第六章期权定价理论

2019/10/101第六章期权定价理论2019/10/102一、期权价格的确定（一）期权价格的构成１.概念是指买方期权为获取远期选择权而支付给卖方期权的代价，或是卖方期权因让渡远期选择权而向买方期权收取的报酬。２.构成期权价格＝内在价值＋时间价值如图3-32。2019/10/103⑴内在价值有时也称为”货币性“（moneyness），是指期权的买方马上执行合约时其可能获得的现金流与零之间的最大值。2019/10/104看涨期权：)()()(时时KScKSKScP看跌期权：)()()(时时KSpKSSKpP⑵时间价值是期权价格中超过内在价值的那部分价格，是指在期权有效期内标的资产价格波动为期权持有者带来收益的可能性所隐含的价值。通常，期权合约的剩余有效时间越长，其时间价值也就越大。（其中P为期权的时间价值）2019/10/105显然，标的资产价格的波动性越高，期权的时间价值越大。此外，期权的时间价值还受期权内在价值的影响，以无收益看涨期权为例，当时，期权的时间价值最大，当的绝对值增大时，期权的时间价值是递减的。它们的关系见下图。)(tTrXeS)(tTrKeS)(tTrKeS2019/10/106图3-32无收益资产看涨期权的时间价值与内在价值的关系2019/10/107二、期权价格的影响因素期权价格的影响因素有六个，他们通过影响期权的内在价值和时间价值来影响期权的价格。（一）标的资产的市场价格与期权协议价格由于看涨期权在执行时，其收益等于标的资产当时的价格与协议价格之差，因此，标的资产的价格越高，协议价格越低，看涨期权的价格就越高；对看跌期权面而言，其收益等于协议价格与标的资产当时的价格之差，标的资产的价格越低，协议价格越高，看跌期权的价格就越高。2019/10/108（二）期权的有效期对于美式期权而言，期限越长获利机会就越多，因此期权的价格会越高。对于欧式期权，由于其只能在期末执行，有效期长的期权不一定包含有效期短的期权的所有执行机会，如标的资产在期限长的有效期内有红利支付（在知短的期限内没有），那么期限长的期权的价格就会低于期限短的期权。这就使欧式期权的有效期与期权的价格之间的关系显得较为复杂。如果剔除了标的资产支付大量收益这一特殊情况，由于有效期长，标的资产的风险就越大，空头的亏损风险就大，因此有效期长，其期权的价格就越高。2019/10/109（三）标的资产价格的波动率（四）无风险利率（五）标的资产的现金收益标的资产分红付息等将减少标的资产的价格，而协议价格并未进行调整，因此在期权的有效期内标的资产产生现金收益将使看涨期权的价格下降，并使看跌期权价格上涨。2019/10/1010三、期权价格的上、下限1、无套利定价法套利就是在某些金融资产的交易过程中，交易者可以在不需要期初投资支出的条件下期末获取无风险报酬。如果定量描述的话，就是指：一个投资组合，如果在投资的时刻不需要支出，即：0)(0V而存在一个时刻t，使得：0)(tV且00)(PrtV2019/10/1011定理1若市场在时段[0，T]内是无套利机会的，则对于两个投资组合1和2，如果)()(21TTVV)()(21TTVV且0)()(Pr21TTVV那么，对于任意的],0[Tt，必有)()(21ttVV)()(21ttVV证明：反证法。（略）2019/10/1012推论若市场在时段[0，T]内是无套利机会的，则对于两个投资组合1和2，如果其到期时组合的价值相等，则其任意)()(21TTVV时刻的价值均相等。)()(21ttVV2019/10/10132、期权价格的上、下限基本假设：1、市场不存在套利机会；2、证券交易不付交易费用（市场无摩擦）；3、无风险利率r是常数（复利）定理２对于有效期内无收益标的资产的欧式期权，以下的估计式成立tttTrtScXeS)(tttTrtScXeS)()()(tTrtttTrXepSXe2019/10/1014证明：在t时刻，构造两个投资组合：)(1tTrKecS2因此KSKKSKcVTTTT,max)(1TTSV)(2由定理1知：)()(21ttVV2019/10/1015那么)()(21ttVVttTrtSKec)(又由于0tc至此我们证得了期权的下界。再构造一组合c3通过同样的分析，我们有)()(32ttVV所以)()(32TTVVttcS。看涨期权的上下界证毕。（看跌期权的上下界的证明由学生自己完成）2019/10/1016定理4对于有效期内有已知收益标的资产的欧式期权，以下的估计式成立（考虑复利率）：tttTrtScXeDS)()()(tTrtttTrXepSDXe其中D是期权有效期内资产收益的现值。2019/10/1017四、期权价格曲线的形状（以无收益资产的情况为例）2019/10/1018五、欧式看涨、看跌期权的平价公式定理4看涨——看跌平价公式（无收益资产）：pSXectTr)(定理5看涨——看跌平价公式（有确定现金收益资产，收益的现值为D）：pSDXectTr)(2019/10/1019六、期权定价方法（一）二叉树方法1、一个例子假定原生资产——股票在时刻的价格为40元，一个月后，有两种可能性：上扬到45元或下跌到35元。那么在时刻购买一张一个月到期，敲定价格为40元的平价看涨期权，问应该支付多少期权金？（假定一年期的存款利率为12%）。2019/10/1020根据期权到期时的收益40TTSc由题设，在到期日，期权的价值亦有两种可能性：若股票价格上扬，期权的收益为54045Tc54045Tc；若股票价格下跌，则04035Tc，即期权一文不值。