二次函数压轴题最短路径问题

最短路径问题——和最小【方法说明】“和最小”问题常见的问法是，在一条直线上面找一点，使得这个点与两个定点距离的和最小（将军饮马问题）．如图所示，在直线l上找一点P使得PA＋PB最小．当点P为直线AB′与直线l的交点时，PA＋PB最小．【方法归纳】①如图所示，在直线l上找一点B使得线段AB最小．过点A作AB⊥l，垂足为B，则线段AB即为所求．②如图所示，在直线l上找一点P使得PA＋PB最小．过点B作关于直线l的对称点B′，BB′与直线l交于点P，此时PA＋PB最小，则点P即为所求．③如图所示，在∠AOB的边AO，BO上分别找一点C，D使得PC＋CD＋PD最小．过点P分别作关于AO，BO的对称点E，F，连接EF，并与AO，BO分别交于点C，D，此时PC＋CD＋PD最小，则点C，D即为所求．④如图所示，在∠AOB的边AO，BO上分别找一点E，F使得DE＋EF＋CF最小．分别过点C，D作关于AO，BO的对称点D′，C′，连接D′C′，并与AO，BO分别交于点E，F，此时DE＋EF＋CF最小，则点E，F即为所求．lBAlPBAB'lAlABlBAlPBAB'OABPDCOABPFECBAODEFCBAODD'C'⑤如图所示，长度不变的线段CD在直线l上运动，在直线l上找到使得AC＋BD最小的CD的位置．分别过点A，D作AA′∥CD，DA′∥AC，AA′与DA′交于点A′，再作点B关于直线l的对称点B′，连接A′B′与直线l交于点D′，此时点D′即为所求．⑥如图所示，在平面直角坐标系中，点P为抛物线（y＝14x2）上的一点，点A（0，1）在y轴正半轴．点P在什么位置时PA＋PB最小？过点B作直线l：y＝－1的垂线段BH′，BH′与抛物线交于点P′，此时PA＋PB最小，则点P即为所求．【典型例题】1．（13广东）已知二次函数y＝x2－2mx＋m2－1．（1）当二次函数的图象经过坐标原点O（0，0）时，求二次函数的解析式；（2）如图，当m＝2时，该抛物线与y轴交于点C，顶点为D，求C、D两点的坐标；（3）在（2）的条件下，x轴上是否存在一点P，使得PC＋PD最短？若P点存在，求出P点的坐标；若P点不存在，请说明理由．lABDClD'ABB'A'DCyxAOBPyxlP'HAOBPH'yxDCO【思路点拨】（1）由二次函数的图象经过坐标原点O（0，0），直接代入求出m的值即可；（2）把m＝2代入求出二次函数解析式，令x＝0，求出y的值，得出点C的坐标；利用配方法或顶点坐标公式求出顶点坐标即可；（3）根据当P、C、D共线时根据“两点之间，线段最短”得出PC＋PD最短，求出CD的直线解析式，令y＝0，求出x的值，即可得出P点的坐标．【解题过程】解：（1）∵二次函数的图象经过坐标原点O（0，0），∴代入二次函数y＝x2－2mx＋m2－1，得出：m2－1＝0，解得：m＝±1，∴二次函数的解析式为：y＝x2－2x或y＝x2＋2x；（2）∵m＝2，∴二次函数y＝x2－2mx＋m2－1得：y＝x2－4x＋3＝（x－2）2－1，∴抛物线的顶点为：D（2，－1），当x＝0时，y＝3，∴C点坐标为：（0，3），∴C（0，3）、D（2，－1）；（3）当P、C、D共线时PC＋PD最短，【方法一】∵C（0，3）、D（2，－1），设直线CD的解析式为y＝kx＋3，代入得：2k＋3＝－1，∴k＝－2，∴y＝－2x＋3，当y＝0时，－2x＋3＝0，解得x＝32，∴PC＋PD最短时，P点的坐标为：P（32，0）．【方法二】过点D作DE⊥y轴于点E，∵PO∥DE，∴PODE＝COCE，∴PO2＝34，解得：PO＝32，∴PC＋PD最短时，P点的坐标为：P（32，0）．2．（11菏泽）如图，抛物线y＝12x2＋bx﹣2与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，且A（﹣1，0）．（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；（2）判断△ABC的形状，证明你的结论；（3）点M（m，0）是x轴上的一个动点，当MC＋MD的值最小时，求m的值．