反问题概述分析

1偏微分方程反问题数值解法韩波主要参考书：1、刘继军，不适定问题的正则化方法及应用，科学出版社，20052、肖廷延，于慎根，王彦飞，反问题的数值解法，科学出版社，2003，3、韩波，李莉，非线性不适定问题的求解方法及其应用，科学出版社，20112第一章反问题概述3从墨西哥湾的漏油事件谈起2010年4月20日晚，在距美国路易斯安娜州61公里的墨西哥湾海面上，由BP（英国石油公司）租用的“深海地平线”(DeepwaterHorizon)钻井平台在从事Macondo油田开发作业时发生爆炸，并引发火灾，11名工作人员遇难。经过约36个小时的剧烈燃烧，“深海地平线”于22日沉入海底。两天后，在事故地点出现了严重的石油泄漏，破裂的油井管道每天向墨西哥湾海域倾倒5-10万桶原油（约8000-16000立方米），历时近三个月，造成了极为严重的环境污染。直至7月15日，油井才被成功封堵。这是美国历史上迄今最严重的海上石油泄露事件。4当关注的焦点聚集到英国石油公司时，我们发现这个公司在墨西哥湾地区寻找油气藏方面取得了巨大的成功。2009年9月2日，英国石油公司在墨西哥湾距休斯敦市东南400公里处发现了巨型油田Tiber。外界估计其总储量可达40-60亿桶，相当于约100个Macondo。英国石油公司在官方网站上例举了他们近几年在墨西哥湾深海地区开发的重要油田，预测产量都在1.5亿桶至6亿桶之间。石油巨头们是怎么在墨西哥湾找到这些大油田的？5•深海石油开采的费用高的惊人，即使从事深海石油开发的公司拥有雄厚的资本和先进的技术，也不可能在茫茫无际的墨西哥湾到处打井窥探。•ThunderHorse油田：水上钻井平台有3个足球场大，建筑在海水深度约为1800米的海面上。据估计英国石油公司投入该项目的建造费用高达50亿美元！•对资源的定位和估算有一套较准确的科学方法，尽量减少决策失误。6秘密就在回声中数学物理史上有趣的问题：不用眼睛看，仅仅通过聆听鼓的声音能否判断出鼓的形状？（盲人听鼓）1910年丹麦著名物理学家劳伦兹(Lorentz)在哥廷根的系列演讲“物理学中的新、旧问题”中提出。7当物体的材料确定后，它的音色和其形状密切相关。在数学上，一个物体的音色可以由一串谱来确定，它们对应着物体的固有频率。“盲人听鼓”即是要求通过已知的谱来确定一个鼓面的形状。Lorentz在他的讲演中猜测鼓的面积可以由极限确定据说，当初Hilbert（希尔伯特）认为在他的有生之年不可能看到这个公式的严格证明。但是一代宗师Hilbert这次作出了错误的预测。不到两年时间，鼓面积的公式就被他的得意门生Weyl证明了。而且证明方法采用的正是Hilbert此前不久修炼出的独门绝技----积分理论。1954年，Pleijel证明了从鼓声中可以“听”出鼓的周长。1967年，McKean和Singer证明了从鼓声中可以“听”出鼓的内部是否有洞、有几个洞。直到1992年，Gordon等人构造出了两面奇怪的“同声鼓”：它们的形状不同，却有着相同的音色，单凭耳朵无法鉴别！12=2lim小于的谱的数目鼓面积89严格说来，“盲人听鼓”问题的答案是否定的。但是，对这个问题的研究启发了我们。当不能用眼睛直接观测时，以耳代目也能够获得关于物体形状的很多有用信息。举一个生活中的例子，夏天人们挑西瓜，总是把瓜放在耳边，用手拍一拍，有经验的人就知道瓜瓤熟不熟。10深海区的石油探测就是应用了类似的原理。勘探地球物理学家希望能够叩问地球，用耳朵“听”出地下的地质构造，从而判断出油藏的“准确”位置和储量。11数据采集船上带有气枪。当压缩空气被突然释放时，气枪会产生剧烈的爆炸声波。声波向地下传播，遇到构造变化会产生反射、散射和折射。这些回声中携带了地下的地质信息，被海面采集船拖带的检波器接收，记录为地震数据。海底宝藏的秘密就隐藏在这些数据里。121314现行的勘探技术主要分为三步：1.数据处理：海上采集到的数据有很多噪音干扰，比如海浪、背景噪声、相邻采集船传来的气枪回声，等等。