基本思想：无套利定价法在开始时刻，构造一个投资组合cS22019/10/1021在到期日，该组合的价值也有两种可能性：若股票价格上扬，355245)(TV若股票价格下跌，350235)(TV即在到期日，该组合具有确定的值35)(TV（元）另外构造一个投资组合65.3401.01351B65.3401.01351B那么在到期日（即一个月后），该组合的收益也等于35%121211)(1BVT（元）2019/10/1022因此有)()(1TTVV，由无套利假设，知：)()(1ttVV即BcS2由此得：695.2265.3440c这表明投资者为了购买这张期权，在开始时刻应该支付期权金2.695元2019/10/10232、一期模型关于风险资产（股票、外汇等）的价格变化规律的研究，从最简单的模型——单时段—双状态模型开始。以此为基础，我们讨论如何利用无套利原理，求出它的衍生物——期权的价格。单时段（oneperiod）：是指交易只在时刻的初始时刻以及终止时刻进行。双状态（twostate）：是指风险资产的价格在未来时刻只有两种可能性：dTuTSS和2019/10/1024我们的问题是：假如在开始时刻，风险资产的价格为S，预期在T时，它的价格可能是：0uSSuT0dSSdTdu（）现投资者在购买一张到期日为T，敲定价格为X的看涨期权，如果在[0，T]时段无风险利率为r(实际利率)，那么该看涨期权的价格为多少？我们的思想是：构造无风险的投资组合。试想卖出几份看涨期权，出售方必然面临风险，为了回避这个风险，出售方要采取适当的策略对风险进行控制，即买进股票与它对冲，使得组合为无风险的。记这个份额为，这就是—对冲的思想。2019/10/1025构成投资组合：购买一份股票，卖掉份看涨期权，使得该组合无风险的方法：利用—对冲技巧假定存在，使得是无风险的，即在时刻，的价值TtTTTcSV)(是确定的，即无风险的。既然是无风险的，那么的投资增长率为无风险利率(不计复利)，即)()1()()(00VrVVT2019/10/1026由此得：0TTcS（3.1)由于在到期时刻股票价格有两种可能性，所以在组合的价值也有两种可能性，但由于构造的是无风险组合，那么我们有dTdTuTuTcScS（3.2）由（3.1）和（3.2），我们知：dTuTccduS)(dTuTcduucdudc12019/10/1027注意：由无套利假设知：ud由此定义新的概率测度Q：uTTuSSdudqPrdTTdSSduuqPr易知：1,0duqq1duqq2019/10/1028从而期权价格可以改写为)(11TQdTduTucEcqcqc通常也将测度Q称为风险中性测度，上式告诉我们，看涨期权的价格也可以解释为在风险中性概率条件下，其价格等于期权到期价值的期望值的折现值。3、期权定价的二期模型（略）2019/10/1029（二）B—S期权定价公式1、基本假设1）股票价格满足随机微分方程：0d()dd(),(0)()SttWtSSSt其中是股票的期望收益率，是股票价格的波动率。2）股票市场允许卖空；2019/10/10303）没有交易费用或税收；4）所有证券都是无限可分的；5）证券在有效期内没有红利支付；6）不存在无风险套利机会；7）交易是连续进行的；8）无风险利率是常数。2019/10/10312、B—S微分方程构造组合：cS选取适当的，使得在(,)ttdt(,)ttdt时段内，是无风险的。利用无套利理论和ITO引理，即可得到著名的B——S微分方程rcScSScrStc2222212019/10/10323、B——S期权定价公式1973年，Black和Scholes成功求解了他们的微分方程，从而获得了看涨期权的定价公式。定理（B—S公式）欧式看涨期权的价格为)()(2)(1dNXedNSctTrtt其中tTtTrXSdt))(21()/ln(21tTdd122019/10/1033根据欧式看涨看跌的平价公式，对于无收益资产的看跌期权，其定价公式为：)()(12)(dSNdNXeptTrt2019/10/1034例已知A公司股票的价格服从几何布朗运动，即满足随机方程：解；由B—S定价公式其中)(tStttdWdtSdS35.02.0公司股票现在的市价是$92，到期期限为50天、执行价格为$95的该公司股票欧式看涨期权的价格是多少？（无风险利率为7.12%）)()(2)(1dNKedNSctTrtt1076.0137.035.0137.035.05.00712.0)95/92ln(21d2371.0137.035.01076.012tTdd查表可知：543.0)1076.0(N594.0)2371.0(N因此457.0)1076.0()(1NdN406.0)2371.0()(2NdN所以该欧式看涨期权的价格为848.3406.008.94457.092c（因为08.9495137.00712.0)(eKetTr（美元）（美元））2019/10/1037（三）有收益资产的期权定价公式当标的资产已知收益的现值为I时，我们只要用（S—I）代替式中的S，即可求得有固定收益证券欧式看涨期权和看跌权的定价公式。当标的资产的收益为按连续复利计算的固定收益率q时，我们只要将)(tTqSe代替S就可求得支付连续复利收益率证券的看涨和看跌期权的定价公式。2019/10/1038例假设当前英镑的即期利率为1.5000美元/英镑，美国的无风险连续