MBS多因素定价模型

金融工程系利(8)MBS多因素定价模型研究ATwo-and-halfFactorsModelwithMonte-Carlo范为宋鸿兵房四海宏源证券2008年6月目录A.摘要…………………………………………………………………….3B.前言…………………………………………………………………….4C.产品主要结构………………………………………………………….6D.定价技术路线…………………………………………………………7E.定价模型………………………………………………………8F.价格压力测试………………………………………………………23A.摘要本报告研究房屋抵押贷款证券化产品CMOs(CollateralisedMortgageObligation)的定价模型。首先，探讨CMOs产品的三个主要影响因素，并建立相应模拟模型：随机利率模型，违约率模型，提前偿付模型。然后，基于Monte-Carlo模拟，建立具有宏源自主知识产权的CMOs定价模型。最后，对产品相关影响因素，进行单因素和双因素压力测试。关键词：CMOs；随机利率模型；违约率模型；提前偿付模型；压力测试1.MBS定价框架B.前言抵押贷款证券化产品（MBS）是一种结构化金融产品。它把缺乏流动性的抵押贷款集合成一个抵押贷款池(MortgagePool)，通过对其中风险与收益要素进行分离与重组，并通过内部信用增级（CreditEnhancement）将其转换为可以在金融市场上出售和流通的证券。适合于证券化交易的标的资产需满足以下几方面要求：（1）基础资产能够在未来产生可预测的现金流。（2）基础资产具有同质性，这样才能汇集成一个资产池。（3）基础资产未来的现金流应与发起人其他资产互相独立，以便能够剥离出来，成立SPV(SpecialPurposeVehicle)。（4）现金流的损失风险要有充足的统计数据，以确定MBS的发行价格。1.MBS定价框架B.前言MBS根据对现金流的处理方式和证券偿付结构的不同，可以划分为过手型（pass-through）产品和CMOs产品。过手型产品不对基础资产产生的现金流进行任何处理，而是将其简单地“过手”给投资者，由投资者自行承担基础资产风险。因此，它只是将原始权益人的风险转移并细化到每个投资者身上，这种风险同质性妨碍了不同风险偏好投资者的投资。CMOs(CollateralisedMortgageObligation)则采用分档技术(tranching)，根据投资者对期限、风险和收益的不同偏好，将债券设计成不同档级，各档债券的偿付期限不同。期限越短的档级，风险越小，收益也就越小；反之亦然。2.产品设计3,582millionMIN(5.7%,WAC-1%)356millionMIN(6.2%,WAC-0.5%)82millionMIN(10.7%,WAC+4%)140millionEquity优先级A级优先级B级优先级C级次级优先级A级优先级B级优先级C级次级C.产品主要结构CMOs产品通常分为优先级和次级两部分。优先级由受托机构通过银行间债券市场发行给投资机构，次级则由受托机构对发起机构定向发行。其中，优先级又根据还款顺序和利率条款不同而分为A,B,C三级；次级部分，实际上为发行者的剩余索取权。如下图是一个典型的CMOs，标有各级的发行量和利率条款。1.MBS定价框架D.定价框架CMOs定价三大影响因素：利率风险，违约风险和提前偿付风险。CMOs定价主运算文件CMOs压力测试（单因素、双因素）3.产品影响因素分析产品影响因素随机利率随机利率违约率违约率提前偿付提前偿付产品影响因素产品影响因素随机利率随机利率随机利率随机利率违约率违约率违约率违约率提前偿付提前偿付提前偿付提前偿付E.定价模型影响CMOs产品的风险因素主要包括：利率风险，违约风险和提前偿付风险。前两者使用随机模型进行模拟：利率风险使用具有均值回复(Mean-reverting)特征的CIR(Cox-Ingersoll-Ross)模型度量；违约风险使用简化法模型(Reduced-formModel)度量。