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当前位置:首页 > 中学教育 > 高中教育 > 2.3.2双曲线的简单几何性质
2.3.2双曲线简单的几何性质(一)222bac定义图象方程焦点a.b.c的关系||MF1|-|MF2||=2a(02a|F1F2|)F(±c,0)F(0,±c)12222byax12222bxayyxoF2F1MxyF2F1M2、对称性一、研究双曲线的简单几何性质)0,0(12222babyax1、范围axaxaxax,,12222即关于x轴、y轴和原点都是对称。x轴、y轴是双曲线的对称轴,原点是对称中心,又叫做双曲线的中心。xyo-aa(-x,-y)(-x,y)(x,y)(x,-y)课堂新授3、顶点(1)双曲线与对称轴的交点,叫做双曲线的顶点xyo-b1B2Bb1A2A-aa12(,0)(,0)AaAa顶点是、只有两个!如图,线段叫做双曲线的实轴,它的长为2a,a叫做实半轴长;线段叫做双曲线的虚轴,它的长为2b,b叫做双曲线的虚半轴长2A1A2B1B(2)实轴与虚轴等长的双曲线叫等轴双曲线(3))0(22mmyxM(x,y)4、渐近线1A2A1B2BN(x,y’)Q:的位置关系它与xaby:的位置的变化趋势它与xaby的下方在xaby慢慢靠近xyoxabyxabyab)(22axaxaby分的方程为双曲线在第一象限内部xabybabyax的渐近线为双曲线)0,0(12222(1)的渐近线为等轴双曲线)0(22mmyx(2)xy利用渐近线可以较准确的画出双曲线的草图(3)5、离心率双曲线的叫做的比双曲线的焦距与实轴长,ace离心率。ca0e1e是表示双曲线开口大小的一个量,e越大开口越大(1)定义:(2)e的范围:(3)e的含义:11)(2222eacaacab也增大增大且时,当abeabe,),,0(),1(的夹角增大增大时,渐近线与实轴eace222bac二四个参数中,知二可求、、、在ecba(4)等轴双曲线的离心率e=?2(5)的双曲线是等轴双曲线离心率2exyo的简单几何性质二、导出双曲线)0,0(12222babxay-aab-b(1)范围:ayay,(2)对称性:关于x轴、y轴、原点都对称(3)顶点:(0,-a)、(0,a)(4)渐近线:xbay(5)离心率:ace小结ax或axayay或)0,(a),0(axabyxbayace)(222bac其中关于坐标轴和原点都对称性质双曲线)0,0(12222babyax)0,0(12222babxay范围对称性顶点渐近线离心率图象例1:求双曲线的实半轴长,虚半轴长,焦点坐标,离心率.渐近线方程。解:把方程化为标准方程可得:实半轴长a=4虚半轴长b=3半焦距c=焦点坐标是(0,-5),(0,5)离心率:渐近线方程:14416922xy1342222xy5342245acexy34例题讲解例2.求满足下列条件的双曲线的标准方程:(1)实轴的长是10,虚轴长是8,焦点在x轴(2)离心率,经过点M(-5,3);2e(3)实轴长与虚轴长之和等于焦距的倍,一个顶点为(0,2);2221492454xye巩固练习:1、求与椭圆有公共焦点,且离心率的双曲线方程。2、求与椭圆xy221681有共同焦点,渐近线方程为xy30的双曲线方程。⑴与双曲线221916xy有共同渐近线,且过点(3,23);⑵与双曲线221164xy有公共焦点,且过点(32,2)例3:求下列双曲线的标准方程:(3)渐近线方程为,经过点23yx9(,1).2M⑴法一:直接设标准方程,运用待定系数法考虑.(一般要分类讨论)解:双曲线221916xy的渐近线为43yx,令x=-3,y=±4,因234,故点(3,23)在射线43yx(x≤0)及x轴负半轴之间,∴双曲线焦点在x轴上,∴设双曲线方程为22221xyab(a0,b0),∴222243(3)(23)1baab解之得22944ab,∴双曲线方程为221944xy⑴与双曲线221916xy有共同渐近线,且过点(3,23);法二:巧设方程,运用待定系数法.⑴设双曲线方程为,22(0)916xy22(3)(23)91614221944双曲线的方程为xy法一:直接设标准方程,运用待定系数法⑵解:设双曲线方程为22221xyab(a0,b0)则22222220(32)21abab解之得22128ab∴双曲线方程为221128xy根据下列条件,求双曲线方程:⑵与双曲线221164xy有公共焦点,且过点(32,2).法二:设双曲线方程为221164xykk16040kk且221128xy∴双曲线方程为22(32)21164kk∴,解之得k=4,222221,2012(30)xymmm或设求得舍去1、“共渐近线”的双曲线的应用222222221(0)xyabxyab与共渐近线的双曲线系方程为,为参数,λ0表示焦点在x轴上的双曲线;λ0表示焦点在y轴上的双曲线。