函数连续性定义和间断点

一、函数连续性的定义二、函数的间断点1x11211yxx1112xyy111xxyxx，，yx11211x1121112xxy一、函数在一点的连续性可见,函数在点0x(1)在点即(2)极限(3)连续必须具备下列条件:存在;有定义,存在;1.定义:)(xfy在的某邻域内有定义,,)()(lim00xfxfxx则称函数.)(0连续在xxf设函数且0x)()(lim00xfxfxx注意:)(xf在点连续,则极限运算和函数运算可以交换顺序。即：(1)若0xf)lim(0xfxx)(lim0xfxx.)(0连续在xxf(2)函数存在例1:讨论函数在点处的连续性xy00xxx0)(xfyxyxy00xxx0xy)(xfy2.函数在点连续的等价定义)(xf0x定义：设函数自变量由变到,则)(xf0xx0xxx叫做自变量的增量；相应的函数值由变到,)(0xf)(xf则叫做函数值的增量y)()(0xfxfy（改变量）)()(lim00xfxfxx)()(lim000xfxxfx0lim0yx,0,0当xxx0时,有yxfxf)()(0函数0x)(xf在点连续有下列等价命题:0)()(lim:000xfxxfx即右连续左连续例2.证明函数在点连续.定义1：若在某区间上每一点都连续,则称它在该区间上连续,或称它为该区间上的连续函数.同理可证：函数在点连续.3.区间上的连续函数..],[)(,,,),(2上连续在闭区间则称函数处左连续在右端点处右连续并且在左端点内连续：如果函数在开区间定义baxfbxaxba连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线.由例2知函数及在其定义域区间内是连续的二、函数的间断点若函数0x在)(xf点不连续，则称在点间断，0x称为间断点.0x)(xf在在(1)函数(2)函数不存在;(3)函数存在,但)()(lim00xfxfxx不连续:则下列情形之一函数在点虽有定义,但虽有定义,且在无定义;1.可去间断点，则称为的可去间断点但如果，而在点无定义，或者有定义Axfxx)(lim0f0xAxf)(00xf1x1121例2：设11)(2xxxf,讨论在x=1的连续性1)0(,f.0为函数的可去间断点x注意：可去间断点只要改变或者补充间断处函数的定义,则可使其变为连续点.例3：设010)(2xxxxf,讨论在x=0处的连续性0lim)(lim200xxfxx解:)0()(lim0fxfx2.跳跃间断点例4：.0,0,1,0,)(处的连续性在讨论函数xxxxxxf解,0)00(f,1)00(f),00()00(ff.0为函数的跳跃间断点xoxy则称为函数的跳跃间断点如果在点存在左、右极限，但)(lim)(lim00xfxfxxxxf0x0xf跳跃间断点与可去间断点统称为第一类间断点.特点：.0处的左、右极限都存在函数在点x3.第二类间断点f则称为的第二类间断点函数在点的左、右极限至少有一个不存在，0x0xf例5：处的连续性在讨论函数tgxxf)(2xxytan2xyo例6.0,0,,0,1)(处的连续性在讨论函数xxxxxxf解oxy,0)00(f,)00(f.1为函数的第二类间断点x.断点这种情况称为无穷间例7.01sin)(处的连续性在讨论函数xxxf解xy1sin,0处没有定义在x.1sinlim0不存在且xx.0为第二类间断点x.断点这种情况称为的振荡间三、小结1.函数在一点连续必须满足的三个条件;3.间断点的分类与判别;2.区间上的连续函数;第一类间断点第二类间断点间断点(见下图)可去间断点跳跃间断点左右极限都存在无穷间断点振荡间断点左右极限至少有一个不存在第一类间断点oyx跳跃型无穷型振荡型第二类间断点oyx0xoyx0x可去型oyx0x四、连续函数的性质与运算性性质1:（局部有界性）若函数在点连续)(xfy0x则存在的一个邻域及定值，当0x),(0xUM),(0xUx时，有。Mxf)(当时，性质2:（局部保号性）若函数在点连续)(xfy0x，则存在的一个邻域，0x),(0xU),(0xUx有)0)((0)(xfxf或)0)((0)(00xfxf或.)0)(()()(),()(),()(,)(),(000处也连续在点则处连续在点若函数xxgxgxfxgxfxgxfxxgxf性质3：（连续函数的四则运算法则）例如：,),(cos,sin内连续在xx.csc,sec,cot,tan在其定义域内连续故xxxx例1：证明函数在内是连续的。nxy),(）（即连续。在点则复合函数连续在点函数）（即点连续，在设函数)].(lim[)()]([lim))((,)(),)(lim()(000000000xfufxfxxfyuufyuxxxxuxxxxxx性质4：（复合函数的连续性）例2：讨论函数的连续性。21cosxy在上连续，uycos),(在上各自连续连续，21xu),0()0,(解：函数可以看做是由，21cosxyuycos21xu复合而成的，21cosxy在上各自连续。),0()0,(所以性质5：（反函数的连续性）连续且严格单调递增（递减）的反函数必是连续且严格单调递增（递减）的函数.五、初等函数的连续性定理2：一切初等函数在其定义区间内都是连续的.例如,,]2,2[sin上单调增加且连续在xy.]1,1[arcsin上也是单调增加且连续在故xy定理1：基本初等函数在定义域内是连续的.