第4讲期权定价及应用

期权定价原理及其应用5.1期权定价原理期权期权赋予期权持有人在到期日、以执行价格（从期权出售方）买入或卖出相关资产的权利（但不是义务）。看涨期权合约中指定：——相关资产、执行价格(X)、到期日(T)●欧式看涨期权赋予期权持有人只能在到期日T、以执行价格X（从看涨期权出售方）买入（“看涨”）相关资产的权利（但不是义务）。●美式看涨期权赋予期权持有人在到期日T前或到期日、以执行价格X（从看涨期权出售方）买入（“看涨”）相关资产的权利（但不是义务）。到期日看涨期权的价值ST＝到期日T相关资产或股票的价值或价格。CT＝在到期日执行价格为X的看涨期权的价值是ST的函数如果STX，则成为“实值期权”。如果STX，则成为“虚值期权”。如果ST=X，则成为“两平期权”。看跌期权指定：——相关资产——执行价格(X)——到期日(T)欧式看跌期权赋予期权持有人只能在到期日T、以执行价格X（向看跌期权出售方）卖出（“看跌”）相关资产的权利（但不是义务）。美式看跌期权赋予期权持有人在到期日T前或到期日、以执行价格X（向看跌期权出售方）卖出（“看跌”）相关资产的权利（但不是义务）。到期日看跌期权的价值ST＝到期日T时，相关资产或股票的价值或价格。PT＝在到期日、执行价格为X的看跌期权的价值是ST的函数如果STX，则成为“实值期权”。如果STX，则成为“虚值期权”。如果ST=X，则成为“两平期权”。Black-Scholes公式欧式看涨期权的公式计算是：这儿：S＝相关资产或股票的现价T-t＝剩余到期时间r＝连续无风险收益率e≈2.71828＝相关资产或股票连续复利报酬率的标准差（即波动）N(y)＝均值为0、方差为1的标准正态分布随机变量小于y的概率期权定价基本原理问题：一只股票目前价格100元，未来可能上涨到120元，也可能下跌至80元；如果现在你为了规避股票下跌的风险，买入一份看涨期权（执行价格为110元）那么，你应该支付多少钱得到这份看涨期权（对方需要多少钱才会愿意承担此风险）？期权的支付100120（120-110=10）80（0）无套利原理如果不同的资产在未来带来相同的现金流，那么资产（当前）的价格应该相等，否则就会存在套利的机会；横向套利：不同市场纵向套利：不同期限二叉树期权定价二叉树期权定价（BinomialoptionPricingModel）由Cox,Ross,Rubinstein等人提出为期权定价模型为B-S模型提供一种比较简单和直观的方法12例：远期汇率与即期汇率抛补利率平价抛补利率平价公式(1+美元利率)=(1+英镑利率)x(美元/英镑远期汇率)/(美元/英镑即期汇率)所以存在平价关系：即期汇率=远期汇率x(1+外币利率)/(1+本币利率)例：人民币抛补利率平价例：2010年4月利率:中国是2.25%美国：最高1.5%汇率即期汇率是6.823远期汇率是6.647投资策略：ⅰ在纽约的银行存1美元，一年以后得到1.015美元ⅱ将1美元换成RMB6.823,存入中国的银行可以获得:6.823x1.0225=RMB6.9765用远期汇率换成美元，可获得：6.9765/6.647=$1.0495策略ⅱ可获得有无风险的利润期权定价的基础就是无套利原理构建一种资产组合，其未来的现金流支付等于期权的支付，那么期权的价格就应该等于该资产组合的价格二叉树定价模型：Astockpriceiscurrently$20Inthreemonthsitwillbeeither$22or$1818StockPrice=$22StockPrice=$18Stockprice=$20A3-monthcalloptiononthestockhasastrikepriceof21.19StockPrice=$22OptionPrice=$1StockPrice=$18OptionPrice=$0Stockprice=$20OptionPrice=?构建无风险组合ConsiderthePortfolio:longDsharesshort1calloptionPortfolioisrisklesswhen22D–1=18DorD=0.252022D–118DD股股票－1份期权=无风险证券→1份期权=D股股票-无风险证券单期二叉树期权定价模型考虑一个买权在当前时刻t，下期t=T到期，中间只有1期，τ=T-t假设该买权的标的股票是1个服从二项分布的随机变量。当前股票价格为st=S是已知的，到期股票价格为sT，且满足21,1,(),1,()1uuTTddTTssuSSuPssqssdSSdPssq其中，u为上涨因子，d为下跌因子22sT=su=uSsT=sd=dSstq1-q问题：如何确定该期权在当前时刻t的价值ct？设想：构造如下投资组合，以无风险利率r借入资金B（相当于无风险债券空头），并且在股票市场上购入N股股票（股票多头）。目的：在买权到期日，上述投资组合的价值特征与买权完全相同。在当前时刻t，已知股票的价格为s，构造上述组合的成本为23tNsBNSB在到期时刻T，若希望该组合的价值v与买权的价值完全相同则必须满足uuruddrdvNsBecvNsBec且由上两式得到()/()()/[()]()/[()]()/()/[()]udududduududrddrudrNccssccudSBscscsseNscedcucude由此得到的组合称为合成期权（syntheticoption），由无套利定价原则，在当前时刻t买权的价值为NSB()()(1)(1)()(1)[(1)]tudududurdrrurdrrrurdrrrurdrudrcNSBccdcucccdceuceSudSudeudcdecueeduececeudududededcecepcpceududredherepud，例子假设有1个股票买权合约，到期日为1年，执行价格为112美元，股票当前的价格为100美元，无风险利率为8％（连续复利折算为单利）。