第8章--梁的弯曲变形1

第8章梁的弯曲变形在平面弯曲的情形下，梁的轴线将弯曲成平面曲线，梁的横截面变形后依然保持平面。由于发生弯曲变形，梁横截面的位置发生改变，这种改变称为位移。位移是各部分变形累加的结果。位移与变形有着密切联系，但又有严格区别。杆件横截面的位移不仅与变形有关，而且还与杆件所受的约束有关。第8章梁的弯曲变形本章将在分析变形与位移关系的基础上，建立确定梁位移的小挠度微分方程及其积分的概念，同时还介绍工程上应用的叠加法以及梁的刚度设计准则。第8章梁的弯曲变形基本概念工程中的叠加法梁的刚度设计结论与讨论简单的静不定梁小挠度微分方程及其积分第8章梁的弯曲变形基本概念第8章梁的弯曲变形梁弯曲后的挠度曲线梁的挠度与转角梁的位移与约束密切相关梁的位移分析的工程意义梁弯曲后的挠度曲线基本概念梁弯曲后的挠度曲线基本概念梁在弯矩作用下发生弯曲变形。如果在弹性范围内加载，梁的轴线在梁弯曲后变成一连续光滑曲线。这一连续光滑曲线称为弹性曲线，或挠度曲线。梁的挠度与转角基本概念梁在弯曲变形后，横截面的位置将发生改变，这种位置的改变称为位移。梁的位移包括三部分：横截面形心处的铅垂位移，称为挠度，用w表示；变形后的横截面相对于变形前位置绕中性轴转过的角度，称为转角用表示；梁的挠度与转角基本概念横截面形心沿水平方向的位移，称为轴向位移或水平位移，用u表示。在小变形情形下，上述位移中，水平位移u与挠度w相比为高阶小量，故通常不予考虑。梁的挠度与转角基本概念梁弯曲后的挠度曲线基本概念根据上一章所得到的结果，弹性范围内的挠度曲线在一点的曲率与这一点处横截面上的弯矩、弯曲刚度之间存在下列关系：EIM＝1在Oxw坐标系中，挠度与转角存在下列关系：梁的挠度与转角基本概念在小变形条件下，挠曲线较为平坦，即很小，因而上式中tan。于是有tanddxwxwddw＝w（x），称为挠度方程。基本概念梁的位移与约束密切相关基本概念梁的位移与约束密切相关三种承受弯曲的梁AB段各横截面都受有相同的弯矩（M＝Fa）作用。三种情形下，AB段梁的曲率（1／）处处对应相等，因而挠度曲线具有相同的形状。但是，在三种情形下，由于约束的不同，梁的位移则不完全相同。对于没有约束的梁，因为其在空间的位置不确定，故无从确定其位移。基本概念梁的位移分析的工程意义基本概念梁的位移分析的工程意义位移分析中所涉及的梁的变形和位移，都是弹性的。工程设计中，对于结构或构件的弹性位移都有一定的限制。弹性位移过大，也会使结构或构件丧失正常功能，即发生刚度失效。机械传动机构中的齿轮轴，当变形过大时(图中虚线所示)，两齿轮的啮合处将产生较大的挠度和转角，这不仅会影响两个齿轮之间的啮合，以致不能正常工作；而且还会加大齿轮磨损，同时将在转动的过程中产生很大的噪声；此外，当轴的变形很大使轴在支承处也将产生较大的转角，从而使轴和轴承的磨损大大增加，降低轴和轴承的使用寿命。基本概念梁的位移分析的工程意义工程设计中还有另外一类问题，所考虑的不是限制构件的弹性位移，而是希望在构件不发生强度失效的前提下，尽量产生较大的弹性位移。例如，各种车辆中用于减振的板簧，都是采用厚度不大的板条叠合而成，采用这种结构，板簧既可以承受很大的力而不发生破坏，同时又能承受较大的弹性变形，吸收车辆受到振动和冲击时产生的动能，受到抗振和抗冲击的效果。小挠度微分方程及其积分第8章梁的弯曲变形小挠度曲线微分方程积分常数的确定约束条件与连续条件小挠度微分方程及其积分小挠度曲线微分方程小挠度微分方程及其积分力学中的曲率公式高等数学中的曲率公式EIM123222dd1dd1xwxw小挠度曲线微分方程小挠度微分方程及其积分小挠度情形下弹性曲线的小挠度微分方程，式中的正负号与w坐标的取向有关。