二次函数区间取最值问题专题练习(含答案)

12018届初三数学培优材料（一）函数实际应用专题（一）例题1小华的爸爸在国际商贸城开专卖店专销某种品牌的计算器，进价12元∕只，售价20元∕只．为了促销，专卖店决定凡是买10只以上的，每多买一只，售价就降低0.10元，但是最低价为16元∕只．（1）顾客一次至少买多少只，才能以最低价购买？（2）写出当一次购买x只时（x＞10），利润y（元）与购买量x（只）之间的函数关系式．（3）星期天，小华来到专卖店勤工俭学，上午做成了两笔生意，一是向顾客甲卖了46只，二是向顾客乙卖了50只，记账时小华发现卖50只反而比卖46只赚的钱少．为了使每次卖得越多赚钱越多，在其他促销条件不变的情况下，最低价16元∕只至少要提高到多少？为什么？分析：理解促销方案，正确表示售价，得方程求解；（2）利用分段函数分别得出y与x的函数关系式即可；（3）根据函数性质当x=ab2=45时，y有最大值202.5元；此时售价为20-0.1×（45-10）=16.5（元），进一步解决问题．解：(1)设需要购买x只，则20−0.1(x−10)=16，得x=50，故一次至少要购买50只；(2)当10x≤50时,y=[20−12−0.1(x−10)]x，即y=−0.1x2+9x，当x50时,y=(16−12)x，即y=4x；(3)当0x≤50时,y=−0.1x2+9x，当x=ab2=45时，y有最大值202.5元；此时售价为20−0.1×(45−10)=16.5(元)，当45x≤50时，y随着x的增大而减小，∴最低价至少要提高到16.5元/只。班级姓名2练习1：某城市香菇上市时，外商李经理按市场价格10元/千克在我州收购了2000千克香菇存放入冷库中．据预测，香菇的市场价格每天每千克将上涨0.5元，但冷库存放这批香菇时每天需要支出各种费用合计340元，而且香菇在冷库中最多保存90天，同时，平均每天有6千克的香菇损坏不能出售．（1）若存放x天后，将这批香菇一次性出售，设这批香菇的销售总金额为y元，试写出y与x之间的函数关系式．（2）李经理想获得利润22500元，需将这批香菇存放多少天后出售？（利润=销售总金额-收购成本-各种费用）（3）李经理将这批香菇存放多少天后出售可获得最大利润？最大利润是多少？分析：（1）根据等量关系“销售总金额=（市场价格+0.5×存放天数）×（原购入量-6×存放天数）”列出函数关系式；（2）按照等量关系“利润=销售总金额-收购成本-各种费用”列出函数方程求解即可；（3）根据等量关系“利润=销售总金额-收购成本-各种费用”列出函数关系式并求最大值解答：（1）由题意y与x之间的函数关系式为y=（10+0.5x）（2000-6x），=-3x2+940x+20000（1≤x≤90，且x为整数）；（2）由题意得：-3x2+940x+20000-10×2000-340x=22500解方程得：x1=50，x2=150（不合题意，舍去）李经理想获得利润22500元需将这批香菇存放50天后出售；（3）设利润为w，由题意得w=-3x2+940x+20000-10×2000-340x=-3（x-100）2+30000∵a=-30，∴抛物线开口方向向下，在1≤x≤90时w随x的增大而增大∴x=90时，w最大=29700∴存放90天后出售这批香菇可获得最大利润29700元34003006070Ｏy(件)x(元)例题2某服装公司试销一种成本为每件50元的T恤衫，规定试销时的销售单价不低于成本价，又不高于每件70元，试销中销售量y（件）与销售单价x（元）的关系可以近似的看作一次函数（如图）．（1）求y与x之间的函数关系式；（2）设公司获得的总利润（总利润＝总销售额总成本）为P元，求P与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；根据题意判断：当x取何值时，P的值最大？最大值是多少？分析：（1）直接利用待定系数法求一次函数解析式得出即可；（2）利用总利润=总销售额-总成本，进而得出P与x的函数关系式，进而得出最值；（3）利用二次函数的增减性得出x的取值范围即可．解答：（1）设y与x的函数关系式为：y=kx+b，∵函数图象经过点（60，40）和（70，30），∴3007040060bkbk解得：100010bk故y与x之间的函数关系式为：y=-10x+1000（2）由题意可得出：P=（x-50）（-10x+1000）=-10x2+1500x-50000，自变量取值范围：50≤x≤70．∵-752015002ab，a=-100．∴函数P=-10x2+1500x-50000图象开口向下，对称轴是直线x=75．∵50≤x≤70，此时y随x的增大而增大，∴当x=70时，P最大值=6000．（3）由p≥4000，当P=4000时，4000=-10x2+1500x-50000，解得：x1=60，x2=90，4∵a=-100，∴得60≤x≤90，又50≤x≤70；故60≤x≤70．练习2.为了扩大内需，让惠于农民，丰富农民的业余生活，鼓励送彩电下乡，国家决定对购买彩电的农户实行政府补贴．规定每购买一台彩电，政府补贴若干元，经调查某商场销售彩电台数y（台）与补贴款额x（元）之间大致满足如图①所示的一次函数关系．随着补贴款额x的不断增大，销售量也不断增加，但每台彩电的收益Z（元）会相应降低且Z与x之间也大致满足如图②所示的一次函数关系．（1）在政府未出台补贴措施前，该商场销售彩电的总收益额为多少元？（2）在政府补贴政策实施后，分别求出该商场销售彩电台数y和每台家电的收益Z与政府补贴款额x之间的函数关系式；（3）要使该商场销售彩电的总收益w（元）最大，政府应将每台补贴款额x定为多少？并求出总收益w的最大值．