《任意角的三角函数》说课稿

1《任意角的三角函数》说课稿尊敬的各位领导,各位老师:你们好，我说课的课题是《任意角的三角函数》，内容取自人教版普通高中课程标准实验教科书《数学》④（必修）第1.2.1节。一、说教材1.本节内容在全书及章节的地位三角函数是描述周期运动现象的重要的数学模型，有非常广泛的应用。三角函数的定义是在初中对锐角三角函数的定义以及刚学过的“角的概念的推广”的基础上讨论和研究的。三角函数的定义是本章最基本的概念，对三角内容的整体学习至关重要，是其他所有知识的出发点。紧紧扣住三角函数定义这个宝贵的源泉，可以自然地导出本章的具体内容：三角函数线、定义域、符号判断、值域、同角三角函数关系、多组诱导公式、多组变换公式、图象和性质。三角函数的定义在教材中起着承前启后的作用，一方面，通过这部分内容的学习，可以帮助学生更加深入理解函数这一基本概念，另一方面它又为平面向量、解析几何等内容的学习作必要的准备。三角函数知识还是物理学、高等数学、测量学、天文学的重要基础。三角函数定义必然是学好全章内容的关键，如果学生掌握不好，将直接影响到后续内容的学习，由三角函数定义的基础性和应用的广泛性决定了本节教材的重点就是定义本身。数学思想方法分析：作为一名数学老师,不仅要传授给学生数学知识,更重要的是传授给学生数学思想、数学意识，因此本节课在教学中力图向学生展示尝试类比、数形结合等数学思想方法。2、教学重点、难点、关键根据课程标准，本节内容的重难点以及关键点如下教学重点：任意角的三角函数的定义，三角函数的符号规律。教学难点：任意角的三角函数概念的建构过程。教学关键：如何想到建立直角坐标系；六个比值的确定性（α确定，比值也随之确定）与依赖性（比值随着α的变化而变化）。3、学情分析学生已经掌握的内容及学生学习能力1）.学生在初中时已经学习了基本的锐角三角函数的定义，掌握了锐角三角函数的一些常见的知识和求法。2）.同学对数学的学习有相当的兴趣和积极性。3）.在探究问题的能力，合作交流的意识等方面发展不够均衡，必须在老师一定的指导下才能进行。4、教学目标根据上述教材结构与内容分析，考虑到学生已有的认知结构心理特征，我制定如下教学目标：1）.知识与技能：掌握任意角的正弦、余弦、正切函数的定义（包括定义域、正负符号判断）；了解任意角的余切、正割、余割函数的定义.2).过程与方法：经历从锐角三角函数定义过度到任意角三角函数定义的推广过程，体验三角函数概念的产生、发展过程.领悟直角坐标系的工具功能，丰富数形结合的经验.3).情感态度价值观：通过学习，渗透数形结合和类比的数学思想，培养学生2良好的思维习惯。培养学生通过现象看本质的唯物主义认识论观点，渗透事物相互联系、相互转化的辩证唯物主义世界观.下面，为了讲清重点、难点，使学生能达到本节设定的教学目标，我再从教法和学法上谈谈：二、说教法数学是一门培养和发展人的思维的重要学科，因此，在教学中，不仅要使学生“知其然”，而且要使学生“知其所以然”，为了体现以学生发展为本，遵循学生的认知规律，体现循序渐进与启发式的教学原则，我进行的教法设计：：在教师的引导下，创设情境，通过开放性问题的设置来启发学生思考，在思考中体会数学概念形成过程中所蕴含的数学方法，使之内心获得真切的感受。教学中注意用新课程理念处理传统教材，学生的数学学习活动不仅要接受、记忆、模仿和练习，而且要自主探索、合作交流、师生互动，教师发挥组织者、引导者、合作者的作用，引导学生主体参与、揭示本质、经历过程。三、说学法课程改革的具体目标之一是“改变课程实施过于强调接受学习、死记硬背、机械训练的现状，倡导学生主动参与、乐于探究、勤于动手，培养学生收集和处理信息的能力、获取新知识的能力、分析和解决问题的能力以及交流合作的能力”。数学作为基础教育的核心课程之一，转变学生的数学学习方式，不仅有利于提高学生的教学素养，而且有利于促进学生整体学习方式的转变。我以建构主义理论为指导，辅以多媒体手段，采用着重于学生探索研究的启发式教学方法，结合师生共同讨论、归纳。根据本节课内容、根据学生认知特点，本节课采用“启发探索、讲练结合”的方法组织教学教法，在课堂结构上，设计了1创设情境，复习引入概念2观察归纳，形成概念3.例题讲解，深化概念4.归纳小结，提高认识5.布置作业6课后反思。六个层次的学法，它们环环相扣，层层深入，从而顺利完成教学目标。接下来，我再具体谈一谈这堂课的教学过程：四、教学程序及设想1．创设情境，复习引入概念思考：我们已经学过锐角三角函数，知道它们都是以锐角为自变量，以比值为函数值的函数，你能用直角坐标系中角的终边上点的坐标来表示锐角三角函数吗？结论：在Rt△ABC中，设A对边为a，B对边为b，C对边为c，锐角A的正弦，余弦，正切依次为：,,abasinAcosAtanAccb锐角三角函数就是以锐角为自变量，以比值为函数值的函数思考1:角推广后，这样的三角函数的定义不再适用，我们必须对三角函数重新定义.你能用直角坐标系中角的终边上点的坐标来表示锐角三角函数吗?3MOP(a,b)Yx1A(1,0)MOP(a,b)YxA(1,0)OP(x,y)Yx如图,设锐角的顶点与原点O重合,始边与x轴的正半轴重合,那么它的终边在第一象限.在的终边上任取一点(,)Pab,它与原点的距离220rab.过P作x轴的垂线,垂足为M,则线段OM的长度为a,线段MP的长度为b.