材料力学——5梁的弯曲应力

1§5－１纯弯曲1、弯曲构件横截面上的（内力）应力内力剪力Q剪应力t弯矩M正应力s平面弯曲时横截面s纯弯曲梁(横截面上只有M而无Q的情况)平面弯曲时横截面t横力弯曲(横截面上既有Q又有M的情况)2、研究方法纵向对称面P1P2例如：某段梁的内力只有弯矩没有剪力时，该段梁的变形称为纯弯曲。如AB段。PPaaAB纯弯曲(PureBending):5LaaFFFFF图SF(+)(-)-FFa(+)M-图纯弯曲——梁弯曲变形时，横截面上只有弯矩而无剪力（）。0,0SFM0,0SFM横力弯曲——梁弯曲变形时，横截面上既有弯矩又有剪力（）。纯弯曲横力弯曲横力弯曲例:火车轮轴6M1、研究对象：等直细长对称截面梁2、前提:(a)小变形——在弹性变形范围内，(b)满足平面弯曲条件，（c）纯弯曲。3、实验观察:MM凹边缩短凸边伸长长度保持不变的纵向纤维横截面上只有正应力无剪应力纵向纤维间无挤压作用7中性层——杆件弯曲变形时，其纵向线段既不伸长又不缩短的曲面。中性轴——中性层与横截面的交线。4、平面截面假设——横截面变形后保持为平面，只是绕中性轴旋转了一角度。中性层纵向对称面中性轴8（1）变形分布规律mmnndx1o2oaby变形后y——任意纵向纤维至中性层的距离——中性层的曲率半径，21oo纵向纤维ab:变形前dxooab21d变形后bady)(ob´a´dy§5-2梁的弯曲正应力o——曲率中心，9所以纵向纤维ab的应变为:ababdxddy)(dydy——横截面上距中性轴为y处的轴向变形规律。曲率),(1);(则曲率),(1);(则.,1yC当；时0,0y.,maxmax时yy与实验结果相符。(a)10（2）应力分布规律在线弹性范围内，应用胡克定律(b)sEyE对一定材料，E=C；对一定截面，.1Cys——横截面上某点处的应力与此点距中性轴的距离y成比例。当；时0,0sy.,maxmaxss时yy与实验结果相符。应力为零的点的连线。M11（3）由静力平衡方程确定中性轴的位置及应力计算公式z(中性轴)y(对称轴)xMMdAdAss由得0xFdAsA=0将(b)式代入，得0AdAyE0AydAE0zSE0zS因此z轴通过截面形心，即中性轴通过形心，并垂直于载荷作用面。(c)12考虑平衡条件MMzydAMAz)(sAdAyE2MdAyEA2MIEzzIzI为截面对中性轴的惯性矩。(e)zyxMdAdAss13可得挠曲线的曲率方程：zEIM1为常数，挠曲线是一条圆弧线zEI——抗弯刚度。正应力的计算公式为zIMys横截面上最大正应力为zIMymaxmaxsmax/yIMzzWMmaxyIWzz——截面的抗弯截面模量，反映了截面的几何形状、尺寸对强度的影响。14﹡简单截面的惯性矩12332232222bhybbdyydAyIhhAzhh矩形截面园形截面15矩形、圆形截面对中性轴的惯性矩及抗弯截面模量：zz´竖放：,1213bhIz,1213hbIz261bhWzbhhb261hbWz平放：若hb,则。zzWW16zd,644dIz,323dWzdzD)(6444dDIz)1(6444D)(Dd)1(3243DWz17注意：（1）要特别注意正应力在横截面上沿高度呈线性分布的规律，在中性轴上为零，而在梁的上下边缘处正应力最大。（3）必须熟记矩形截面、圆形截面对中性轴的惯性矩的计算式。（2）梁在中性轴的两侧分别受拉或受压，正应力的正负号（拉或压）可根据弯矩的正负及梁的变形状态来确定。18梁的弯矩图如图5-8b所示，由图知梁在固定端横截面上的弯矩最大，其值为mNqlMmax3000216000222例图5-8所示，一受均布载荷的悬臂梁，其长l=1m，均布载荷集度q=6kN/m；梁由10号槽钢制成，由型钢表查得横截面的惯性矩Iz=25.6cm4。试求此梁的最大拉应力和最大压应力。（1）作弯矩图，求最大弯矩19因危险截面上的弯矩为负，故截面上缘受最大拉应力，其值为在截面的下端受最大压应力，其值为MPa385Pa103850328.0106.253000682maxmaxyIMzCs（2）求最大应力MPa178Pa101780152.0106.253000681maxmaxyIMzTs20BAl=3mFAYq=60KN/mFBYyxC1mMxkNql5.678/2()30zy180120K1.C截面上K点正应力2.C截面上最大正应力3.全梁上最大正应力4.C截面的曲率半径ρ(已知E=200GPa)()()FSx90KN90KNkNmM605.0160190C1.求支反力kNFAy90kNFBy90453Z10832.512mbhIMPa7.6110832.510)302180(1060533ZKCKIyMs（压应力）例题解求:21BAl=3mFAYq=60KN/mFBYyxC1mMxkNmql5.678/2()30zy180120K()()FSx90KN90KN2.C截面最大正应力C截面弯矩kNmM60CC截面惯性矩453Z10832.512mbhIMPa55.9210832.51021801060533ZmaxmaxIyMCCs解22BAl=3mFAYq=60KN/mFBYyxC1mMxkNmql5.678/2()30zy180120K()()FSx90KN90KN3.