等可能概型

第三章概率论的基础随机事件随机事件的概率古典概型条件概率及全概率公式事件的独立性随机事件及其概率设随机实验E满足下列条件:1.有限性：试验的样本空间只有有限个样本点，即12,n，，，2.等可能性：每个样本点12,,n，的发生是等可能的则称此试验E为古典概型，也叫等可能概型.古典概率模型设试验E的样本空间由n个样本点构成,A为E的任意一个事件,且包含k个样本点，则事件A出现的概率记为:古典概型中事件概率的计算公式称此为概率的古典定义.PAknA包含的样本点数中的样本点总数分类加法计数原理：完成一件事有几类办法(各类办法不相交)，每类办法中又有多种不同的方法，则完成这件事的不同方法数是各类不同办法中方法数的总和.做一件事共有𝒏类方法第一类方法有𝒎𝟏种方法第二类方法有𝒎𝟐种方法第𝒏类方法有𝒎𝒏种方法……1m2mnm完成这件事的方法总数:21nNmmm例:网上预订行程，从郑州到上海乘火车有7种不同选择，乘飞机有5种不同选择，则从郑州(乘火车或乘飞机)到上海共有7+5=12种不同的行程选择.分步乘法计数原理：完成一件事，需要分成几个步骤，每一步的完成有多种不同的方法，则完成这件事的不同方法总数是各步骤不同方法数的乘积.做一件事共有𝒏个步骤第一步有𝒎𝟏种方法第二步有𝒎𝟐种方法第𝒏步有𝒎𝒏种方法……完成这件事的方法总数:21nNmmm例:网上预订行程，从郑州到上海共有12种不同行程选择，从上海到香港共有4种不同的行程选择，那么从郑州经上海到香港共有4×12=48种不同的行程选择.12n分步乘法计数原理：完成一件事，需要分成几个步骤，每一步的完成有多种不同的方法，则完成这件事的不同方法总数是各步骤不同方法数的乘积.排列:从n个不同元素中取𝒓个(不重复)，考虑先后顺序共有𝒏×(𝒏−𝟏)×….×(𝒏−𝒓+𝟏)种不同结果.全排列:𝒏个不同元素排成一列，共有𝒏!=𝒏×(𝒏−𝟏)×⋯×𝟐×𝟏种不同结果.重复排列:从𝒏个不同元素中取𝒓个(可重复)，考虑先后顺序共有𝒏𝒓种不同结果.组合：从n个不同元素中取r个，不考虑先后顺序共有种不同情况.或者说，从n个元素中选择r个组成一组，共有不同的组合数例3.2.1一个碗里有6个白球，5个黑球.现在随机从碗里拿出两个球，则一个是白球一个是黑球的概率有多大？两个黑球呢？解：设A表示“一个是白球一个是黑球”这一事件，设B表示“两个都是黑球”这一事件，第一个是白球，第二个是黑球第一个是黑球，第二个是白球𝟔×𝟓𝟓×𝟔+如果认为拿球分先后，则样本空间有𝟏𝟏×𝟏𝟎个点𝟏𝟏×𝟏𝟎说明：使用古典概型时，样本点的定义不唯一，但是必须保证每个样本点是等可能的.𝑷𝑨=例3.2.1一个碗里有6个白球，5个黑球.现在随机从碗里拿出两个球，则一个是白球一个是黑球的概率有多大？两个黑球呢？解：设A表示“一个是白球一个是黑球”这一事件，第一个是白球，第二个是黑球第一个是黑球，第二个是白球𝟔×𝟓𝟓×𝟔+如果认为拿球分先后，则样本空间有𝟏𝟏×𝟏𝟎个点𝟏𝟏×𝟏𝟎说明：使用古典概型时，样本点的定义不唯一，但是必须保证每个样本点是等可能的.𝑷𝑨=如果认为拿球不分先后，则样本点总数为𝑪𝟏𝟏𝟐，事件𝑨包含的样本点数为𝑪𝟔𝟏𝑪𝟓𝟏，𝑷𝑨=𝑪𝟔𝟏𝑪𝟓𝟏/𝑪𝟏𝟏𝟐例3.2.2某同学有10本图书要排列在书架上，其中有4本数学，3本英语，2本计算机，还有1本物理.如果是随意放置，恰好同一科目的书排在一起的概率多大？解：10本图书的全排列为10！，如果4个科目依次为数学、英语,、计算机、物理，那么共有4！3！2！1！种排列方法.而4个科目又有4！种不同先后次序的排列方法，因此同一科目的书排在一起的概率为：4！×4！3！2！1！10！=𝟎.𝟎𝟎𝟏𝟗当样本空间中的样本点总数为无穷多时,古典概率无法计算,这时我们可以用几何度量(如长度、面积、体积等)来代替计数.如果随机试验的样本空间为可度量的区域，且试验结果在中任一子区域A出现的可能性大小与A的几何度量成正比而与其位置或形状无关,则称之为几何概型.的度量的度量AAP)(例3.2.7甲、乙两船驶向一个不能同时停泊两艘轮船的码头,它们在一昼夜内到达的时间是等可能的.如果甲船停泊的时间是1小时,乙船停泊的时间是2小时,求其中任一艘船都无须等待码头空出的概率.解：设甲、乙两船到达码头的时间分别是x,y，则Ω={(𝒙,𝒚)|,0≤x≤24，0≤y≤24}又由于两船不能同时停泊，则必须满足：A={(𝒙,𝒚)|𝟏≤𝒚−𝒙或2≤𝒙−𝒚,𝒙,𝒚∈[𝟎,𝟐𝟒]}那么任一艘船都无需等待码头空出的概率：𝑷𝑨=𝟎.𝟓×(𝟐𝟒−𝟏)𝟐+𝟎.𝟓×(𝟐𝟒−𝟐)𝟐𝟐𝟒𝟐≈𝟎.𝟎𝟖.𝑻𝟎𝟎𝟑𝟔抛三枚硬币，则至少出现一个正面的概率为().𝑻𝟎𝟎𝟒𝟖一批产品共10件，其中有2件次品，从这批产品中任取3件，则取出的3件中恰有一件次品的概率为().𝑻𝟎𝟎𝟐𝟗在区间(0,1)中随机地抽取两个数，则事件“两数之和小于6/5”的概率为____.（请用小数作答！）𝑻0036抛三枚硬币，则至少出现一个正面的概率为().𝑻0029在区间(0,1)中随机地抽取两个数，则事件“两数之和小于6/5”的概率为____.（请用小数作答！）微助教在区间(0,1)中随机地抽取两个数，则事件“两数之和小于6/5”的概率为____.（几何概型！）A={(𝒙,𝒚)|𝒙+𝒚𝟔𝟓,𝒙,𝒚∈[𝟎,𝟏]}𝒙,𝒚𝑷𝑨=𝑺阴影𝑺𝜴=𝟏−𝟏𝟐(𝟒𝟓)𝟐=𝟎.𝟔𝟖.