提前偿付风险使用PSA函数进行度量。因此，本模型属于双因素半模型(Twoandhalfmodel)。3.3利率影响因素分析(continued)E.定价模型—影响因素(1)：利率模型国外目前的住房抵押贷款大部分为固定利率贷款（FRM），而国内目前的住房抵押贷款大部分为浮动利率贷款（ARM）。标的资产现金流的差异使国内CMOs产品的利率多为与某一基准利率(人民币1年定期存款利率)挂钩的浮动利率，因此基准利率的确定成为定价的关键问题之一。在模拟基准利率时，一个好的利率模型应该具有以下三个特征：1)利率不能小于零,否则会存在无风险套利机会;2)利率具有均值回复特征;3)利率比较高时,波动率较大,即利率的水平效应。在可供选择的二叉树模型、Vasicek模型、CIR模型中，CIR模型同时满足这三个特征。E.定价模型—影响因素(1)：利率模型CIR(Cox-Ingersoll-Ross)模型如下：其中，r为随机利率，为随机利率的长期均值，表示均值回复的速率(越大，其均值回复的时间越短)，为随机利率的波动率。解之，可得：该模型认为：利率围绕利率均值波动。如果利率偏离了平均值，它总是倾向于回归均值，回归速度由参数决定。(tdrkrdtrdBθσ=−+)θkσk1111(/2exp22ttttttkrrrrBrθσσ−−−−−=×+⎡⎤⎢⎥⎣⎦2)-3.3利率影响因素分析E.定价模型—影响因素(1)：利率模型CIR模型的优点是它产生于经济中的内在经济变量和一般均衡，同时包含了风险回避、时间消费偏好、财富限制的因素。缺点是模型参数较难校准(Calibration)。需要校准的参数包括：利率的长期均值，利率的波动率和利率的均值回复速率。校准的结果为(data:1990年-2008年)利率的长期均值：5.34%利率的波动率：0.03利率的均值回复速率：0.50θkθσkσ3.2违约率影响因素分析E.定价模型—影响因素(2)：违约率模型对于违约率的度量，我们分为2个步骤：1.首先假设整个CMOs存续期的违约率服从GBM(GeometricBrownMotion)，即任一时刻其违约分布为对数正态分布。这较正态分布来说，避免了出现违约率为负的情况。具体模型如下：离散化，得：从下图可以看到一个对数正态分布的违约率模型，违约率均值为2.78%，违约率超过20%的概率接近于0。tdDDdtDdBμσ=+221((/2),)ttInDNInDμσσ−+−∼E.定价模型—影响因素(2)：违约率模型2.在确定了整个存续期违约率的前提下，对每个还款期的违约率按SDA模型(结构分解模型，StructuralDecompositionAnalysis)进行分配。模型在给定违约率的情况下，模拟一个随时间变动的违约情况，其过程分为上升—保持—下降—保持四个阶段。以SDA100%为例：1）第一个月的违约率为0.02%，以后每个月增加0.02%直至第30个月达到0.6%的水平。2）从第30个月到第60个月，违约率水平保持在0.6%。3）从第61个月开始至第120个月，违约率从0.6%下降到0.03%的水平。4）从第121个月开始，违约率保持在0.03%的水平。SDA200%提前还款速度为SDA100%的2倍，以此类推。0.6%,30;0.6%,3060;300.2851.17,60120;0.03%,12036030TSDATSDATSDASDA×=≤=Τ≤×=−+Τ≤=Τ≤E.定价模型—影响因素(2)：违约率模型这符合市场的实际违约情况:违约率是两头低，中间高。刚买房的时候很少违约，按揭款还得差不多的时候，也很少违约。3.1提前偿付影响因素分析E.定价模型—影响因素(3)：提前偿付模型MBS产品在很大程度上会受到标的(住房抵押贷款)提前还款的影响，因此需建立适当的提前还款模型。目前，使用较多的模型包括CPR模型(ConditionalPrepaymentRate)和PSA模型。