期权定价理论

1期权定价理论期权定价是所有金融应用领域数学上最复杂的问题之一。第一个完整的期权定价模型由FisherBlack和MyronScholes创立并于1973年公之于世（有关期权定价的发展历史大家可以参考书上第358页，有兴趣的同学也可以自己查找一下书上所列出的经典文章，不过这要求你有非常深厚的数学功底才能够看懂）。B—S期权定价模型发表的时间和芝加哥期权交易所正式挂牌交易标准化期权合约几乎是同时。不久，德克萨斯仪器公司就推出了装有根据这一模型计算期权价值程序的计算器。现在，几乎所有从事期权交易的经纪人都持有各家公司出品的此类计算机，利用按照这一模型开发的程序对交易估价。这项工作对金融创新和各种新兴金融产品的面世起到了重大的推动作用。为此，对期权定价理论的完善和推广作出了巨大贡献的默顿和Scholes在1997年一起荣获了诺贝尔经济学奖（Black在1995年去世，否则他也会一起获得这份殊荣）。原始的B—S模型仅限于这类期权：资产可用于卖出期权；能够评估价值，资产价格行为随时间连续运动。随后建立在原始的B—S模型上的研究以及许多其他期权定价模型的变体相继出现，用于处理其他类型的标的资产以及其他类型的价格行为。在大多数情况下，期权定价模型的推倒基于随机微积分（StochasticCalculus）的数学知识。没有严密的数学推演，演示这种模型只是摸棱两可的。可是，这并非要紧的问题，因为确定期权公平价格的必要计算已自动化，且达到上述目的的软件在大型计算机及微机中均可获得。因此，在这里，我只简单介绍一下B—S模型的关键几个要素，至于具体的数学推导（非常复杂），感兴趣的同学可以在课后阅读一下相关资料（一般都是在期权定价理论章节的附录中）。首先，我们来回顾一下套利的含义套利套利（arbitrage）通常是指在金融市场上利用金融产品在不同的时间和空间上所存在的定价差异、或不同金融产品之间在风险程度和定价上的差异，同时进行一系列组合交易，获取无风险利润的行为。注意，这种利润是无风险的。现代金融交易的目的主要可以分为套利、投机和保值，这也是我们在以前的课程中接触过的。那么，我们怎样来理解套利理论的含义呢？我们说，市场一般是均衡的，商品的价格与它的价值是相一致的。如果有时候因为某种原因使得价格与价值不相符，出现了无风险套利的机会，我们说这种套利的机会就会马上被聪明的人所发现和利用，低买高卖，赚取利润，那么通过投机者不断的买卖交易，原来价值被低估的商品，它的价格会上涨（投机者低价买入）；原来价值被高估的商品，它的价格会下跌（投机者高价卖出），交易的结果最终会使得市场价格重新回到均衡状态。（就像书中列举的两家书店卖书的例子一样…）同样的道理我们不难理解，现代期权定价技术就是以无风险套利原理为基础而建立起来的。我们可以设计一个证券资产组合，使得它的价值（收益）与另外一个证券资产组合的价值相等。那么，根据无风险套利理论，这两种证券资产组合应该以同样的价格出售。从而，可以帮助我们确定，在价格均衡状态下，期权的公平定价方式。具体来说，对期权跌——涨平价原理的推导就采用了无风险套利的原理。跌——涨平价原理（put——callparity）看涨期权的价格与看跌期权的价格（也就是期权费）之间存在着非常密切的联系，因此，只要知道看涨期权的价格，我们就可以推出看跌期权的价格（通过平价原理）。这样，就省去我们再费心研究看跌期权的定价公式了。只要我们通过B——S模型计算出看涨欧式期权的定价之后，我们就可以相应地推出欧式看跌期权的定价（注意，B——S模型只适用于欧式看涨期权）。2第一节证券价格变化过程为了很好地理解B—S模型，我们首先来学习一下金融价格行为1.金融价格行为B—S模型的一个重要的假设是资产价格遵循对数正态分布。这是什么意思？相信大家都已经学习过统计学，你们对于正态分布应该很熟悉了。什么是正态分布？我们可以看下面的正态分布图：正态分布在我们现实生活中经常发生，比如说，从我们学校的男生中随即抽取1000人，然后用图画出他们身高的分布就是正态分布。