全梁最大正应力最大弯矩kNmM5.67max截面惯性矩45310832.512mbhIzMPa17.10410832.5102180105.67533ZmaxmaxmaxIyMs解23BAl=3mFAYq=60KN/mFBYyxC1mMxkNmql5.678/2()30zy180120K()()FSx90KN90KN4.C截面曲率半径ρC截面弯矩kNmM60CC截面惯性矩453Z10832.512mbhIm4.194106010832.510200359CZCMEIZ1EIM解(已知E=200GPa)24梁的最大正应力•梁的危险截面梁的危险截面在该梁内弯矩最大的截面上危险截面位于梁中部危险截面位于梁根部•梁的最大正应力梁的最大正应力发生在危险截面上离中性轴最远处ZmaxmaxWMs§5-3梁弯曲时的强度条件25弯曲正应力强度条件：][maxmaxsszWM可解决三方面问题：（1）强度校核，即已知检验梁是否安全；,],[,maxzWMs（2）设计截面，即已知可由确定截面的尺寸；],[,maxsM][maxsMWz（3）求许可载荷，即已知可由确定。],[,sZW][maxszWMMmax梁内最大弯矩WZ危险截面抗弯截面模量[σ]材料的许用应力26•脆性材料抗拉和抗压性能不同，二方面都要考虑ttssmax,ccssmax,•变截面梁要综合考虑与MzI注意：27作弯矩图，寻找需要校核的截面ccttssssmax,max,,要同时满足分析：非对称截面，要寻找中性轴位置T型截面铸铁梁，截面尺寸如图示。试校核梁的强度。例题MPa,160,MPa30ctss28mm522012020808020120102080cy（2）求截面对中性轴z的惯性矩462323m1064.728120201212020422080122080zI（1）求截面形心z1yz52解：29（4）B截面校核ttssMPa2.27Pa102.271064.710521046633max,ccssMPa1.46Pa101.461064.710881046633max,（3）作弯矩图kN.m5.2kN.m430（5）C截面要不要校核？ttssMPa8.28Pa108.281064.71088105.26633max,（4）B截面校核（3）作弯矩图ttssMPa2.27max,ccssMPa1.46max,kN.m5.2kN.m431§5-4弯曲时的切应力1.矩形截面梁2.工字形截面梁1SmaxdhFτ:腹板AFS23maxt32AFS34maxtAFS2maxt3.圆形、圆环形截面梁33ttmax梁的剪应力强度条件是：下列情况须进行剪应力强度校核：1.若梁较短或载荷很靠近支座，梁的最大弯矩Mmax可能很小而最大剪力Fs,max却相对较大，如果据此时的Mmax选择截面尺寸,就不一定能满足剪应力强度条件。2.对于一些组合截面梁，如其腹板的宽度b相对于截面高度很小时，横截面上可能产生较大的剪应力。3.对于木梁，它在顺纹方向的抗剪能力较差，而由剪应力互等定理，在中性层上也同时有tmax作用，因而可能沿中性层发生剪切破坏，所以需要校核其剪应力强度条件。34解：画内力图求危面内力例2矩形(bh=0.12m0.18m）截面木梁如图，[s]=7MPa，[t]=0.9MPa，试求最大正应力和最大剪应力之比,并校核梁的强度。N54002336002maxqLQNm4050833600822maxqLMq=3.6kN/mxM+82qLABL=3mQ2qL2qL–+x35求最大应力并校核强度应力之比7.1632maxmaxmaxhLQAWMztsq=3.6kN/mxM+82qLQ2qL2qL–+x][7MPa6.25MPa18.012.040506622maxmaxmaxssbhMWMz][0.9MPa0.375MPa18.012.054005.15.1maxmaxttAQ36§5-6梁的优化设计弯曲正应力强度条件：][maxmaxsszWM在[s]一定时，提高弯曲强度的主要途径：max,MWz（一）、选择合理截面（1）矩形截面中性轴附近的材料未充分利用，工字形截面更合理。1、根据应力分布的规律选择：z37（2）为降低重量，可在中性轴附近开孔。382、根据截面模量选择：为了比较各种截面的合理性，以来衡量。越大，截面越合理。AWzAWzAWz截面形状矩形圆形槽钢工字钢0.167h0.125d(0.27~0.31)h(0.27~0.31)h(d=h)393、根据材料特性选择：塑性材料：],[][ss宜采用中性轴为对称轴的截面。脆性材料：],[][ss宜采用中性轴为非对称轴的截面，例如T字形截面：ycz1y2y拉边压边zzIMyIMy21maxmaxss21yy][][ss即使最大拉、压应力同时达到许用应力值。40（二）、合理安排载荷和支承的位置，以降低值。maxM1、载荷尽量靠近支座：LABF0.5L图M(+)0.25FLLABF0.8L图M(+)0.16FL41LABF0.9L图M(+)0.09FLLABF图M422、将集中力分解为分力或均布力。LABF0.5L图M(+)0.25FL0.25LABF0.5L0.25L图M0.125FL(+)433、合理安排支座位置及增加支座——减小跨度，减小。maxMABF0.6L0.2L0.2L图M0.025FL(+)0.02FL0.02FLABFL图M0.125FL(+)44ABF0.5L0.5L图M(+)(+)FL321FL5129FL5129（三）、选用合理结构1、等强度梁设计思想：按M(x)的变化来设计截面，采用变截面梁—横截面沿着梁轴线变化的梁。][)()(maxssxWxMz][)()(sxMxWz增加