实验一最佳广告安排方案

180实验八最佳广告编排方案【实验目的】1．了解线性规划问题及其可行解、基本解、最优解的概念。2．通过对实际应用问题的分析，初步掌握建立线性规划模型的基本步骤和方法。3．学习掌握MATLAB软件求解有关线性规划的命令。【实验内容】一家广告公司想在电视、广播上做公司的宣传广告，其目的是争取尽可能多地招徕顾客。下表是公司进行市场调研的结果：电视网络媒体杂志白天最佳时段每次做广告费用（千元）45862512受每次广告影响的顾客数（千人）350880430180受每次广告影响的女顾客数（千人）260450160100这家公司希望总广告费用不超过750（千元），同时还要求：（1）受广告影响的妇女超过200万；（2）电视广告的费用不超过450（千元）；（3）电视广告白天至少播出4次，最佳时段至少播出2次；（4）通过网络媒体、杂志做的广告要重复5到8次。【实验准备】线性规划是运筹学中产生较早的一个分支，如今在国防科技、经济学、现代工农业、环境工程、生物学等众多学科和领域里起着十分广泛的应用。线性规划是在一组线性条件的约束之下，求某一个线性函数的最值问题。一般地，线性规划的数学模型为：min(ormax)z＝1c1x＋2c2x＋…ncnx..ts1ia1x＋2ia2x＋…inanx≤(or＝,≥)ib,i＝1,2,…,m（1）jx≥0,j＝1,2,…,n用矩阵、向量符号，可以简化线性规划模型的表示：11a12a…na11x1b1cA＝21a22a…na2,x＝2x,b＝2b,c＝2c…………………1na2na…nnanxnbnc则线性规划问题可写为：min(ormax)z＝xc'..tsAx≤(or＝,≥)b（2）ix≥0,i＝1,2,…,n这里，z＝xc'称为目标函数，ix为目标函数的决策变量，c为费用系数，是常数向181量；Ax≤(or＝,≥)b称为约束条件，A为线性规划的系数矩阵，它是常数矩阵，b为利润（费用）向量，其中..ts是subjectto的缩写，意思是“满足约束条件”。1．线性规划的标准形式线性规划问题的标准形式为minz＝xc'..tsAx＝b（3）x≥0任何一种线性规划都可以等价地转换为标准形式。（1）约束条件标准化––––松弛变量法如果约束条件中有不等式：1ia1x＋2ia2x＋…inanx≤ib或1ja1x＋2ja2x＋…jnanx≥jb通过引入两个非负变量xn+1，xn+2将上述约束条件转换成下面等价形式：1ia1x＋2ia2x＋…inanx＋1nx＝ib1nx≥0或1ja1x＋2ja2x＋…jnanx－2nx＝jb2nx≥0可见约束不等式均可转换为约束等式。（2）目标函数的标准化若原问题是求（max）z＝xc'，可以转换为求（min）z＝－xc'即可。2．线性规划问题的解在（3）中满足约束条件Ax＝b，x≥0的向量x＝（1x，2x，…，nx）’称为线性规划问题的可行解，全体可行解组成的集合称为可行域，使目标函数z＝xc'达到最小值的可行解称为最优解。如果矩阵A的某m列所构成的方阵B是满秩的，则B的列向量1iP，2iP，…，imP构成线性规划的一组基，称B为线性规划问题的一个基阵，A的剩余部分组成的子矩阵记为N，则A可以写成A＝（B，N）。x则相应地可以写成x＝（Bx，Nx）‘，Bx的分量与B的列相对应，称为基变量；Nx的分量与N的列相对应，称为非基变量。在约束Ax＝b中令所有非基变量取值为零时，得到的解x＝（bB1，0）‘称为与B相对应的基解。当基解所有的分量都取非负时，即满足Bx≥0，则称其为基可行解，相应的基阵B的列向量构成可行基。既是最优解，又是基可行解的x称为最优基解。定理1如果线性规划（3）有可行解，那么一定有基可行解。定理2如果线性规划（3）有最优解，那么一定存在一个基可行解是最优解。以上定理说明了如果所给的线性规划（3）有最优解，只要从基可行解上寻找最优解就行了。由于基可行解的个数是有限的，只要对所有的基可行解一一检查，就可以在有限次计算后确定最优解或断定该问题无最优解。3．求解线性规划的MATLAB命令（1）MATLAB5.2及以下版本使用命令求解线性规划模型：minz＝xc'（4）182..tsAx≤b这里A为m×n矩阵，c为n×1列向量，b为m×1列向量。x=lp(c,A,b)求解线性规划模型（4）；x=lp(c,A,b,vlb,vub)指定决策变量的上下界vlb≤x≤vub；x=lp(c,A,b,vlb,vub,x0)指定迭代的初始值x0；x=lp(c,A,b,vlb,vub,x0,n)n表示Ax≤b中前n个约束条件等式约束；可以用helplp查阅有关该命令的详细信息。（2）MATLAB5.3以上版本使用命令MATLAB5.3以上的版本中优化工具箱（OptimizationToolbox）作了相当大的改进，虽然保留了lp命令，但已经使用新的命令linprog取代lp，并且在未来版本中将删除lp命令。