股指期货定价模型

衍生品研究金融工程概述2008年将会成为股指期货元年，在此，我们将逐步推进对股指期货的多项研究，未雨绸缪。无论是股指期货套利还是套期保值，定价模型的准确性是前提，因此我们首先进行这方面的研究。本文介绍常用的四种定价模型，并利用恒生股指期货和道琼斯工业平均指数期货市场数据对四种定价模型进行实证，结论是：相对于持有成本模型、HL模型和双因子不完美市场模型，单因子不完美市场模型所获得的预测效果是最好的。相关研究《东边日出西边雨—2008年衍生品市场投资策略》2007.12.5黄宇红[e-mail]地址：深圳市深南大道4001时代金融中心大厦17楼邮编:518034电话:4008-888-228股指期货StockIndexFutures2007年12月26日股指期货定价模型定价效果的实证研究2007年12月GoldStateSecuritiesInc.请参阅文后免责条款曙光在前金元在先-1-持有成本模型Cornell和French(1983)基于以下几个简化的假设，发展出一套持有成本的定价模型：(1)资本市场是完美的；即无税收、无交易成本，不限制卖空且资产是完全可分割的。(2)可以以无风险利率借入及贷出资金，且借、贷利率相同并为一固定常数。(3)股利的支付也是已知且为一固定的常数，即无股利不确定风险。假设一位投资者在t时刻，进行下列投资策略：支付S（t）买入一股股票，此投资者在到期日T时的现金流为：()(,)STDtT+，其中()ST为股票在T时的价值，(,)DtT为从t到T期间的股利。另一种投资策略是在t时持有一单位股票指数期货合约并投资()St元购买无风险债券，则这种投资策略T时的现金流为：()()()(,)rTtSteSTFSt-+-，其中()()rTtSte-为投资在无风险债券上的本金和收益，r为无风险利率，而()(,)STFSt-为持有一单位股票指数期货合约至到期日的收益。假定股利支付是已知的常数，两种策略所面临的风险相同，根据无套利原理，两种投资策略在T时皆有相同的现金流，即有：()()(,)()()(,)rTtSTDtTSteSTFSt-+=+-，整理的后可以得到下式：()(,)()(,)rTtFStSteDtT-=-（1）上式中，()St为现货指数在t时的实际价格，T－t为从t时至到期日的时间长度，以年计算。若在股利收益率q固定且以连续复利计算，则（1）式可简化为()()(,)()rqTtFStSte--=Hemler-Longstaff模型Hemler和Longstaff(1991)依据Cox,Ingersoll,andRoss(1985)的理论架构，除了考虑标的现货指数(S)为随机因子的外，并将利率(r)及市场波动性(V)也视为随机因子，发展出一套封闭式一般均衡评价模型如下：(,,,)()exp(()())qFSrVSeABrCVttttt-=+（2）其中222()22exp()/22exp()/2()()(exp(1)2()(exp()1)2Aaddhxffbtyybgttbfftfybgyty+⎛⎞⎛⎞++-=×⎜⎟⎜⎟+-++--+⎝⎠⎝⎠，2exp()1()()(exp()1)2Bfttbfftf-=+-+2007年12月GoldStateSecuritiesInc.请参阅文后免责条款曙光在前金元在先-2-2(1exp())()()()(exp()1)2CBytttybgyty-=++--+，222fbh=-，22()2ygbx=-+。上式中S为标的现货指数，r为无风险利率，V为市场报酬率的方差；q为股利率，t为距到期日的期间T-t。双因子不完美模型对于二因子不完美市场，考虑标的现货指数S与其报酬的瞬时标准差s为随机因子情况。在推导二因子不完美市场下的指数期货定价模型时，作以下的假设：(1)标的现货指数S在期货合约存续期间，支付连续的股利率q；(2)在期货合约存续期间，市场不完美度保持不变；(3)标的现货指数与其报酬的瞬时标准差s皆为随机因子，而S与s假设服从下列随机过程：1()dSuqSdtSdZs=-+，2ddtdZsfsxs=+其中变量f和x取决于s和t；1dZ和2dZ为标准的Wiener过程，且12dZdZdtr•=，r为相关系数。得到以下模型：,1,1,1,1,1,,1,1,1,1,,1,1,,,1,,1,1,1,1jkijkjkijkjkijkjkijkjkijkjkijkjkijkaFbFcFdFeFfFgF+++++++-++++-+-+++++++,1,1,,1,1,1,,[1(())]jkijkjkijkpijkhFlFuuqtFa+-+--++=+--V（3）其中，,,,,,,,,,1jkjkjkjkjkjkjkjkjkabcdefghl++++++++=单因子不完美模型对于单因子不完美市场，考虑标的现货指数S为随机因子情况。在推导单因子不完美市场下的指数期货定价模型时，作以下的假设：(1)标的现货指数S在期货合约存续期间，支付连续的股利率q。(2)在期货合约存续期间，市场不完美程度保持固定不变。(3)标的现货指数为随机因子，其随机过程服从几何Wiener过程，即：()dSuqSdtSdZs=-+，其中u为现货指数S的瞬时成长率；s为现货指数的瞬时标准差；dZ为标准Wiener过程，()0EdZ=且2dZdt=。则得到以下模型：()()(,)puqTttFStSe--=（4）若现金股利的支付是属于间断型的且不固定，在连续复利观念之下，则（4）式变为：()(,)()puTtttFStSDe-=-其中()1,()/inrtttiitiitSdwDep-==∑为合约存续期间所发放现金股利于t时点之现值；id为第i个股票在合约2007年12月GoldStateSecuritiesInc.请参阅文后免责条款曙光在前金元在先-3-存续期间所发放的每股现金股利；iw为第i个股票占指数的比重。