2ddxw122322dd1d1dwxwxEIMxw22dd小挠度曲线微分方程小挠度微分方程及其积分EIMxw22ddEIMxw22dd00dd22Mxw,00dd22Mxw,小挠度曲线微分方程小挠度微分方程及其积分小挠度曲线微分方程小挠度微分方程及其积分采用向下的w坐标系，有EIMxw22dd对于等截面梁，应用确定弯矩方程的方法，写出弯矩方程M(x)，代入上式后，分别对x作不定积分,得到包含积分常数的挠度方程与转角方程：CxEIxMxwldddDCxxxEIxMwlldd其中C、D为积分常数。积分常数的确定约束条件与连续条件小挠度微分方程及其积分积分法中常数由梁的约束条件与连续条件确定。约束条件是指约束对于挠度和转角的限制：积分常数的确定约束条件与连续条件小挠度微分方程及其积分在固定铰支座和辊轴支座处，约束条件为挠度等于零：w=0;连续条件是指，梁在弹性范围内加载，其轴线将弯曲成一条连续光滑曲线，因此，在集中力、集中力偶以及分布载荷间断处，两侧的挠度、转角对应相等：w1=w2，θ1＝θ2等等。在固定端处，约束条件为挠度和转角都等于零：w=0，θ＝0。例题8-1求：加力点B的挠度和支承A、C处的转角。已知：简支梁受力如图示。FP、EI、l均为已知。积分常数的确定约束条件与连续条件小挠度微分方程及其积分解：1．确定梁的约束力积分常数的确定约束条件与连续条件-例题小挠度微分方程及其积分因为B处作用有集中力FP，所以需要分为AB和BC两段建立弯矩方程。首先，应用静力学方法求得梁在支承A、C二处的约束力分别如图中所示。2．分段建立梁的弯矩方程AB段解：2．分段建立梁的弯矩方程BC段积分常数的确定约束条件与连续条件-例题小挠度微分方程及其积分于是，AB和BC两段的弯矩方程分别为1P3044lMxFxx2PP3444llMxFxFxxl－－解：3．将弯矩表达式代入小挠度微分方程并分别积分积分常数的确定约束条件与连续条件-例题1小挠度微分方程及其积分211P2d30d44wlEIMxFxxx1P3044lMxFxx2PP3444llMxFxFxxl－－222PP2d3d444wllEIMxFxFxxlx＝－－＋－解：3．将弯矩表达式代入小挠度微分方程并分别积分积分常数的确定约束条件与连续条件-例题1小挠度微分方程及其积分积分后，得211P2d30d44wlEIMxFxxx222PP2d3d444wllEIMxFxFxxlx＝－－＋－12P183CxFEI22P2P242183ClxFxFEI－＋＝－113P181DxCxFEIw223P3P246181DxClxFxFEIw－＋＝－其中，C1、D1、C2、D2为积分常数，由支承处的约束条件和AB段与BC段梁交界处的连续条件确定确定。解：4．利用约束条件和连续条件确定积分常数积分常数的确定约束条件与连续条件-例题1小挠度微分方程及其积分12P183CxFEI22P2P242183ClxFxFEI－＋＝－113P181DxCxFEIw223P3P246181DxClxFxFEIw－＋＝－在支座A、C两处挠度应为零，即x＝0，w1＝0;x＝l，w2＝0因为，梁弯曲后的轴线应为连续光滑曲线，所以AB段与BC段梁交界处的挠度和转角必须分别相等:x＝l/4，w1＝w2;x＝l/4，1=2解：4．