二次函数再研究提高

1二次函数讲解1二次函数的定义与解析式（1）二次函数的定义形如：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)的函数叫做二次函数.（2）二次函数的三种表示形式：①标准式：20yaxbxca；②顶点式：2yaxmn，顶点,mn0a；③零点式：12yaxxxx0a。点评：.求二次函数解析式的方法：待定系数法.根据所给条件的特征，可选择一般式、顶点式或零点式中的一种来求.①已知三个点的坐标时，宜用一般式.②已知二次函数的顶点坐标或与对称轴有关或与最大(小)值有关时，常使用顶点式.③已知二次函数与x轴有两个交点，且横坐标已知时，选用零点式求f(x)更方便.例1若二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)满足f(x＋1)－f(x)＝2x，且f(0)＝1.(1)求f(x)的解析式；(2)若在区间[－1,1]上，不等式f(x)2x＋m恒成立，求实数m的取值范围．解：(1)由f(0)＝1，得c＝1.即f(x)＝ax2＋bx＋1.又f(x＋1)－f(x)＝2x，则a(x＋1)2＋b(x＋1)＋1－(ax2＋bx＋1)＝2x，即2ax＋a＋b＝2x，所以2a＝2，a＋b＝0，解得a＝1，b＝－1.因此，f(x)＝x2－x＋1.(2)f(x)2x＋m等价于x2－x＋12x＋m，即x2－3x＋1－m0，要使此不等式在[－1,1]上恒成立，只需使函数g(x)＝x2－3x＋1－m在[－1,1]上的最小值大于0即可．∵g(x)＝x2－3x＋1－m在[－1,1]上单调递减，∴g(x)min＝g(1)＝－m－1，由－m－10得，m－1.因此满足条件的实数m的取值范围是(－∞，－1)．2.二次函数的图象和性质y=ax2+bx+c(a≠0)定义域：R；2值域：(abac442,+∞)(a＞0时);(－∞,abac442)(a＜0时).图象是抛物线，其对称轴方程为2bxa．当0a时，开口向上；当0a时，开口向下。（3）二次函数的性质①0a时，单调递减区间(,]2ba；单调递增区间[,)2ba，2min44acbya。②0a时，单调递增区间(,]2ba；单调递减区间[,)2ba，2max44acbya。例1已知函数y＝ax2＋bx＋c，如果abc且a＋b＋c＝0，则它的图象可能是()解析：选D∵abc，且a＋b＋c＝0，∴a0，c0.∴图象开口向上与y轴交于负半轴．例2已知f(x)＝x2＋bx＋c且f(－1)＝f(3)，则()A．f(－3)cf52B．f52cf(－3)C．f52f(－3)cD．cf52f(－3)例3已知函数f(x)＝x2＋bx＋1是R上的偶函数，则实数b＝________，不等式f(x－1)x的解集为________．解析：因为f(x)＝x2＋bx＋1是R上的偶函数，所以b＝0，则f(x)＝x2＋1，解不等式(x－1)2＋1x，即x2－3x＋20得1x2.答案：0{x|1x2}例4已知函数f(x)＝ax2－2ax＋2＋b(a≠0)，若f(x)在区间[2,3]上有最大值5，最小值2.(1)求a，b的值；(2)若b1，g(x)＝f(x)－m·x在[2,4]上单调，求m的取值范围．解：(1)f(x)＝a(x－1)2＋2＋b－a.当a0时，f(x)在[2,3]上为增函数，故f3＝5，f2＝2，⇒9a－6a＋2＋b＝5，4a－4a＋2＋b＝2，⇒a＝1，b＝0.当a0时，f(x)在[2,3]上为减函数，3故f3＝2，f2＝5，⇒9a－6a＋2＋b＝2，4a－4a＋2＋b＝5，⇒a＝－1，b＝3.(2)∵b1，∴a＝1，b＝0，即f(x)＝x2－2x＋2.g(x)＝x2－2x＋2－mx＝x2－(2＋m)x＋2，∵g(x)在[2,4]上单调，∴2＋m2≤2或m＋22≥4.∴m≤2或m≥6.例5设abc0，二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的图象可能是()解析：选D当－b2a0时，ab0，从而c0，可排除A，C；当－b2a0时，ab0，从而c0，可排除B，选D.3二次函数的图象变换（1）2yx与20yaxa间的变换二次函数20yaxa的图像可由2yx的图像各点的变为原来的得到．