抛物线的几何性质

1、抛物线定义在平面内,与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫抛物线.2、抛物线的标准方程(1)开口向右y2=2px(p0)(2)开口向左y2=-2px(p0)(3)开口向上x2=2py(p0)(4)开口向下x2=-2py(p0)CM·Fl·e=1H焦点准线yox)0,2(pF由抛物线y2=2px（p0）220pxy有0p0x所以抛物线的范围为0x如何研究抛物线y2=2px（p0）的几何性质?类比椭圆和双曲线可以从几个方面来研究？1、范围yox)0,2(pF(,)xy关于x轴对称(,)xy即点(x,-y)也在抛物线上,故抛物线y2=2px(p0)关于x轴对称.则(-y)2=2px若点(x,y)在抛物线上,即满足y2=2px，2、对称性yox)0,2(pF定义：抛物线与坐标轴的交点称为抛物线的顶点。y2=2px(p0)中，令y=0,则x=0.即：抛物线y2=2px(p0)的顶点是（0，0）.3、顶点yox)0,2(pFP(x,y)抛物线上的点与焦点的距离和它到准线的距离之比，叫做抛物线的离心率。由定义知，抛物线y2=2px(p0)的离心率为e=1.4、离心率xyOFABy2=2px2p过焦点且垂直于对称轴的弦AB，称为抛物线的通径，利用抛物线的顶点、通径的两个端点可较准确画出反映抛物线基本特征的草图.pp,2pp,2|AB|=2p2p越大，抛物线张口越大.5、通径连接抛物线任意一点与焦点的线段叫做抛物线的焦半径。焦半径公式：xyOFP(x0,y0)6、焦半径1、当焦点在x轴上时，2||||0pxPF2、当焦点在y轴上时，2||||0pyPF方程图形范围对称性顶点焦半径离心率通径y2=2px（p＞0）y2=-2px（p＞0）x2=2py（p＞0）x2=-2py（p＞0）lFyxOlFyxOlFyxOx≥0y∈Rx≤0y∈Rx∈Ry≥0y≤0x∈RlFyxO02px02px02py02py关于x轴对称关于x轴对称关于y轴对称关于y轴对称（0,0）（0,0）（0,0）（0,0）2p2p2p2p1111归纳:(1)、抛物线只位于半个坐标平面内，虽然它也可以无限延伸，但没有渐近线；(2)、抛物线只有一条对称轴,没有对称中心;(3)、抛物线只有一个顶点，一个焦点，一条准线；(4)、抛物线的离心率e是确定的为１,⑸、抛物线的通径为2P,2p越大，抛物线的张口越大.例１：已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点M（２，），求它的标准方程，并用描点法画出图形。因为抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点M（２，），22解：所以设方程为：)0(22ppxy又因为点M在抛物线上：所以：2(22)22p2p因此所求抛物线标准方程为：24yx例题讲解：2224yx作图：(1)列表（在第一象限内列表）x01234…y…(2)描点：022.83.54(3)连线：11xyO对应训练：求适合下列条件的抛物线的方程：（1）顶点在原点，焦点F为（0，5）;（2）顶点在原点，关于x轴对称,并且经过点M(5,-4).20xy2165yx2探照灯、汽车前灯的反光曲面，手电筒的反光镜面、太阳灶的镜面都是抛物镜面。抛物镜面：抛物线绕其对称轴旋转而成的曲面。灯泡放在抛物线的焦点位置上，通过镜面反射就变成了平行光束，这就是探照灯、汽车前灯、手电筒的设计原理。平行光线射到抛物镜面上，经镜面反射后，反射光线都经过抛物线的焦点，这就是太阳灶能把光能转化为热能的理论依据。光学性质：例2：探照灯反射镜的轴截面是抛物线的一部分，光源位于抛物线的焦点处。已知灯口圆的直径为60cm，灯深40cm，求抛物线的标准方程和焦点位置。