前者简单的假定每年的还款速度为一个恒定比例，如建设银行已发行的MBS产品中，即假设提前偿付率为恒定的CPR。后者在美国受到工业界的欢迎，它根据投资者的实际还款情况进行模拟，认为：刚开始的时候，由于贷款者收入较低，其提前还款速度也较低。随着其收入的增加，其提前还款速度也增加，直至一个稳定的速度(即浮动的CPR)。这更符合实际的提前偿付情况，因此能更有效的模拟未来的现金流情况。模型如下(以PSA100为例)：3.1提前偿付影响因素分析E.定价模型—影响因素(3)：提前偿付模型1/126%,30;6%,30301(1)TCPRTCPRTSMMCPR×=≤==−−其中SMM(SingleMonthlyMortality)为单月提前还款率。以PSA100为例：对一笔30年的抵押贷款，其第一个月的提前还款率是0.2%；第2~30个月，每月提前还款额以0.2%比率递增，直到第30个月，达到6%；此后，年提前还款率CPR一直保持在6%水平。PSA200提前还款速度为PSA100的2倍，以此类推。E.定价模型—MonteCarloSimulation在考虑了利率模型，违约模型和提前偿付模型之后，我们将对CMOs进行定价。定价中需要计算的内容主要包括优先级(A级、B级、C级)的平均回收期(类似于久期，Duration)和次级部分的收益(剩余索取权)。定价的方法主要包括：静态利差法，期权调整利差法(OAS)和MonteCarlo模拟。MonteCarlo模拟在处理复杂的路径依赖问题(PathDependent)上的优势使得很多奇异衍生产品(ExoticDerivatives)的定价成为可能，其优点较前两者非常明显。其基本思想是从初始时刻的标的资产价格开始,根据假定的随机路径（RandomPath）模拟出标的资产的到期价值,计算出每个到期价格下证券的收益,求出其均值,再以无风险利率贴现,完成证券的定价。4.产品主运算文件E.定价模型—MonteCarloSimulation具体的过程如下：（1）产生随机利率路径；（2）根据提前偿付模型和违约率模型，计算出各期的提前偿付额，违约额；（3）根据（1）（2）计算结果，考虑CMOs的现金流偿付顺序，计算各级CMO每期应得利息和本金偿还；（4）根据（3），计算优先级(A级、B级、C级)的平均回收期和次级收益；（5）重复（1）-（4）步骤，得出足够多路径(如：10000条路径)对应的证券价格；（6）计算所有路径对应证券价格的算术平均值，并对其进行贴现。4.产品主运算文件E.定价模型—MonteCarloSimulation提高蒙特卡洛模拟的精度：1）通过增加蒙特卡洛模拟的路径数；2）对偶变量技术（antitheticvariabletechnique）。前者要消耗大量的计算时间，我们采用对偶变量技术。在对偶变量技术中，一次模拟运算包括计算衍生产品的两个值，第一个值F1是用通常的方法得到；第二个值F2是通过改变所有标准正态分布样本的符号计算出的。假设通过模拟得到函数F=f(x)，模拟的路径数为2n。则有：同时我们也可以用n个变量及其对应的对偶变量-n来得到：211()2niiFfnx∧==∑~1()'()12njjjffFnxx=+=∑4.产品主运算文件E.定价模型—MonteCarloSimulation前者的方差为：后者的方差为：因为，所以也就是说我们可以看到，采取了对偶变量法后能有效提高蒙特卡洛模拟的精度。()[]2VarFVarFn∧=~')()(')2[]4FFVarVarFFVarFnn++==(,')0CovFF(')()(')2(,')2()2(,')2()VarFFVarFVarFCovFFVarFCovFFVarF+=++=+~[][]VarFVarF∧4.1资产池现金流流入E.定价模型右图上半部分为现金池流入(cashintopool)下半部分为现金流出(cashout-ofpool)，顺序为:A,B,C