求解的线性规划模型：minz＝xc'..tsAx≤b（5）Aeq·x＝beqlb≤x≤upx=linprog(c,A,b)求解线性规划模型（4）；x=linprog(c,A,b,Aeq,beq)求解模型（5），问题中没有指定x的上下界；x=linprog(c,A,b,Aeq,beq,lb,ub)求解线性规划模型（5）；x=linprog(c,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x0)指定迭代的初始值x0；如果模型（5）中不包含不等式约束条件，可用［］代替A和b表示缺省；如果没有等式约束条件，可用［］代替Aeq和beq表示缺省；如果某个xi无下界或上界，可以设定lb（i）＝－inf或ub（i）＝inf；用［x,Fval］代替上述各命令行中左边的x，则可得到在最优解x处的函数值Fval；可以在MATLAB帮助文件中查阅有关该命令的详细信息。【实验方法与步骤】建立线性规划模型有三个基本步骤：第一步，找出待定的未知变量（决策变量），并用代数符号来表示它们；第二步，找出问题的所有限制或约束条件，写出未知变量的线性方程或线性不等式；第三步，找到模型的目标，写成决策变量的线性函数，以便求其最大或最小值。1．引例问题的分析与模型的建立首先，确定决策变量，要求如何安排白天电视、最佳时段电视、网络媒体、杂志广告的次数，用符号表示，分别设定为1x，2x，3x，4x；其次，确定所有的约束条件，广告总费用不超过750（千元），则有451x＋862x＋253x＋124x≤750受广告影响的女顾客数不少于200万，则有2601x＋4502x＋1603x＋1004x≥2000电视广告费用不超过450（千元），且白天至少播4次，最佳时段至少播出2次，则有451x＋862x≤450，1x≥4，2x≥2由于网络媒体和杂志广告要重复5到8次，则有5≤3x≤8，5≤4x≤8183最后，确定问题的目标函数，由题意知确定广告编排方案，使得受各种广告影响的潜在顾客总数：z＝3501x＋8802x＋4303x＋1804x最多。故该问题完整的线性规划模型如下：maxz＝3501x＋8802x＋4303x＋1804x..ts451x＋862x＋253x＋124x≤750－2601x－4502x－1603x－1004x≤－2000451x＋862x＋03x＋04x≤45001x＋02x＋3x＋04x≤801x＋02x＋03x＋4x≤81x≥4，2x≥2，3x≥5，4x≥52．MATLAB计算机求解用MATLAB求解的程序代码：c=[-350-880-430-180];%取－c将目标函数标准化a=[45862512;-260-450-160-100;458600;0010;0001];b=[750;-2000;450;8;8];lb=[4;2;5;5];[x,Fval]=linprog(c,a,b,[],[],lb,[])%无等式约束条件和x的上界，取［］表缺省Optimizationterminatedsuccessfully.x=4.00003.13958.00008.0000Fval=-9.0428e+003【结果分析】引例问题的目标函数是求受广告影响的最多顾客人数，而MATLAB命令linprog针对线性规划模型（5）求最小值，那么我们取－c，将目标函数化成标准形式，在求得－z＝－xc'的最小值后，我们即可得到z的最大值，根据约束条件，受广告影响的最多潜在顾客人数为9042800人。在这里，用命令lp可以求得相同的结果。【练习与思考】1．一服务部门一周中每天需要不同数目的雇员：周一到周四每天至少50人，周五和周日每天至少70人，周六至少85人。现规定应聘者需连续工作5天，试确定聘用方案，即周一到周日每天聘用多少人，使在满足需要的条件下聘用总人数最少。如果周日的需要量由75增至90人，方案应如何改变？2．某地液化气公司两营业点A和B每月的进气量分别为9万m3（立方）和12万m3（立方），联合供应4个居民区a、b、c、d，4个居民区每月对气的需求量依次分别为7.5万m3、4.5万m3、6万m3、3万m3。营业点A离4个居民区的距离分别为7km、3km、6km、5.5km，营业点B离4个居民区的距离分别为4km、8km、5km、2km。问如何分配供气量使得总运输量（万m3×km）达到最小？3．某工厂制造甲、乙两种产品，每种产品消耗煤、电、工作日及获利如下表所示，现有煤360t（吨），电力200kw·h，工作日300个。请制定一个使总利润最大的生产计划。184煤（t）电（kw·h）工作日单位利润（元/t）甲9437000乙551012000