回扣•夯实双基考点探究•讲练互动考向瞭望•把脉高考知能演练•轻松闯关考点3集合的运算(1)(2011·高考北京卷)已知集合P＝{x|x2≤1},M＝{a}.若P∪M＝P,则a的取值范围是()A.(－∞,－1]B.[1,＋∞)C.[－1,1]D.(－∞,－1]∪[1,＋∞)(2)(2011·高考天津卷)已知集合A＝{x∈R||x－1|2},Z为整数集,则集合A∩Z中所有元素的和等于________.例3栏目导引教材回扣•夯实双基考点探究•讲练互动考向瞭望•把脉高考知能演练•轻松闯关【解析】(1)因为P∪M＝P,所以M⊆P,即a∈P,得a2≤1,解得－1≤a≤1,所以a的取值范围是[－1,1],故选C.(2)A＝{x|－1x3},A∩Z＝{0,1,2},A∩Z中所有元素之和等于3.故填3.【答案】(1)C(2)3栏目导引教材回扣•夯实双基考点探究•讲练互动考向瞭望•把脉高考知能演练•轻松闯关【规律小结】集合之间的并、交、补运算,运算结果仍然是集合,区分交集与并集的关键是“且”与“或”,在处理有关交集与并集的问题时,常常从这两个字眼出发去挖掘题设条件,并结合Venn图或数轴进行直观表达,达到解题的目的.栏目导引教材回扣•夯实双基考点探究•讲练互动考向瞭望•把脉高考知能演练•轻松闯关备选例题(教师用书独具)已知集合A＝{x|x2－2x－3≤0},B＝{x|x2－2mx＋m2－4≤0,x∈R,m∈R}.(1)若A∪B＝A,求实数m的值;(2)若A∩B＝{x|0≤x≤3},求实数m的值;(3)若A⊆∁UB,求实数m的取值范围.例栏目导引教材回扣•夯实双基考点探究•讲练互动考向瞭望•把脉高考知能演练•轻松闯关【解】A＝{x|－1≤x≤3},B＝{x|[x－(m－2)][x－(m＋2)]≤0,x∈R,m∈R}＝{x|m－2≤x≤m＋2}.(1)∵A∪B＝A,∴B⊆A,如图:有m－2≥－1m＋2≤3,∴m≥1m≤1,∴m＝1.栏目导引教材回扣•夯实双基考点探究•讲练互动考向瞭望•把脉高考知能演练•轻松闯关(2)∵A∩B＝{x|0≤x≤3},∴m－2＝0m＋2≥3,∴m＝2.(3)∁UB＝{x|xm－2或xm＋2}.∵A⊆∁UB,∴m－23或m＋2－1,∴m5或m－3.栏目导引教材回扣•夯实双基考点探究•讲练互动考向瞭望•把脉高考知能演练•轻松闯关变式训练3.设集合A＝{x|x2－3x＋2＝0},B＝{x|x2＋2(a＋1)x＋(a2－5)＝0}.若A∩B＝{2},则实数a的值为________.解析:由x2－3x＋2＝0得x＝1或x＝2,故集合A＝{1,2}.∵A∩B＝{2},∴2∈B,代入集合B中的方程,得a2＋4a＋3＝0⇒a＝－1或a＝－3.栏目导引教材回扣