利用约束条件和连续条件确定积分常数积分常数的确定约束条件与连续条件-例题1小挠度微分方程及其积分12P183CxFEI22P2P242183ClxFxFEI－＋＝－113P181DxCxFEIw223P3P246181DxClxFxFEIw－＋＝－x＝0，w1＝0;x＝l，w2＝0x＝l/4，w1＝w2;x＝l/4，1=2D1＝D2=02P211287lFCC＝解：5．确定转角方程和挠度方程以及指定横截面的挠度与转角积分常数的确定约束条件与连续条件-例题1小挠度微分方程及其积分将所得的积分常数代入后,得到梁的转角和挠度方程为：22P378128FxxlEIAB段BC段xlxEIFxw23P128781222P317824128FlxxxlEIxllxxEIFxw233P128746181据此，可以算得加力点B处的挠度和支承处A和C的转角分别为EIlFwB3P25632P7128AFlEI2P5128BFlEI－确定约束力,判断是否需要分段以及分几段分段建立挠度微分方程微分方程的积分利用约束条件和连续条件确定积分常数确定挠度与转角方程以及指定截面的挠度与转角积分法小结小挠度微分方程及其积分分段写出弯矩方程积分法叠加法第8章梁的弯曲变形若材料的应力一应变关系满足胡克定律，又在弹性范围内加载，则位移与力之间均存在线性关系。因此，不同的力在同一处引起的同一种位移可以相互叠加。工程中的叠加法在很多的工程计算手册中，已将各种支承条件下的静定梁，在各种典型载荷作用下的挠度和转角表达式一一列出，简称为挠度表。基于杆件变形后其轴线为一光滑连续曲线和位移是杆件变形累加的结果这两个重要概念，以及在小变形条件下的力的独立作用原理，采用-叠加法-由现有的挠度表可以得到在很多复杂情形下梁的位移。工程中的叠加法叠加法应用于多个载荷作用的情形叠加法应用于间断性分布载荷作用的情形工程中的叠加法叠加法应用于多个载荷作用的情形工程中的叠加法当梁上受有几种不同的载荷作用时，都可以将其分解为各种载荷单独作用的情形，由挠度表查得这些情形下的挠度和转角，再将所得结果叠加后，便得到几种载荷同时作用的结果。叠加法应用于多个载荷作用的情形工程中的叠加法已知：简支梁受力如图示，q、l、EI均为已知。求：C截面的挠度wC；B截面的转角B例题8-2叠加法应用于多个载荷作用的情形工程中的叠加法工程中的叠加法叠加法应用于多个载荷作用的情形－例题321CCCC解：1.将梁上的载荷变为3种简单的情形。123BBBB叠加法应用于多个载荷作用的情形－例题2.由挠度表查得3种情形下C截面的挠度；B截面的转角。EIqlwEIqlwEIqlwCCC4342411614813845,,,,,EIqlEIqlEIqlBBB33323131161241工程中的叠加法叠加法应用于多个载荷作用的情形－例题3.应用叠加法，将简单载荷作用时的结果分别叠加将上述结果按代数值相加，分别得到梁C截面的挠度和支座B处的转角:,EIqlwwiCiC43138411EIqliBiB3314811工程中的叠加法叠加法应用于间断性分布载荷作用的情形工程中的叠加法叠加法应用于间断性分布载荷作用的情形对于间断性分布载荷作用的情形，根据受力与约束等效的要求，可以将间断性分布载荷，变为梁全长上连续分布载荷，然后在原来没有分布载荷的梁段上，加上集度相同但方向相反的分布载荷，最后应用叠加法。工程中的叠加法已知：悬臂梁受力如图示，q、l、EI均为已知。求：C截面的挠度和转角wC和C叠加法应用于多个载荷作用的情形例题8-3工程中的叠加法叠加法应用于多个载荷作用的情形－例题解：1.首先，将梁上的载荷变成有表可查的情形为利用挠度表中关于梁全长承受均布载荷的计算结果，计算自由端C处的挠度和转角，先将均布载荷延长