另外，潮汐现象周期性地改变海水的深度，造成反射时间的偏差错落；气枪的震源效应和海面多次反射的混声也会引起反射信号的畸变。所以我们要对数据进行“整容”，使之更清晰、更干净、更可信。152.速度建模：利用多次覆盖的试验数据来构建一个统一的地下模型。由于反射波的传播时间对速度的短周期变化不敏感，一步到位求解v(x,y,z)太困难。退而求其次，我们可以利用数据中的冗余信息构造一个粗眉大眼的近似速度。这如同绘画，先勾勒轮廓，敷设底色，留待下一步皴擦点染，刻画雕琢。163.全波形反演成像在较好的初始速度模型基础上，直接利用经过预处理的勘探资料，求取波动方程中的速度模型，给出地质构造解释。目前，国际上已经能够进行三维速度全波形反演。弹性波全波形反演研究已经成为国际潮流。17•正问题，一般是按着自然顺序来研究事物的演化过程或分布形态，起着由因推果的作用。•反问题，是根据事物的演化结果，由可观测的现象来探求事物的内部规律或所受的外部影响，起着倒果求因的作用。18•线性方程Ax=y•y’=y+n反问题的提法：•1.已知y’，分离信号和噪音，求出y；•2.已知y’和A，求出输入数据x；•3.已知y’和x，求出模型机制A；•4.已知y’，求出输入x和模型A，这时问题变成非线性。19反问题通常体现了一种逆向思维。冯康先生在上世纪八十年代初曾经著文《数学物理中的反问题》，较早地介绍了这个新的研究方向。他将反问题的功能概括为“由表及里”、“索隐探秘”、“倒果求因”。在中国的传统文化中，只有智者高人才能透过现象看清本质，甚至参透因果，一语破的。科学化的反问题研究为我们在解决问题，增长智慧方面提供了很好的案例和方法论。20反问题发展简史•数学物理反问题最早出现在地球物理领域•1846年，法国人LeVerrier发现了海王星•1880年，美国学者J.A.Ewing等人发明了近代地震仪，提出了地震记录的分析问题•1907年，Herglog提出了地震走时数据的反演•1909年，A.Mohorovicic发现了莫霍面•1912年，BenoGutenbeg发现了古登堡面•1935年，Lehmann发现了地球外核和内核的分界面这些工作都对地球物理反演学术思想的形成和发展起到了巨大的推动作用。21•但在第一台数字计算机诞生之前，反问题的发展非常缓慢，反演方法只有选择法和量版法•1967-1970年，美国地球物理学家Backus和应用数学家Gilbert连续发表了三篇关于平均核法的文章，奠定了反演理论的基础•Tikhonov（吉洪诺夫）20世纪40年代，提出了正则化方法（1977，Solutionsofill-posedproblems,美国。中译本，1979）•70年代初，英国学者G.Honsfield研制出了第一台医用ＣＴ机以及他和美国学者A.M.Cormack共同获得了1979年度生理性和医学诺贝尔奖，大大推动了有关不可见物体层析成像的研究热潮，也极大地推动了反问题数学理论、数值方法以及应用的发展22•现代反问题开始于70年代末、80年代初，蓬勃发展至今，40多年的时间。•广泛应用于石油勘探、工程物探、无损探伤、航空航天、地下找水、光学、电子、控制等等领域，可以说无处不在。•国际上四种反问题杂志：InverseProblems,InverseProblemsandImaging,InverseProblemsinScienceandEngineering,Journalofinverseandill-posedproblems•我国反问题的研究最早由计算数学家冯康倡导（1982）。他把反问题列为计算数学四大问题之一（正问题、反问题、逼近问题和代数问题）23科学史上的著名的案例1781年，天王星被确认为太阳系的第7颗大行星。40年后，法国天文学家Bouvard搜集了一个多世纪来的全部观测资料，包括了1781年之前的旧数据和之后的新数据，试图用牛顿的天体力学原理来计算天王星的运动轨道。