高次方程、分式方程、无理方程的解法

高次方程、分式方程、无理方程的解法高次方程、分式方程、无理方程的解法内容概况内容概况无理方程高次方程分式方程一次或二次方程整式方程有理方程因式分解、换元两边同乘以最简公分母、换元两边平方、换元2、高次方程的解法我们可通过因式分解和换元将一元高次方程转化为一元一次方程和一元二次方程一、高次方程的解法知识要点知识要点一.高次方程的解法1、什么是高次方程整式方程中，未知数的次数大于或等于3的方程称为高次方程典型例题03423xxx0)34(2xxx0)3)(1(xxx所以例1（1）解方程解：因式分解3,1,0321xxx高次方程的解法例题1（1）高次方程的解法例题1（2）典型例题013x043)21(122xxx0)1)(1(123xxxx因为所以01x所以例1（2）解方程解：因式分解1x典型例题高次方程解法例1（3）例1（3）解方程084223xxx解：因式分解0)2(4)2(2xxx0)2)(4(2xx0)2)(2(2xx所以2,2321xxx典型例题高次方程解法例2(1)例2（1）解方程024)5(2)5(222xxxx解：换元令xxt52则原方程可以化为02422tt即0)4)(6(tt故6t或4t即652xx或452xx解得：4,1,6,14321xxxx典型例题高次方程解法例2（2）例2（2）解方程19)7)(4)(1)(2(xxxx22(514)(54)19xxxx解：原方程即换元令2514xxt原方程可化为19)18(tt解得19t或1t即251419xx或25141xx典型例题高次方程解法例2（2）解得：2551x2552x28553x28554x高次方程解法例2（3）例2（3）解方程解：原方程即换元令原方程可化为解得或即12)66)(86()76(2xxx72)176)(176()76(2xxx76xt72)1(22tt92t82t（舍去）3t解得376x32x或35x解得解高次方程的一般步骤1、整理方程，右边化为0.2、将方程左边因式分解，或者进行换元3、将方程转化为若干个一次或二次方程4、写出原方程的根.解高次方程的思路是：高次方程一次或二次方程因式分解、换元方法提炼高次方程解法方法提炼1.可通过因式分解将高次方程转化为一次或二次方程2.可通过换元将高次方程转化为一次或二次方程3.n次方程最多有n个实数根二、分式方程的解法知识要点知识要点二.分式方程的解法1、什么是分式方程分母中含有未知数的方程叫分式方程.2、分式方程的解法我们可通过将方程两边同乘以最简公分母或者换元将分式方程转化为整式方程.3、解分式方程的注意点在解分式方程后都必需检验,这是因为从分式方程到整式方程的转化有时不是等价的.典型例题分式方程解法例3（1）例3（1）解方程xx527解：两边同乘以最简公分母)2(xx得)2(57xx解得5x经检验，5x是原方程的解.典型例题分式方程解法例3（2）例3（2）解方程化简为13252xxxx解：两边同乘以最简公分母xx2得)(3)1)(25(2xxxx0)1(2x解得1x经检验1x是增根，原方程无解.为什么会产生增根？增根的定义增根:在去分母,将分式方程转化为整式方程的过程中出现的不适合于原方程的根.产生的原因:分式方程两边同乘以一个零因式后,所得的根是整式方程的根,而不是分式方程的根.所以我们解分式方程时一定要代入最简公分母检验········使最简公分母值为零的根·········解分式方程的一般步骤1、在方程的两边都乘以最简公分母，约去分母，化成整式方程.2、解这个整式方程.3、把整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解，必须舍去.4、写出原方程的根.解分式方程的思路是：分式方程整式方程去分母一化二解三检验典型例题分式方程解法例4例4解方程22)12(31222222xxxx解：令txx12222原方程可化为23tt即0322tt解得1,321tt所以312222xx或112222xx典型例题分式方程解法例4即0172x或032x解得3,3,77,774321xxxx经检验以上均为原方程的根.换元可以使运算变得简便典型例题分式方程解法例5x)1)(2(21221xxaxxxxxa已知关于的方程的解为负数的范围.例5求实数解：左边通分)1)(2(2)1)(2(54xxaxxxx所以所以axx254ax52，25ax且125a解得5a且7a0方法提炼分式方程解法方法提炼1.在分式方程两边同乘以最简公分母，可把分式方程化为整式方程2.换元可以使解方程的过程变得简便3.解分式方程时应注意检验一化二解三检验三、无理方程的解法知识要点知识要点三.无理方程的解法1、什么是无理方程根号内含有未知数的方程叫无理方程.2、无理方程的解法我们可通过将方程两边平方或者换元将无理方程转化为有理方程.3、解无理方程的注意点在解无理方程后必需检验,这是因为从无理方程到有理方程的转化有时不是等价的.典型例题无理方程解法例6（1）例6（1）解方程解：17xx0107*)1(72xxxx解得2x3x为增根（）此题也可先解出方程*的根，再代回原方程检验.为什么会产生增根？典型例题无理方程解法例6（2）例6（2）解方程解：5122xx移项，5212xx两边平方，化简得0121122xx解得4x或23x经检验，4x是原方程的根，23x是增根.典型例题无理方程解法例6（2）例6（2）解方程5122xx此题也可令tx12转化为t的一元二次方程512tt求解.即062tt解得)0(t3t或2t（舍去）即312x解得4x典型例题无理方程解法例7例7解方程解：3323xx移项得3323xx两边平方，整理得xx733再两边平方，化简得022232xx解得22,121xx经检验11x为原方程的根，222x是增根.方程一边出现两个根号时要先移项.解无理方程的一般步骤1、将方程的两边平方，化成有理方程.有时要先移项，再平方2、解这个有理方程.3、把有理方程的解代入原方程检验4、写出原方程的根.解无理方程的思路是：无理方程有理方程去根号一化二解三检验典型例题无理方程解法例8例8解方程解：215215322xxxx令txx152则原方程化为)0(t05232tt解得35,121tt（舍去）所以1152xx解得0,521xx经检验0,521xx都是原方程的根.通过换元可将原方程化为关于t的一元二次方程.方法提炼无理方程解法方法提炼1.移项，平方可把无理方程化为有理方程2.换元可以使解方程的过程变得简便3.解无理方程时应注意检验一化二解三检验课堂小结课堂小结1.三种方程高次、分式、无理方程的解法3.一个思想——等价转化的数学思想2.一个方法——换元