yxPEDCO【思路点拨】（1）把点A的坐标代入求出b的值，即可得出抛物线的解析式，通过配方法即可求出顶点D的坐标；（2）观察发现△ABC是直角三角形，可以通过勾股定理的逆定理证明．由抛物线的解析式，分别求出点B，C的坐标，再得出AB，AC，BC的长度，易得AC2＋BC2＝AB2，得出△ABC是直角三角形；（3）作出点C关于x轴的对称点C′，连接C'D交x轴于点M，根据“两点之间，线段最短”可知MC＋MD的值最小．求出直线C'D的解析式，即可得出点M的坐标，进而求出m的值．【解题过程】解：（1）∵点A（－1，0）在抛物线y＝12x2＋bx－2上，∴12×（－1）2＋b×（－1）－2＝0，解得b＝－32，∴抛物线的解析式为y＝12x2－32x－2＝12（x－32）2－258，∴顶点D的坐标为（32，－258）．（2）当x＝0时y＝－2，∴C（0，－2），OC＝2．当y＝0时，12x2－32x－2＝0，∴x1＝－1，x2＝4，∴B（4，0），∴OA＝1，OB＝4，AB＝5．∵AB2＝25，AC2＝OA2＋OC2＝5，BC2＝OC2＋OB2＝20，∴AC2＋BC2＝AB2．∴△ABC是直角三角形．（3）作出点C关于x轴的对称点C′，则C′（0，2），OC′＝2，连接C′D交x轴于点M，根据轴对称性及两点之间线段最短可知，MC＋MD的值最小．【方法一】设直线C′D的解析式为y＝kx＋n，则n＝232k＋n＝－258，解得：n＝2k＝－4112．∴y＝－4112x＋2．∴当y＝0时，－4112x＋2＝0，x＝2441．∴m＝2441．【方法二】设抛物线的对称轴交x轴于点E．∵ED∥y轴，∴∠OC′M＝∠EDM，∠C′OM＝∠DEM，∴△C′OM∽△DEM．∴OMEM＝OC′ED，∴m32－m＝2258，∴m＝2441．yxBCODAyxEMC'BCODA3．（11福州）已知，如图，二次函数y＝ax2＋2ax﹣3a（a≠0）图象的顶点为H，与x轴交于A、B两点（B在A点右侧），点H、B关于直线l：y＝33x＋3对称．（1）求A、B两点坐标，并证明点A在直线l上；（2）求二次函数解析式；（3）过点B作直线BK∥AH交直线l于K点，M、N分别为直线AH和直线l上的两个动点，连接HN、NM、MK，求HN＋NM＋MK和的最小值．【思路点拨】（1）二次函数y＝ax2＋2ax﹣3a（a≠0）中只有一个未知参数a，令y＝0，解出方程ax2＋2ax﹣3a＝0（a≠0），即可得到点A，B的坐标．把点A的坐标代入直线l的解析式即可判断A是否在直线上；（2）根据点H、B关于过A点的直线l：y＝33x＋3对称，得出AH＝AB＝4，过顶点H作HC⊥AB交AB于C点，得AC＝12AB＝2，利用勾股定理求出HC的长，即可得出点H的坐标，代入二次函数解析式，求出a，即可得到二次函数解析式；（3）直线BK∥AH易得直线BK的解析式，联立直线l的解析式方程组，即可求出K的坐标．因为点H，B关于直线AK对称，所以HN＝BN，所以根据“两点之间，线段最短”得出HN＋MN的最小值是MB．作点K关于直线AH的对称点Q，连接QK，交直线AH于E，所以QM＝KM，易得BM＋MK的最小值为BQ，即BQ的长是HN＋NM＋MK的最小值，求出QB的长即可．【解题过程】解：（1）依题意，得ax2＋2ax﹣3a＝0（a≠0），解得x1＝﹣3，x2＝1，∵B点在A点右侧，∴A点坐标为（﹣3，0），B点坐标为（1，0），∵直线l：y＝33x＋3，当x＝﹣3时，y＝33×(－3)＋3＝0，∴点A在直线l上．