数学建模——混沌模型

从物种增长的Malthus模型到浑沌hzsong一．目的●函数的迭代、不动点和有关的作图●介绍了用数值迭代、蛛网迭代和密度分布等方法来研究浑沌●介绍浑沌的倍周期分叉、遍历性和某些普适结构●计算机与科学研究(即使是数学)二．问题的提出●什么是浑沌?出现在各个领域:数学、物理、生物、金融、经济、管理、文学等等。从某些简单的离散的数学模型开始,进而讨论由此引起的复杂而有趣的现象宇宙的起源龙卷风的产生、厄尔尼诺现象东南亚金融危机爆发“侏罗纪公园”中的恐龙重现●我们的讨论三．数学模型●Malthus模型设xn是某人类群体在第n个时间段(例如年)末时的总数，若在单位时间段内人口相对增长率为r（出生率与死亡率之差）,那么人口增长数与原人口数成正比,从而xn+1＝xn＋rxn即xn+1=axn其中a=r+1.这是一个如下线性映射的迭代f(x)=ax从而xn=axn－1=a2xn－2=…=anx0Malthus的结论：人口增长呈几何级数约35年增加一倍，与1700－1961年世界人口统计结果一致与近年统计结果有误差，由a1,xn趋向无穷，模型在人口长期预测方面必定是失效的..●Logistic模型生存资源是重要的因素，修改的模型为：xn+1－xn=rxn－bxn2其中－bxn2为竞争或约束项，r、b称生命系数记a=r+1，那么xn+1=axn-bxn2数据观察(迭代计算与国家统计局发表数字比较)基本接近存在极限值这是一个如下非线性映射的迭代f(x)=ax-bx2表一亿0040810120计算人口数统计人口数1980年1981年1982年1983年1984年1985年1986年1987年1988年1989年1990年1991年1992年表二亿0510152025预测数20052015202520352055207521152155219522352275235524352535四．问题的讨论和分析●Logistic映射通过变量代换简化为logistic映射f(x)=ax(1-x)，x在[0,1]内变化相应的迭代为xn+1=axn(1-xn)从[0,1]内点x0出发，由Logistic映射的迭代形成了一个序列，即xn=fn(x0),n=0,1,2,…序列{xn}称为x0的轨道●数值迭代1．倍周期分叉现象■当0a1时，由于0xnaxn+1xn→0物种逐渐灭亡■当1a3时，任何(0,1)中初始值的轨道趋于x*=1-1/a其中x*是方程f(x)=x的解，为映射f的不动点(周期1点)例：a=1.5时xn→1/3.两个不动点x1*,x2*,一个稳定(吸引),另一个不稳定，轨道{xn}趋向稳定点这两个数满足■当3a1+61/2时，xn绕着两个数x3*，x4*振动,例a=3.2x2k-1→0.799455x2k→o.513045■当1+61/2a3.5440903506…时,从任意的点x0出发的轨道将逐渐沿着四个数值振动例a=3.45x4k→0.44391661x4k+1→0.84768002x4k+2→0.44596756x4k+3→0.85242774也称为周期2点,对应轨道称周期2轨道.(原来周期点失稳))(),(2xfxxfx这四个数满足),(),(),(),(324xfxxfxxfxxfx称为周期4点，对应轨道称周期4轨道(原有周期点又失稳)若a再增大，周期4点又会失稳，而产生新的稳定周期8点，这个周期不断加倍的过程将重复无限次，会依次出现周期16点，周期32点….，(请考虑什么是周期n)这种过程称为倍周期分叉.相应的分叉值c1=3,c2=1+61/2…构成一个单调增加的数列{ck}.其极限值为c*=3.569945557391…。分叉值如何求?任务：求分叉值和画分叉图依赖于数值方法2．浑沌与遍历性当c*a4时，Logistic映射进入浑沌区域.反映出的是：■遍历性：点x0的轨道不趋向任何稳定的周期轨道,它的轨道在(0,1)(或其中某些区间)内的任何一个子区间(a,b)内都会出现无数次.这是浑沌的■敏感性：轨道表现出对初始条件的强烈敏感性,即不同初始值，即使它们离得非常近，它们的轨道也终将以某种方式分离.（蝴蝶原理）■存在周期小窗口浑沌区域内某些地方仍有倍周期分叉，例如a＝3.835附近■Feigenbaum常数比值(ck-ck-1)/(ck+1-ck)在k趋于无穷时，趋于常数q=4.6692016这常数的意义在于普适性，例如周期3窗口也适用，还适用其他映射任务：验证遍历性、敏感性周期3窗口的分叉、(结合Feigenbaum常数)五.图象方法●蛛网迭代在以xn为横坐标、xn+1为纵坐标的第一象限作抛物线弧：xn+1＝axn(1-xn)■作图的过程任取(0,1)中的点x0,可以通过作图来取得迭代的数值序列{xn},从而也通过图象直观地看出由x0出发的轨道的变化.这作图的过程颇象蜘蛛织网,故称为蛛网迭代.■1a3从(0,1)中任何初值出发的轨道趋向不动点(周期1点)■3a61/2+1从任何初值出发的轨道趋向周期2点■61/2+1a3.54409035从任何初值出发的轨道趋向周期4点■a=3.58轨道进入浑沌状态■a=4轨道的浑沌性表现充分蛛网迭代的优点是轨道非常直观形象.缺点是当周期数较大时不易看清轨道变化细节●密度分布图■密度从一个初始点x0出发，由迭代所产生的序列{xn}(n一般很大)在区间[0,1]上的概率分布密度.■具体算法将[0,1]区间分成m个长度为h=1/m的小区间，序列{xn}nN=0落在各个小区间[ih,(i+1)h]的个数为ki,则该序列落在各小区间的概率（即密度)为pi=ki/Ni=0,1,2,…,m■密度图横轴为区间[0,1],纵轴为概率p.每个小区间上的细柱线的高度等于该区间上密度■a=3.2(m=100N=10000x0=0.1)■a=3.45(这是周期4情况)(这是周期2情况)■a=3.55(周期8的情况)以上密度图显示在0ac*的情况下,{xn}只有极少数落在周期点以外的小区间,而最终以几乎相等的概率落在周期点所在的小区间。■a=3.6(进入浑沌区)(最浑沌状态)■a=4任务：用蛛网迭代的方法在计算机上作图,考察Logstic映射在a逐步变化时由同一点出发的轨道情况.任务：用密度图的方法在计算机上作图,考察Logstic映射在a逐步变化时由同一初值点出发的{xn}的分布.考察映射]1,0[),sin()(xxf进一步的任务●试考察当a逐渐增大时,有没有倍周期分叉情况出现?求出第一个分叉值和第二个分叉值利用Feigenbaum常数估计第三个分叉值和浑沌可能在何时出现验证第三个分叉值●作出分叉图与Logistic映射的分叉图比较●作出蛛网迭代或密度分布图然后由1/2开始慢慢地增加其值,用数值方法和用密度图的方法考察由初始值出发的轨道，能否看到倍周期分叉的情况?●考察帐篷映射]1,0()2121(1nnxx)21,0(先取