在到期日股票的价格有两种可能：180美元或者60美元，求期权的价值？25sT=su=us＝180sT=sd=ds=60stq1-qct？cT=cu=max(0,Su-112)=68cT=cd=max(0,Sd-112)=026()/()(680)/(18060)0.57()()/(0.57600)/1.0831.48()ududddrNccssBNsce股元1.08100600.418060rrdudedesspudss－[(1)]25.18(udrtcpcpce美元)Dicussion:Risk-neutralprobability1.pisRisk-neutralprobabilityforallsecurities。stock’sexpectedrelativereturnis27(1)(1)udrrrspspsededyueSudud0[(1)]/udrcsypcpcceyOption’sexpectedrelativereturnisSo，pisavariablewhichmakeriskfulstockandcalloption’sexpectedreturnarebothonlyrisklessinterestrate.Fortheabovereason,Wecallp“riskneutralprobability”.Dicussion:Risk-neutralprobability2.在风险中性世界中，主观概率q没有出现。虽然个人对q的信念是不同的，但是在期权的定价过程中并没有涉及到q，也就是人们对q认识的分歧并不影响对期权的定价结果。投资者最终都一致风险中性概率p，它只取决于r，u，d这三个客观因子。28(1)[(1)]rrrdrtudrededceceududpcpceDicussion:Risk-neutralprobability风险中性世界，不必考虑风险，这等价于假设投资者是风险中性的。若在期初构造如下组合：以S的价格买入N股股票，同时以c的价格卖出1个期权，则该组合的投资成本为NS－c必然等于B。若sT＝su29[()/()]uududuurvccssscBe若sT＝Sd[()/()]dududddrvccssscBe投资者虽然投资于有风险的股票和期权，但是由二者构成的组合NS－c，即相当于投资1个无风险的证券。组合贴现率的贴现率只能是无风险利率由于是无风险证券，对于理性投资者，不论其偏好如何，其风险态度对于这样的组合是无关紧要。只要考虑收益的大小即可，由此大大简化资产的定价。基于上述的理由，只要以上述方式构建投资组合来对期权定价，就等价于假设投资者是风险中性的，既然是风险中性的，则对这样的组合定价就不必考虑风险问题。30两阶段二叉树定价模型由于标的资产市场价格是1个连续（接近连续）的随机变量，不可能只有2种情形，因此可以考虑将时间T-t分为多段处理，首先介绍两阶段模型。31两阶段模型（Two-stepbinomialtree)若把从定价日t至到期日T的时间区间T-t，划分为2个阶段，在每1个阶段，仍然假设标的资产价格只可能取2种状态，上涨和下跌，且上涨和下跌的幅度相等，则第2阶段结束时候（t=T），标的资产价格的取值为3个，并且令h为每个阶段的时间长度22Tth两阶段模型示意图32stctsu,cuuduuddsd,cdsuu,cuusud,cudsdd,cdd其中，u＝1/d两阶段模型第2期本来有4种状态，为简化分析，不妨规定u=1/d，则第2、3两种状态为同一结果，故将其合并。期权到期日价值的所有可能值为3322max(0,)max(0,),max(0,)max(ma0,)max(0x(0,),)uuuutudduudddddcsXuSXsSccsXScsXdSXudX由1阶段模型可知，在风险中性条件下34[(1)],[(1)]uuuudrhdudddrhcpcpcecpcpce222[(1)][2(1)(1)]udrhtuuudddrhcpcpcepcppcpce,rhedherepud注意：风险中性概率p只与r，h，u，d有关，当上述值确定下来后，两个阶段的p就完全相同，这也正是阶段平分的优点。3522max(0,)max(0,)max(0,)max(0,)max(0,)max(0,)max(0,)uuuuudduudddddudcsXuSXccsSXScsXXXXdS2222222[2(1)(1)][max(0,)2(1)max(0,)(1)max(0,)]uuudddrhtrcpcppcpcepuSXppSXpdSXe当前时刻t，期权的价值为,theresS定价思路：倒推定价法1.首先得到2期节点的股票价格，从而得到该期的期权价格。2.采用风险中性定价，通过贴现得到1期节点的股票价格和期权价格。3.由1期的股票价格得到期权价格，得到当前期权的价格。4.风险中性定价下，每一期的风险中性概率都是相同的。365.4n阶段二叉树定价模型将定价日t到到期日T的时间进一步等分为n个阶段，每个阶段的长度为h37Tthnn标的资产在到期日的状态可能取值为n＋1个.若n→∞，即每个阶段所对应的长度无穷小，则完全有理由用二叉树来近似表示标的资产价格的连续变化过程。数学意义：根