在小组平均身高分布达到顶值，但是围绕平均值有一定偏差。衡量偏差程度的统计方法叫标准差，正态分布的一个特点是68.3%的分布在平均值的正负一个标准差之间，95.4%分布在平均值的正负两个标准差之间。假如在东北大学男生身高的统计调查中，我们发现平均身高为1.72米，标准差为0.09米。这表示抽样模型中有95.4%的男生身高在1.54米和1.90米之间，并可以推断被抽样的群体身高也符合这个分布。既然现实生活中正态分布如此普遍，因此我们很容易假定金融价格也服从正态分布。但是这种假定会产生几个问题，其中一个是服从正态分布的变量可能为负值，而大多数金融价格却不会这样（现实生活中，价格不可能为负值）。事实上，价格本身不服从正态分布，大多数收益率却服从正态分布。一个投资者以100元的价格买入股票，他可能有正的10%的收益或者是负的10%的损失。如果简单看来，投资者首先获得10%的收益率然后再损失10%没有什么变化，他不赔不赚。但，真实这样吗？10%的增长使投资者的股票从100上升到110，而再次10%的下降使他的股票价值从110下跌到99（110*90%）。投资者没有回到原来的价格起点（100元）的原因在于收益率的计算方法上。从100到110是在100的基础上增长10%，从110到99是在110的基础上下降10%，虽然变化的百分比一样（都是10%），但是变化的基数却不同（100和110），因此最后的结果就不能够回到原起点价格100元。这种简单用百分比相加来衡量最后结果的方法所确定的结论是错误的，例如上面的那个例子，上升10%和下降10%相抵消，股票的价格好象不应该有变化（还是100元），但事实却是99元，我们估计的结果（100）比实际（99）少1元，也就是说，实际的结果是损失1%。正确的计算方法不是通过百分比相加，而是把价格比相乘。价格比就是连续价格的比值。在上例中，两个价格比是110/100=1.1和99/110=0.9。价格比相乘为1.1*0.9=0.99。这才是正确答案，即最后的价格是最初价格的0.99倍。我们可以采用一种数学方法使我们只用加法而不用乘法，那就是，利用对数的性质，对两个数值取对数（在金融中最有用的是自然对数，以e为底），然后相加得到两数乘积的对数。把这种方法应用于上例：ln（110/100）=0.0953ln（99/110）=-0.1054ln（110/100）*（99/100）=-0.0101我们发现，从110下降到99比初始的100上升到110的对数大，这就是为什么最后的结果为负数的原因，它表示整体价格下降。为了找出最后价格下降1.01%后是多少数值，我们需要使用对数的相反概念：指数。因为我们用的是以e为底的对数，我们就用得到0.99或99%。这种计算表明最后的价格是99，也就是正确答案。3从上面的推导过程我们可以总结出，用价格比的对数计算收益率比单用价格比更准确。所以，我们定义收益率为：收益率=ln（St+1/St）比传统的定义方式传统定义收益=（St+1/St—1）更准确。这里，St代表t时间的市场价格，St+1代表一段时间后的价格。考虑收益率在七年中每年增长10%对价格的影响。从100开始，价格逐步增长：100，110.52，122.14，134.99，149.18，164。87，182.21，201.38从绝对值看，价格在七年中翻了一倍，每次增长都比前一次增长幅度大。现在考虑七年中收益率每年下降10%对价格的影响，同样从100开始：100，90.48，81.87，74.08，67.03，60.65，54.88，49.66价格经过七年减了一半，每一次价格下降都比前一次价格下降幅度小。如果我们把这两个系列数据按水平线描绘，表示价格随时间的变化，就可得到如图所表示的图形。它很清楚地表明在图1的右方价格上升加速，图1的左方价格下降减速。让我们回到金融收益服从正态分布这个概念上。