总结:xyOlF引例:点M(x,y)与定点F(c,0)的距离和它到定直线的距离比是常数(ca0),求点M的轨迹.cx2aacM解:设点M(x,y)到l的距离为d,则||MFcda即222()xcycaaxc化简得(c2-a2)x2-a2y2=a2(c2-a2)设c2-a2=b2,22221xyab(a0,b0)故点M的轨迹为实轴、虚轴长分别为2a、2b的双曲线.222()||axcyacx22224222(2)2axcxcyaacxcxb2x2-a2y2=a2b2即就可化为:M点M的轨迹也包括双曲线的左支.一、第二定义双曲线的第二定义平面内,不在定直线l上的点到定点F的距离与到定直线l的距离比为常数e(e1)的点的轨迹是双曲线。定点F是双曲线的焦点,定直线叫做双曲线的准线,常数e是双曲线的离心率.对于双曲线22221xyab是相应于右焦点F(c,0)的右准线类似于椭圆2axc是相应于左焦点F′(-c,0)的左准线2axcxyoFlMF′2axcl′2axc点M到左焦点与左准线的距离之比也满足第二定义.想一想:中心在原点,焦点在y轴上的双曲线的准线方程是怎样的?xyoF相应于上焦点F(c,0)的是上准线2yac2yac相应于下焦点F′(-c,0)的是下准线2yac2yacF′例3、已知双曲线221,169xyF1、F2是它的左、右焦点.设点A(9,2),在曲线上求点M,使24||||5MAMF的值最小,并求这个最小值.xyoF2MA165x由已知:解:a=4,b=3,c=5,双曲线的右准线为l:54e作MN⊥l,AA1⊥l,垂足分别是N,A1,N2||5||4MFMN24||||5MFMNA124||||||||5MAMFMAMN1||AA当且仅当M是AA1与双曲线的交点时取等号,令y=2,解得:4132x413,2,3M即29.5最小值是归纳总结1.双曲线的第二定义平面内,若定点F不在定直线l上,则到定点F的距离与到定直线l的距离比为常数e(e1)的点的轨迹是双曲线。定点F是双曲线的焦点,定直线叫做双曲线的准线,常数e是双曲线的离心率。2.双曲线的准线方程对于双曲线22221,xyab准线为2axc对于双曲线22221yxab准线为2ayc注意:把双曲线和椭圆的知识相类比.椭圆与直线的位置关系及判断方法判断方法∆0∆=0∆0(1)联立方程组(2)消去一个未知数(3)复习:相离相切相交二、直线与双曲线的位置关系3)判断直线与双曲线位置关系的操作程序把直线方程代入双曲线方程得到一元一次方程得到一元二次方程直线与双曲线的渐进线平行相交(一个交点)计算判别式0=00相交相切相离消去,得2222y=kx+my:xy-=1ab(b2-a2k2)x2-2kma2x+a2(m2+b2)=01.二次项系数为0时,L与双曲线的渐近线平行或重合。重合:无交点;平行:有一个交点。2.二次项系数不为0时,上式为一元二次方程,Δ0直线与双曲线相交(两个交点)Δ=0直线与双曲线相切Δ0直线与双曲线相离特别注意直线与双曲线的位置关系中:一解不一定相切,相交不一定两解,两解不一定同支例.已知直线y=kx-1与双曲线x2-y2=4,试讨论实数k的取值范围,使直线与双曲线(1)没有公共点;(2)有两个公共点;(3)只有一个公共点;(4)交于异支两点;(5)与左支交于两点.(3)k=±1,或k=±;52(4)-1<k<1;(1)k<或k>;525252(2)<k<;52125-k1k且1.过点P(1,1)与双曲线只有共有_______条.变题:将点P(1,1)改为1.A(3,4)2.B(3,0)3.C(4,0)4.D(0,0).答案又是怎样的?4116922yx1.两条;2.三条;3.两条;4.零条.交点的一个直线XYO(1,1)。2.双曲线x2-y2=1的左焦点为F,点P为左支下半支上任意一点(异于顶点),则直线PF的斜率的变化范围是_________01,,3.过原点与双曲线交于两点的直线斜率的取值范围是13422yx323,,2练习:1.过双曲线116922yx的左焦点F1作倾角为4的直线与双曲线交于A、B两点,则|AB|=.2.双曲线的两条渐进线方程为20xy,且截直线30xy所得弦长为833,则该双曲线的方程为()(A)2212xy(B)2214yx(C)2212yx(D)2214xyD1927三、弦长问题.,,,.,,)1,1(:,12322请说明理由若不能的方程求出直线若能中点的为线段并且点两点与双曲线交于,使能否作直线过点问、已知双曲线lPQAQPllyx1.位置判定2.弦长公式3.中点问题4.垂直与对称5.设而不求(韦达定理、点差法)小结:
本文标题:2.3.2双曲线的简单几何性质
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