（2）20yaxa与2()yaxhk(a≠0)间的变换①二次函数2()yaxhk的图像可由20yaxa向平移个单位长度(h0)，再向平移个单位长度(k0}得到．②二次函数2()yaxhk的图像可由20yaxa向平移个单位长度(h0)，再向平移个单位长度(k0)得到．例1已知二次函数2()43fxxx，则f(x)的开口方向向(上，下)，对称轴方程为顶点坐标为，该函数可由2yx向平移个单位长度，再向平移个单位长度得到．例2已知函数y＝ax2＋bx＋c，如果abc且a＋b＋c＝0，则它的图象可能是()44二次函数在闭区间nm,上的最大、最小值问题探讨①图象的开口方向；②顶点；③区间与对称轴的位置关系；④区间端点函数值。设002acbxaxxf，则二次函数在闭区间nm,上的最大、最小值有如下的分布情况：abnm2nabm2即nmab,2nmab2图象最大、最小值nfxfmfxfminmaxabfxfmfnfxf2,maxminmaxmfxfnfxfminmax对于开口向下的情况，讨论类似。其实无论开口向上还是向下，都只有以下两种结论：（1）若nmab,2，则nfabfmfxf,2,maxmax，nfabfmfxf,2,minmin；（2）若nmab,2，则nfmfxf,maxmax，nfmfxf,minmin另外，当二次函数开口向上时，自变量的取值离开对称轴越远，则对应的函数值越大；反过来，当二次函数开口向下时，自变量的取值离开对称轴越远，则对应的函数值越小。例1函数2220fxaxaxba在2,3上有最大值5和最小值2，求,ab的值。解：对称轴012,3x，故函数fx在区间2,3上单调。5（1）当0a时，函数fx在区间2,3上是增函数，故maxmin32fxffxf32522abb10ab；（2）当0a时，函数fx在区间2,3上是减函数，故maxmin23fxffxf25322bab13ab例2求函数221,1,3fxxaxx的最小值。解：对称轴0xa（1）当1a时，min122yfa；（2）当13a时，2min1yfaa；（3）当3a时，min3106yfa例3求函数243yxx在区间,1tt上的最小值。解：对称轴02x（1）当2t即2t时，2min43yfttt；（2）当21tt即12t时，min21yf；（3）当21t即1t时，2min12yfttt5二次函数、一元二次方程及一元二次不等式之间的关系①当0()fx2axbxc的图像与x轴无交点20axbxc无实根20(0)axbxc的解集为或者是R;②当0()fx2axbxc的图像与x轴相切20axbxc有两个相等的实根20(0)axbxc的解集为或者是R;③当0()fx2axbxc的图像与x轴有两个不同的交点20axbxc有两个不等的实根20(0)axbxc的解集为(,)()或者是(,)(,)。④二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，当Δ＝b2－4ac0时，图象与x轴有两个交点M1(x1,0)、M2(x2,0)，6|M1M2|＝|x1－x2|＝Δ|a|.6一元二次方程20axbxc实根分布的条件一般地对于含有字母的一元二次方程20axbxc的实根分布问题，用图象求解，有如下结论：令()fx2axbxc（0a）（同理讨论0a的结论）(1)x1α,x2α,则0/(2)()0baf;(2)x1α,x2α,则0/(2)()0baf(3)αx1,αx2,则)2/(0)(0)(0abff(4)x1α,x2(α),则()0()0ff(5）若f(x)=0在区间(α,)内只有一个实根，则有0))(ff点评：（1）讨论二次函数的区间根的分布情况一般需从三方面考虑：①判别式；②区间端点的函数值的符号；③对称轴与区间的相对位置．在讨论过程中，注意应用数形结合的思想.例1一元二次方程)0(0122axax有一个正实数根和一个负实数根，则a的范围是（）A.1aB.0aC.0aD.1a例2若方程x2－2mx＋4＝0的两根满足一根大于1，一根小于1，则m的取值范围是()A.－∞，－52B.52，＋∞C．(－∞，－2)∪(2，＋∞)D.－52，＋∞解析：选B设f(x)＝x2－2mx＋4，则题设条件等价于f(1)0，即1－2m＋40，解得m52.例3若方程x2－11x＋30＋a＝0的两根均大于5，则实数a的取值范围是___104a_____.