xyOBA(40,30)解:所在平面内建立直角坐标系,使反射镜的顶点与原点重合,x轴垂直于灯口直径.在探照灯的轴截面设抛物线的标准方程为:y2=2px由条件可得A(40,30),代入方程得:302=2p·40解之:p=445故所求抛物线的标准方程为:y2=x,245焦点为(,0)8451、已知点A（-2，3）与抛物线的焦点的距离是5，则P=。22(0)ypxp2、抛物线的弦AB垂直x轴，若|AB|=，则焦点到AB的距离为。24yx4342巩固提高：3、求满足下列条件的抛物线的标准方程：焦点在直线x-2y-4=0上.抛物线只位于半个坐标平面内，虽然它也可以无限延伸，但没有渐近线；抛物线只有一条对称轴,没有对称中心;抛物线的离心率是确定的，等于１；抛物线只有一个顶点，一个焦点，一条准线；抛物线的通径为2P,2P越大，抛物线的张口越大.1、范围：2、对称性：3、顶点：4、离心率：5、通径：6、光学性质：从焦点出发的光线，通过抛物线反射就变成了平行光束.你学会了吗？过焦点弦长问题例2：过抛物线y2=4x的焦点作倾斜角为45度的直线交抛物线与A，B两点，求∣AB∣xyOFAB分析，求出A，B两点坐标，然后利用两点间的距离公式可得∣AB∣解（法一）由条件可得F（1，0）则直线的方程为：y=x-1由可得解得由两点距离公式可得∣AB∣=8（法二）利用方程，利用弦长公式同样可得∣AB∣=8xyxy412)222,223(),222,223(BA0162xxxyOFAB分析：利用抛物线性质解决问题解(法三)如图可知设A(x1,y1),B(x2,y2)∣AB∣=∣AF∣+∣BF∣=x1+1+x2+1=x1+x2+1+1由上知x1，x2是方程的两根，故x1+x2=6，所以∣AB∣=6+2=8xyOFABB’A’0162xx一般地:若过抛物线y2=2px(p0)的焦点的直线交抛物线A(x1,y1),B(x2,y2)两点,则∣AB∣有最小值吗？若有又为多少？pxxAB21想一想？？运用2、过抛物线的焦点,作倾斜角为的直线,则被抛物线截得的弦长为？28yx045运用1、过抛物线y2=4x的焦点作直线交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,如果x1+x2=6,求|AB|的值练习、已知抛物线的顶点在原点，对称轴为x轴，焦点在直线3x-4y-12=0上，求抛物线通径长.xyO1、相离；2、相切；3、相交（一个交点，两个交点）考点三、直线与抛物线位置关系1、直线与抛物线的对称轴平行例：计算直线y=6与抛物线y2=4x的位置关系计算结果：得到一元一次方程，容易解出交点坐标xyO2、直线与抛物线的对称轴不平行计算直线y=x-1与抛物线y2=4x的位置关系计算结果：得到一元二次方程，需计算判别式。相交。xyO例3、已知抛物线的方程为y2=4x,直线l过定点P（-2，1）,斜率为k,当k为何值时，直线l与抛物线：（1）两个公共点；（2）没有公共点。（3）只有一个公共点；考点四、与弦长、中点有关的问题26yx例5、抛线过点条点这条线1212已知物,P(4,1)引一弦PP使它恰好被P平分，求弦所在的直方程及PP.2-10xxy顶点点点轴抛线线长为抛线例4、在原，焦在上的物，截直所截得弦15，求物方程.的坐标取得最小值时的最小值，并求出），求，（动点，又有点是抛物线上的，点的焦点为、已知抛物线例PPFPAAPFxy23262这个最小值的最小值，并求出，使在此抛物线上求一点，的抛物线）及焦点为，（变式练习、已知点PFPMPyFMx28142考点五、最值问题例7、在抛物线y2=64x上求一点，使它到直线Ｌ：4x+3y+46=0的距离最短，并求此距离。yxL·P练习、在抛物线y2=2x上求一点P,使P到直线x-y+3=0的距离最短,并求出距离的最小值.布置作业课本第64页，练习B，1，2