（2）∵点H、B关于过A点的直线l：y＝33x＋3对称，∴AH＝AB＝4，过顶点H作HC⊥AB交AB于C点，则AC＝12AB＝2，HC＝23，∴顶点H（－1，23），代入二次函数解析式，解得a＝－32，∴二次函数解析式为y＝－32x2－3x＋332，（3）直线AH的解析式为y＝3x＋33，直线BK的解析式为y＝3x＋33，yxKHBAO由y＝33x＋3y＝3x－3，解得x＝3y＝23，即K（3，23），则BK＝4，∵点H、B关于直线AK对称，∴HN＋MN的最小值是MB，KD＝KE＝23，过点K作直线AH的对称点Q，连接QK，交直线AH于E，则QM＝MK，QE＝EK＝23，AE⊥QK，∴BM＋MK的最小值是BQ，即BQ的长是HN＋NM＋MK的最小值，∵BK∥AH，∴∠BKQ＝∠HEQ＝90°，由勾股定理得QB＝8，∴HN＋NM＋MK的最小值为8．4．（14海南）如图，对称轴为直线x＝2的抛物线经过A（－1，0），C（0，5）两点，与x轴另一交点为B．已知M（0，1），E（a，0），F（a＋1，0），点P是第一象限内的抛物线上的动点．（1）求此抛物线的解析式；（2）当a＝1时，求四边形MEFP的面积的最大值，并求此时点P的坐标；（3）若△PCM是以点P为顶点的等腰三角形，求a为何值时，四边形PMEF周长最小？请说明理由．yxKHBAOCyxQKHBAODMNyxFEMACBOPyxFEMACBOP【思路点拨】（1）由对称轴为直线x＝2，可以得出顶点横坐标为2，设二次函数的解析式为y＝a（x－2）2＋k，再把点A，B的代入即可求出抛物线的解析式；（2）求四边形MEFP的面积的最大值，要先表示出四边形MEFP面积．直接求不好求，可以考虑用割补法来求，过点P作PN⊥y轴于点N，由S四边形MEFP＝S梯形OFPN－S△PMN－S△OME即可得出；（3）四边形PMEF的四条边中，线段PM，EF长度固定，当ME＋PF取最小值时，四边形PMEF的周长取得最小值．将点M向右平移1个单位长度（EF的长度），得到点M1（1，1），作点M1关于x轴的对称点M2（1，－1），连接PM2，与x轴交于F点，此时ME＋PF＝PM2最小．【解题过程】解：（1）∵对称轴为直线x＝2，∴设抛物线解析式为y＝a（x－2）2＋k．将A（－1，0），C（0，5）代入得：9a＋k＝04a＋k＝5，解得a＝－1k＝9，∴y＝－（x－2）2＋9＝－x2＋4x＋5．（2）当a＝1时，E（1，0），F（2，0），OE＝1，OF＝2．设P（x，－x2＋4x＋5），如答图2，过点P作PN⊥y轴于点N，则PN＝x，ON＝－x2＋4x＋5，∴MN＝ON－OM＝－x2＋4x＋4．S四边形MEFP＝S梯形OFPN－S△PMN－S△OME＝12（PN＋OF）•ON－12PN•MN－12OM•OE＝12（x＋2）（－x2＋4x＋5）－12x•（－x2＋4x＋4）－12×1×1＝－x2＋92x＋92＝－（x－94）2＋15316∴当x＝94时，四边形MEFP的面积有最大值为15316，此时点P坐标为（94，15316）．（3）∵M（0，1），C（0，5），△PCM是以点P为顶点的等腰三角形，∴点P的纵坐标为3．令y＝－x2＋4x＋5＝3，解得x＝2±6．∵点P在第一象限，∴P（2＋6，3）．四边形PMEF的四条边中，PM、EF长度固定，因此只要ME＋PF最小，则PMEF的周长将取得最小值．如答图3，将点M向右平移1个单位长度（EF的长度），得M1（1，1）；作点M1关于x轴的对称点M2，则M2（1，－1）；连接PM2，与x轴交于F点，此时ME＋PF＝PM2最小．设直线PM2的解析式为y＝mx＋n，将P（2＋6，3），M2（1，－1）代入得：(2＋6)m＋n＝3m＋n＝－1，解得：m＝46－45，n＝46＋45，∴y＝46－45x－46＋45．当y＝0时，解得x＝6＋54．∴F（6＋54，0）．∵a＋1＝6＋54，∴a＝6＋14．∴a＝6＋14时，四边形PMEF周长最小．图1图22．（14福州）如图，抛物线y＝12(x3)21与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，顶点为D了．（1）求点A，B，D的坐标；（2）连接CD，过原点O作OE⊥CD，垂足为H，OE与抛物线的对称轴交于点E，连接AE，AD．求证：∠AEO＝∠ADC；（3）以（