备用题确定函数间断点的类型.xxexf111)(解:间断点1,0xx)(lim0xfx,0x为无穷间断点;,1时当xxx1,0)(xf,1时当xxx1,1)(xf故1x为跳跃间断点.,1,0处在x.)(连续xf1、.0,0,2,0,2)(连续性处的在讨论函数xxxxxxf解)2(lim)(lim00xxfxx2),0(f)2(lim)(lim00xxfxx2),0(f右连续但不左连续,.0)(处不连续在点故函数xxf2、.0,0,,0,cos)(,处连续在函数取何值时当xxxaxxxfa解,)0(afxxfxxcoslim)(lim00,1)(lim)(lim00xaxfxx,a),0()00()00(fff要使,1a,1时故当且仅当a.0)(处连续在函数xxf四、小结连续函数的和差积商的连续性.复合函数的连续性.初等函数的连续性.定义区间与定义域的区别;求极限的又一种方法.两个定理;两点意义.反函数的连续性.思考题设xxfsgn)(，21)(xxg，试研究复合函数)]([xgf与)]([xfg的连续性.思考题解答21)(xxg)1sgn()]([2xxgf12sgn1)]([xxfg0,10,2xx在),(上处处连续)]([xgf在)0,(),0(上处处连续)]([xfg0x是它的可去间断点0,10,00,1)(xxxxf一、填空题：1、43lim20xxx____________.2、xxx11lim0____________.3、)2cos2ln(lim6xx____________.4、xxx24tancos22lim____________.5、tett1lim2____________.6、设,0,0,)(xxaxexfx当a_____时，)(xf在),(上连续.练习题7、函数61)(24xxxxxf的连续区间为________________.8、设时当时当1,11,2cos)(xxxxxf确定)(lim21xfx__________;)(lim1xfx___________.二、计算下列各极限：1、axaxaxsinsinlim；2、xxxcot20)tan31(lim；3、1)1232(limxxxx；三、设0),ln(0,10,)(22xxxbxxxaxf已知)(xf在0x处连续，试确定a和b的值.四、设函数)(xf在0x处连续，且0)0(f,已知)()(xfxg，试证函数)(xg在0x处也连续.一、1、2；2、21；3、0；4、0；5、)11(212e；6、1；7、),2(),2,3(),3,(；8、22,0,不存在.二、1、acos；2、1；3；21e.三、eba,1.练习题答案第一类间断点第二类间断点•可去间断点•跳跃间断点•无穷间断点•震荡间断点第一类间断点第二类间断点可去间断点无定义、值太高、值太低跳跃间断点无穷间断点震荡间断点.)(1.10处无定义在：情形xxfxOy0x●x)(xfy●x●哎呀,不好!有个洞,还没有支撑，我掉下去了!!!0xx自由地趋于A注意到：这种间断点称为可去间断点..)(,)()()(lim0000处连续在那么这个新的处的值为在新定义存在，因此如果我们重在这种情形下，xxfAxfxxfAxfxxxOy0x●x)(xfy●x●哎呀,不好!有个洞,还没有支撑，我掉下去了!!!注意到：这种间断点称为可去间断点..)(,)()()(lim0000处连续在那么这个新的处的值为在新定义存在，因此如果我们重在这种情形下，xxfAxfxxfAxfxx.)(lim)(lim.)(1.1000存在但处有或无定义在：情形xfxfxxfxxxxAxfxfxfxxxx)(lim)(lim)(000补充定义：A正好，连上了，我和其他的点连上了！.)(.)(2.100的值太高了但处有定义在：情形xfxxfxOy●)(xfy●●哎呀,太高了!够不着，又有个洞,我还是掉下去了!!!●注意到：这种间断点称为可去间断点..)(,)()().()(lim00000处连续在那么这个新的处的值为在我们修改定义因此如果存在，但是在这种情形下，xxfAxfxxfxfAAxfxxAxf)(0修改定义：A0xxx正好，连上了，我和其他的点连上了！.)(.)(2.100的值太低了但处有定义在：情形xfxxfxOy●)(xfy●●哎呀,太低了!跳不上去，唉，只能在下面呆着了!!!●●0xxx注意到：这种间断点称为可去间断点..)(,)()().()(lim00000处连续在那么这个新的处的值为在我们修改定义因此如果存在，但是在这种情形下，xxfAxfxxfxfAAxfxxAxf)(0修改定义：A正好，连上了，我和其他的点连上了！xOy)(xfy●●哎呀,前不着村，后不着店的，就是能单边撑着，也靠不住啊，我还是掉下去了!!!.),(lim)(lim.)(2000都存在但处有定义在：情形xfxfxxfxxxx●0xxx注意到：这种间断点称为跳跃间断点..)(,)()(lim000限存在，有较好的性质的单侧极的左右两边，但分别考虑处连续在不存在，因此无法使得在这种情形下，xfxxxfxfxx这点放哪儿能接上呢？●xOy0xx)(xfyx.)(.)(lim)(lim.)(30000的渐进线称为此时，直线或或一个为至少有和或无定义处有在：情形xfyxxxfxfxxfxxxx●●哎，小红点，你跑哪去了？快救救我，我要跑到未知世界去了！这种间断点称为无穷间断点0xxxx.)(40无限