则sinMPbOPr;cosOMaOPr;tanMPbOMa.思考2：对于确定的角，这三个比值是否会随点P在的终边上的位置的改变而改变呢？为什么?根据相似三角形的知识，对于确定的角，三个比值不以点P在的终边上的位置的改变而改变大小.我们可以将点P取在使线段OP的长1r的特殊位置上，这样就可以得到用直角坐标系内的点的坐标表示锐角三角函数：sinMPbOP;cosOMaOP;tanMPbOMa.单位圆:在直角坐标系中,我们称以原点O为圆心,以单位长度为半径的圆称为单位圆.上述P点就是的终边与单位圆的交点,锐角的三角函数可以用单位圆上点的坐标表示.2观察归纳，形成概念1）.任意角的三角函数的定义结合上述锐角的三角函数值的求法,我们应如何求解任意角的三角函数值呢?显然,我们可以利用单位圆来定义任意角的三角函数.如图,设是一个任意角,它的终边与单位圆交于点(,)Pxy,那么:(1)y叫做的正弦(sine),记做sin,即siny；（2）x叫做的余弦(cossine),记做cos,即cosx；（3）yx叫做的正切(tangent),记做tan,即tan(0)yxx.思考3:在上述三角函数定义中,自变量是什么?对应关系有什么特点,函数值是什么?说明:(1)当()2kkZ时，的终边在y轴上，终边上任意一点的横坐标x都等于0，所以tanyx无意义,除此情况外，对于确定的值，上述三各值都是唯一确定的实数.(2)当是锐角时，此定义与初中定义相同；当不是锐角时，也能够找出三角453A(1,0)OBYx函数，因为，既然有角，就必然有终边，终边就必然与单位圆有交点(,)Pxy，从而就必然能够最终算出三角函数值.(3)正弦,余弦,正切都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，我们将这种函数统称为三角函数.3.例题讲解，深化概念2）.利用定义求角的三角函数值例1.求53的正弦,余弦和正切值.解：在直角坐标系中，作53AOB,AOB的终边与单位圆的交点坐标为13(,)22，所以53515sin,cos,tan332323思考：如果将53变为76呢？例2．已知角的终边过点0(3,4)P，求角的正弦,余弦和正切值.思考：如何根据例题1解答思考：一般的，设角a终边上任意一点的坐标为（x,y）,它与原点的距离为r,则sin,cos,tanyxyaaarrx，你能自己给出证明吗？思考如果将题目中的坐标改为（-3a，-4a）,题目又应该怎么做？（课后练习）【设计意图】：为了使学生达到对知识的深化理解，从而达到巩固提高的效果，把课本的例题融入及时训练中，通过学生的观察思考、讨论研究、教师引导来巩固新知识。3）．三角函数的定义域和函数值符号探究：请根据上述任意角的三角函数定义，先将正弦，余弦和正切函数在弧度制下的定义域填入下表，再将这三种函数的值再各象限的符号填入下表函数定义域sinyRcosyRtany{|,}2kkZ5例3,求证：当下列不等式组成立时，角a为第三象限角，反之也对sin0tan0aa证明：如果sin0a成立，那么角a的终边可能位于第三或第四象限，也可能与y轴的非负半轴重合;如果tan0a，所以角a的终边可能位于第一或第三象限所以，角a的终边只能位于第三象限，时第三象限角反过来，请同学们自己证明变式训练（一）判断下列各式的符号1.00sin340cos2652.23sin4tan()4（二）求函数sintanyaa的定义域4）.诱导公式一由三角函数的定义，可以知道，终边相同的角的同一三角函数的值相等，由此得到一组公式sin(2)sinakacos(2)cosakatan(2)tanaka利用公式一，可以把任意角的三角函数值，转化为求0到2的三角函数值例4.确定下列三角函数值的符号：（1）0cos250（2）sin()4（3）0tan(672)（4）tan3变式训练（一）求下列各式的值1.2515costan()342.0000sin420cos750sin(690)cos(660)4.归纳小结，提高认识：1.任意角的三角函数的定义2.三角函数的定义域及三角函数值的符号63.诱导公式让学生通过知识性的小结，把课堂教学传授的知识尽快转化为学生的素质；通过数学思想方法的小结，是学生更深刻地理解数学思想方法在解题中的地位和运用，并且逐渐培养学生良好的个性品质。5布置作业必做：课本习题1.2A组第3,7,9题选作：课本习题1.2B组3学生经过上面的学习，已经初步掌握了三角函数的基本知识，有待进一步提高认知水平，因此针对学生素质的差异设计了有层次的训练题，留给学生课后自主探究练习，这样既使学生掌握基础知识，又使学有余力的同学有所提高，从而达到“拔尖”和“减负”的目的。6课后反思五、说板书设计1.2.任意角的三角函数的定义一复习引入二新课讲授1.任意角的三角函数的定义(1)锐角三角函数坐标化（2）任意角三角函数的定义2.利用定义求角的三角函数值例1.求53的正弦,余弦和正切值例2．已知角的终边过点0(3,4)P，求角的正弦,余弦和正切值.3．三角函数的定义域和函数值符号例3,求证：当下列不等式组成立时，角a为第三象限角，反之也对sin0tan0aa4.诱导公式一例4.确定下列三角函数值的符号：（1）0cos250（2）sin()4（3）0tan(672)（4）tan3三.课堂小结四布置作业