it为第i个股票发放现金股利的时间；,itp则为第i个股票在t时点的股价。数据与指标选择道琼斯工业平均指数期货从上个世纪80年代推出以来，已经经过20多年的发展，成为具有较大影响的股票指数期货，因此，将道琼斯工业平均指数期货市场作为成熟市场的代表。另外，香港恒生指数期货起步较晚，可以作为新兴市场的代表。所有选用的期货数据均来自文华财经2006年的实际交易数据。我们选用价格误差比率为指标，价格误差比率的求取方法为将第t期之指数期货实际价格与其理论价格之差，并除以理论价格，即：(,)(,)ttAFFStZFSt-=，其中tAF代表在t时指数期货的实际价格，tZ为价格误差率。运用移动平均法来估计市场报酬的波动性：121()1ttiitnVRRn-=-=--∑，11iiiiPPRP---=，11tiitnRRn-=-=∑。对于双因子不完美市场的指数期货定价模型，终值条件的确定方式：(,,)TFSTSs=；参数ln()TtSSTtm=-。实证检验以C代表持有成本模型，M1代表单因子不完美市场定价模型，M2代表双因子不完美市场模型，H-LM代表HL模型。1、四种模型在道琼斯工业平均指数期货上的实证结果表1四种股票指数期货定价模型的价格误差比率的比较（道琼期指）合约与模型平均值（％）标准差（％）最大值（％）最小值（％）2006年3月合约C0.14890.24320.6745-0.7356M1-0.00270.07640.6523-0.9673H-LM0.11040.21621.3847-0.8110M20.30230.69201.4012-0.14832006年6月合约C0.12350.30570.8754-0.94732007年12月GoldStateSecuritiesInc.请参阅文后免责条款曙光在前金元在先-4-M1-0.00100.08100.8913-0.9845H-LM0.03400.18490.8513-1.0263M20.31350.85421.1261-0.54362006年9月合约C0.15370.40310.8046-1.2135M1-0.00320.05810.9482-1.2140H-LM0.02050.15200.8746-1.3725M20.24630.67520.4570-0.0232006年12月合约C0.18890.49581.3010-1.1034M1-0.00720.06160.6207-0.8564H-LM0.04530.16471.1769-1.0831M20.25810.57430.4139-0.0287数据来源：金元证券研究所从表1可以看出，每一个合约均显示，M1价格的均值为负值，表明M1模型的预测价格总体上高于实际股指期货的价格。持有成本模型预测价格的均值则均为正值，显示持有成本定价从总体上低于实际股指期货价格。对几个模型的价格误差比率的平均值进行比较可以看出，M1的价格误差比率的平均值非常低，明显优于其他三个模型。持有成本模型的价格误差比率的平均值相当大，表明它的定价误差比较大。HL-M模型和M2的价格误差比率的平均值也有显著的正值，表明HL-M模型和二因子不完美市场定价模型所计算出的理论期货价格均低于实际期货价格。2、四种模型在恒生指数期货上的实证结果表2四种股票指数期货定价模型的价格误差比率的比较（恒指期货）合约与模型平均值（％）标准差（％）最大值（％）最小值（％）2006年1月C0.21410.53741.7453-1.3126M1-0.00130.05670.3726-0.57812007年12月GoldStateSecuritiesInc.请参阅文后免责条款曙光在前金元在先-5-H-LM-0.07360.20510.7452-1.1735M20.35270.57822.1036-1.32072006年2月C0.17140.33571.4571-0.9318M1-0.00240.04730.3586-0.6895H-LM0.06850.16471.2623-1.4265M20.25470.78392.6966-2.14352006年3月C-0.22950.36731.3506-1.5738M1-0.00210.08750.8327-1.3516H-LM0.08150.15470.9482-1.4052M20.32560.79831.8407-2.17942006年6月C-0.25830.34251.2446-1.9851M1-0.00310.09780.7469-0.8735H-LM-0.10330.23821.0324-0.9785M20.36570.61692.0748-1.60142006年9月C0.20320.32631.1258-1.7914M1-0.00650.10130.6725-0.9894H-LM0.01760.27210.9603-1.7859M20.30680.64272.1326-1.23052006年12月C0.14850.25971.5074-0.8731M1-0.00340.08290.8965-0.8017H-LM0.02540.25931.1357-1.7569M20.75700.87362.3258-2.1764数据来源：金元证券研究所由表2可以看出，整体而言，M1的单因子定价模型比其他三个模型更吻合于实际价格，M1模型的价格误差比率平均值非常低，相对其他模型，M1的价格误差比率的平均值是最接近零的。从2007年12月GoldStateSecuritiesInc.请参阅文后免责条款曙光在前金元在先-6-标准差来看，M1模型的标准差在四个模型中也是最小的，表明它具有更好的预测效果，更加吻合股指期货的实际价格。实证结果分析从对四种模型检验的结果看，不管是对成熟市场的道琼斯工业指数期货还是对新兴市场的恒生指数期货，单因子不完美市场指数期货定价模型所获得的预测效果是最好的，且明显异于持有成本模型、HL模型和双因子不完美市场指数期货定价