如果收益率服从系统的正态分布，那么价格服从扭曲的正态分布，如图1所展示的，左边逐渐压缩，右边逐渐扩展。和图2比较后更清楚，图2显示的是收益率的正态分布，平均值为10%，标准差的绝对值为20%，图3显示的是价格的分布。图3所显示的就是价格分布，我们把它叫做对数正态分布，因为变量即价格的对数呈正态分布。好，了解了这一点，我们就可以进一步学习B—S模型了。第二节Black—Scholes模型2.1B------S定价公式我们知道，任何金融资产的适当价格都是它的预期价值，也就是说，我们现在对它的定价是建立在对它未来价格预期的基础上的。例如，如果一只股票有30%的机会达到49的价位，同时有70%的机会达到50的价位，那么它的适当价格应该为：0.3*40+0.7*50=47（它未来的价格乘以它达到这个价格的概率系数）同样，这个原理也适用于期权。期权到期日的适当价值等于它可能取得的任何价值乘以该价值产生的概率的加总。从上述简单的举例中，只有间断的两个结果。但是期权可以以任何价值出现，因此有必要使用连续分布而不是间断分布。在间断分布中，某个结果的概率可以直接阴影的高度求出，而在连续分布中，某一范围结果的概率由曲线下的阴影部分求得。从看涨期权的定义,期权到期日的预期价值是:E(CT)=E[max(ST–X,0)]等式1这里:E(CT)代表看涨期权到期日的预期价值ST代表对应资产到期日的价格X代表期权的执行价格在到期日有两种可能情况发生.如果STX,看涨期权到期时为价内,则max(ST–X,0)=ST–X.如果STX,看涨期权到期时为价外,则max(ST–X,0)=0.如果P定义为STX的概率,等式1可以改写成:E(CT)=等式2这里:P代表STX的概率E[STSTX]代表在STX下ST的预期价值.4等式2给出了看涨期权到期日的预期价值.为了获得合同的适当价格(因为期权费是预先支付的),该等式应该加以折现得到其现值如下:等式3这里;C代表期权开始时的适当价格r代表连续的复合零风险利率;t代表直到到期日的时间长度.那么,为期权定价的问题现在缩小为两个简单的问题:(1)决定p---即期权到期日时为价内期权的概率,使得STX,(2)决定E[STSTX],即当期权到期日为价内时对应资产的预期价值.这两个问题的答案可以从金融价格的对数分布中找到.下图显示的是金融价格的对数正态分布,它强调了价格超过120的分布(横轴是价格,纵轴表示概率密度).如果我们想要为交割价格为120的期权定价,这个阴影部分将很有用.我们只要找出市场价格超过执行价格120的概率(阴影部分产生的概率),以及发生这种情况时的资产的预期价值就可以了.通过计算,我们得出,阴影部分占整个分布的34%,因此最后价格超过120的概率为034.阴影部分的预期价值(如果在阴影部分中间设一个小木板让它平稳,这个支点刚好在137.894处)为137.894.如果连续复利是12%,交割价格为120的期权的适当价格是:这就是B---S模型给出的期权的价格.那么,0.34和137.894是怎么算出来的?这里就要求我们来推倒概率P和期望值E[STSTX]了.无论是推导概率P,还是推导期望值E的过程都非常复杂,在这里我就不做更多的叙述了.因为如果真的进行一步步的推导的话,恐怕一节课也不会推导完善,而且其中牵扯到了许多复杂的计算过程,所以在这里我就把它省略了.大家只要知道B-S公式的推导原理,并且能够应用它就可以了.就像你只要知道如何操作WORD软件,而不用了解它是如何被编制出来的一样.如果你确实对B-S模型感兴趣,课后你可以找相关的书籍看一下.通过复杂的推导,我们得出:P=N(d2),E[STSTX]=其中,N表示累积正态分布,d1=d2=把它们带入等式3,得到看涨期权完整的定价公式:所以C=这里;S0为现行股价;X为期权的协定价格;t期权至到期日的时间;r为无风险利率;σ为股票收益的标准偏差,波动率;N累积正态分布;ln为自然对数.这就是著名的B—S期权定价模型.B---S模型的产生,为金融界计