他发现了一个奇怪的现象：用全部数据计算出的轨道与旧数据吻合得很好，但是与新数据相比误差远超出精度允许的范围；如果仅以新数据为依据重新计算轨道，得到的结果又无法和旧数据相匹配。Bouvard的治学态度非常严谨，他在论文中指出：“两套数据的不符究竟是因为旧的观测记录不可靠，还是来自某个外部未知因素对这颗行星的干扰？我将这个谜留待将来去揭示。”24首先，Bouvard等天文学家核查了1750年以后英国格林尼治天文台对各个行星所作的全部观测记录。结果发现，除天王星以外，对于其它行星的观测记录与理论计算结果都符合得相当好。似乎没有理由怀疑旧的天文观测唯独对天王星失准。既然如此，天文学家就需要对天王星的不规律运动作出科学的解释。摆在天文学家面前的有两条路：第一条路是质疑牛顿力学的普适性，或许万有引力定律不适用于距离太阳遥远的天王星，需要对之进行修正；第二条路是寻找Bouvard所猜测的“未知因素”。于是人们提出了“彗星撞击”、“未知卫星”和“未知行星”等多种可能。251841年的暑期，还是英国剑桥大学二年级学生的Adams就定下计划，不仅要确认天王星的轨道异常是否来自未知行星的引力作用，还要尽可能地确认这颗新行星的轨道，以便通过观测来发现之。这不仅是一个新问题，而且是一个反问题。因为过去总是已知一颗行星的质量和轨道，根据万有引力定律计算出它对另一颗行星产生的轨道摄动。而现在则相反，Adams要假定已知天王星轨道的摄动，来计算出产生这一摄动的未知行星的质量和轨道。由于未知因素很多，实际计算起来是相当复杂和困难的。Adams于1845年彻底解决了这个反问题。他所运用的方法在当时是空前新颖的。令人遗憾的是，英国天文学家Airy先入为主地认为天王星的轨道问题是引力定律不再适用的结果，没有重视Adams向他提交的新行星的轨道计算结果。26几乎与此同时，法国人LeVerrier独立地解决了同样的反问题。1846年9月23日，柏林天文台的Galle按照LeVerrier提交的计算轨道着手观测，当晚就在偏离预言位置不到1度的地方发现了一颗新的八等星。连续观测的数据都与LeVerrier的预测结果吻合得很好，证实这是一颗新行星。这时英国天文台才想起了Adams的工作，悔之晚矣。案子破了。干扰天王星正常运行的那颗神秘天体正是太阳系的第8颗大行星——海王星！不仅长期困扰天文界的天王星轨道异常问题在牛顿力学框架内得到了完满解释，而且海王星的发现进一步验证了牛顿力学的正确性。2728•正问题----“知易行难”•反问题的研究重在探测和发现----“知之非艰、行之惟艰”。•反问题的求解往往违背了事物发展过程的自然顺序，从而使正问题中的许多良好性质不再满足。更何况我们搜集到的资料经常是真伪交杂、缺失含混的，这就更增加了求解的困难。尽管如此，解决反问题仍然像破案猜谜一样引人入胜。291.什么是反问题？任何事物都充满着辩证关系，都有正、反两个方面。例如：正问题（directproblem）：求一个多项式的零点反问题（inverseproblem）：给定零点求次多项式正问题（directproblem）：计算已知多项式在的值反问题（inverseproblem）：已知多项式在点的值（或近似值），求（Lagrange插值问题）。12,,......,nxxx12,,......,,nxxxn1()()()npxcxxxx12,,......,nxxx()px12,,......,nxxx1,...,nyy()px()px30。正问题（directproblem）：已知，求反问题（inverseproblem）：已知[0,1]上的连续可微函数[0,1]xc0()(),[0,1]tytxsdst1([0,1])yyc'xy，求到底哪一个是反问题？1.先前提出的、人们熟悉的是正问题，而另一个是反问题；2.稳定的问题是正问题，不稳定的是反问题。31按系统科学观点正问题：由因求果反问题：由果求因，或由因果