充分条件与必要条件

1.2.1充分条件与必要条件高中选修《数学2-1》（新人教A版）1、命题：可以判断真假的陈述句，可写成：若p则q。2、四种命题及相互关系：一、复习引入逆命题若q则p原命题若p则q否命题若p则q逆否命题若q则p互逆互逆互否互否互为逆否注：两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性。一、复习引入（2）因为若ab=0则应该有a=0或b=0。所以并不能得到a一定为0。3、例:判断下列命题的真假。（1）若xa2+b2，则x2ab。（2）若ab=0,则a=0。真命题假命题解（1）因为若xa2+b2，而a2+b22ab，所以可以得到x2ab。练习1用符号与填空。（1）x2=y2x=y；（2）内错角相等两直线平行；（3）整数a能被6整除a的个位数字为偶数；（4）ac=bca=b1、如果命题“若p则q”为真，则记作pq（或qp）。二、新课2、如果命题“若p则q”为假，则记作pq。一般地,“若p,则q”为真命题,是指由p通过推理可以得出q.这时,我们就说,由p可推出q,记作pq.并且说p是q的充分条件,说q是p的必要条件.注:这里充分、必要的意义和日常生活中的“充分”、“必要”的意义是相近的.⑵q是p的必要条件──没有q就推不出p.⑴p是q的充分条件──有p就可推出q;1、充分条件的特征是：当p成立时，必有q成立，但当p不成立时，未必有q不成立。因此要使q成立，只需要条件p即可，故称p是q成立的充分条件。2、必要条件的特征是：当q不成立时，必有p不成立，但当q成立时，未必有p成立。因此要使p成立，必须具备条件q，故称q是p成立的必要条件。如何正确理解p是q的充分条件与必要条件pq3、只要有p是q的充分条件就必有q是p的必要条件，但不是p为q的必要条件。例1，下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中的p是q的充分条件？（1）若x=1，则x2–4x+3=0；（2）若f（x）=x，则f（x）为增函数；（3）若x为无理数，则x2为无理数解：命题（1）（2）是真命题，命题（3）是假命题，所以命题（1）（2）中的p是q的充分条件如果已知pq，则说p是q的充分条件，q是p的必要条件。简化定义：pq例2下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中的q是p的必要条件？(1)若x=y，则x2=y2。(2)若两个三角形全等，则这两个三角形的面积相等。(3)若ab，则acbc。解：命题（1）（2）是真命题，命题（3）是假命题，所以命题（1）（2）中的q是p的必要条件。pq思考:“若p,则q”的逆命题成立,p是q的什么条件?p是q的必要条件.就是说:由pq可知p是q的必要条件，q是p的充分条件.通俗地说,就是“p被q推出”判断为“p是q必要条件”.如果“若p,则q”是真命题,且它的逆命题也是真命题即pq且pq,我们就说,p是q的充分必要条件,简称充要条件.记为pq.显然,如果p是q的充要条件,那么q也是p的充要条件.概括地说,如果pq,那么p与q互为充要条件.注:1.“p是q的充要条件”也说成“p与q等价”、“p当且仅当q”等.2.充要条件是非常好的一种条件,因为可以相互等价转化.思考:“若p,则q”的原命题与逆命题均是真命题,p是q的什么条件?q是p的什么条件?pqpq且例3、下列各题中,那些p是q的充要条件?(1)p:b=0,q:函数f(x)=ax2+bx+c是偶函数;(2)P:x0,y0,q:xy0;(3)P:ab,q:a+cb+c.解：在(1)(3)中，pq,所以(1)(3)中的p是q的充要条件。在(2)中，qp，所以(2)中p的不是q的充要条件。pq.归纳定义2：如果已知qp，则说p是q的必要条件。1、定义1：如果已知pq，则说p是q的充分条件。①pq，相当于PQ，即PQ或P、Q②qp，相当于QP，即QP或P、Q③pq，相当于P=Q，即P、Q有它就行缺它不行同一事物2、从集合角度理解：定义3：如果既有pq，又有qp，就记作则说p是q的充要条件。pq，口诀:对于具体的数集,以条件集合为基础,小充分,大必要①认清条件和结论。②考察pq和qp的真假。①可先简化命题。③将命题转化为等价的逆否命题后再判断。②否定一个命题只要举出一个反例即可。判别步骤：判别技巧：1、充分且必要条件2、充分非必要条件3、必要非充分条件4、既不充分也不必要条件p是q的各种条件的可能情况充分非必要条件必要非充分条件既不充分也不必要条件充分且必要条件从逻辑推理关系看充分条件、必要条件:1）AB且BA，则A是B的2）若AB且BA，则A是B的3）若AB且BA，则A是B的4）AB且BA，则A是B的3）若AB且BA，则甲是乙的2）若AB且BA，则甲是乙的1）若AB且BA，则甲是乙的充分非必要条件必要非充分条件既不充分也不必要条件4）若A=B，则甲是乙的充分且必要条件从集合与集合的关系看充分条件、必要条件BA1)AB2)AB3)A=B4)小结充分必要条件的判断方法：定义法、集合法、等价法（逆否命题）例4．在下列电路图中，闭合开关A是灯泡B亮的什么条件：如图(1)所示，开关A闭合是灯泡B亮的条件；如图(2)所示，开关A闭合是灯泡B亮的条件；如图(3)所示，开关A闭合是灯泡B亮的条件；如图(4)所示，开关A闭合是灯泡B亮的条件；充分不必要必要不充分充要既不充分也不必要答：命题（1）为真命题：练习、判断下列命题的真假：（1）x=2是x2–4x+4=0的必要条件；（2）圆心到直线的距离等于半径是这条直线为圆的切线的必要条件；（3）sin=sin是=的充分条件；（4）ab0是a0的充分条件。==命题（2）为真命题；命题（3）为假命题；命题（4）为真命题。例5、请用“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”填空：(1)“(x-2)(x-3)=0”是“x=2”的＿＿＿＿＿＿条件.(2)“同位角相等”是“两直线平行”的＿＿＿条件.(3)“x=3”是“x2=9”的＿＿＿＿＿＿条件.(4)“四边形的对角线相等”是“四边形为平行四边形”的＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿条件.充分不必要必要不充分充要既不充分也不必要四、作业课本P12习题1.2－A组2T、3T课本P13习题1.2－B组1T