分析：（1）总收益=每台收益×总台数；（2）结合图象信息分别利用待定系数法求解；（3）把y与z的表达式代入进行整理，求函数最值解答：(1)该商场销售家电的总收益为800×200=160000(元)；(2)根据题意设y=k1x+800,Z=k2x+200∴400k1+800=1200,200k2+200=160解得k1=1,k2=−15，∴y=x+800,Z=−15x+200；(3)W=yZ=(x+800)⋅(−15x+200)=−15x2+40x+160000=−15(x−100)2+162000.∵a=−150，抛物线开口向下∴W有最大值。当x=100时，W最大=16200012008000400y(台)x(元)z(元)x(元)2001602000图①图②5∴政府应将每台补贴款额x定为100元，总收益有最大值其最大值为162000元。练习3.．“健益”超市购进一批20元/千克的绿色食品，如果以30元/千克销售，那么每天可售出400千克．由销售经验知，每天销售量y(千克)与销售单价x(元)(30x）存在如下图所示的一次函数关系式．⑴试求出y与x的函数关系式；⑵设“健益”超市销售该绿色食品每天获得利润P元，当销售单价为何值时，每天可获得最大利润？最大利润是多少？⑶根据市场调查，该绿色食品每天可获利润不超过4480元，现该超市经理要求每天利润不得低于4180元，请你帮助该超市确定绿色食品销售单价x的范围(直接写出答案)．分析：（1）由图象过点（30，400）和（40，200）利用待定系数法求直线解析式；（2）每天利润=每千克的利润×销售量．据此列出表达式，运用函数性质解答；（3）画出函数图象，结合图形回答问题．解答：(1)设y=kx+b，由图象可知，2004040030bkbk解得：100020bk∴y=−20x+1000(30≤x≤50,)(2)p=(x−20)，y=(x−20)(−20x+1000)=−20x2+1400x−20000，∵a=−200，∴p有最大值。当x=−35)20(214002ab时,p最大值=4500.即当销售单价为35元/千克时，每天可获得最大利润4500元。（3）令p=4480得：4480=-20x2+1400x-20000解方程得：x1=34，x2=36令p=4180得：4180=-20x2+1400x-20000解方程得：x1=31，x2=396如图所示：∵每天可获利润不超过4480元，不得低于4180元，∴31≤x≤34或36≤x≤39．练习4.某电子厂商投产一种新型电子产品，每件制造成本为18元，试销过程中发现，每月销售量y（万件）与销售单价x（元）之间的关系可以近似地看作一次函数y=-2x+100．（利润=售价-制造成本）（1）写出每月的利润z（万元）与销售单价x（元）之间的函数关系式；（2）当销售单价为多少元时，厂商每月能获得350万元的利润？当销售单价为多少元时，厂商每月能获得最大利润？最大利润是多少？（3）根据相关部门规定，这种电子产品的销售单价不能高于32元，如果厂商要获得每月不低于350万元的利润，那么制造出这种产品每月的最低制造成本需要多少万元？分析：（1）根据每月的利润z=（x-18）y，再把y=-2x+100代入即可求出z与x之间的函数解析式，（2）把z=350代入z=-2x2+136x-1800，解这个方程即可，把函数关系式变形为顶点式运用二次函数的性质求出最值；（3）根据销售单价不能高于32元，厂商要获得每月不低于350万元的利润得出销售单价的取值范围，进而解决问题解答：(1)z=(x−18)y=(x−18)(−2x+100)=−2x2+136x−1800，∴z与x之间的函数解析式为z=−2x2+136x−1800；(2)由z=350,得350=−2x2+136x−1800，解这个方程得x1=25,x2=43,所以，销售单价定为25元或43元，将z═−2x2+136x−1800配方,得z=−2(x−34)2+512，因此，当销售单价为34元时，每月能获得最大利润，最大利润是512万元；(3)结合(2)及函数z=−2x2+136x−1800的图象(如图所示)可知，当25≤x≤43时z≥350，又由限价32元，得25≤x≤32，根据一次函数的性质，得y=−2x+100中y随x的增大而减小，7∴当x=32时,每月制造成本最低。最低成本是18×(−2×32+100)=648(万元)，因此，所求每月最低制造成本为648万元。例题3：某公司生产的一种健身产品在市场上受到普遍欢迎，每年可在国内、国外市场上全部售完，该公司的年产量为6千件，若在国内市场销售，平均每件产品的利润y1（元）与国内销售数量x（千件）的关系为：[来源:Zxxk.Com]1159002513026xxyxx＜≤≤＜若在国外销售，平均每件产品的利润y2（元）与国外的销售数量t（千件）的关系为：[ww#w.zzs^tep.~*com%]210002511026tytt＜≤≤＜[*@p.com]（1）用x的代数式表示t为：t＝；当0＜x≤4时，y2与x的函数关系为y2＝；当4≤x＜时，y2＝100；（2）求每年该公司销售这种健身产品的总利润w（千元）与国内的销售数量x（千件）的函数关系式，并指出x的取值范围；（3）该公司每年国内、国外的销售量各为多少时，可使公司每年的总利润最大？最大值为多少？分析：（1）由该公司的年产量为6千件，每年可在国内、国外市场上全部售完，可得国内销售量+国外销售量=6千件，即x+t=6，变形即为t=6-x；根据平均每件产品的利润y2（元）与国外的销售数量t（千件）的关系y2=)62(1105)20(100＜ttt及t=6-x即可求出y2与x的函数关系：当0x≤4时，y2=5x+80；当4≤x6时，y2=100；（2）根据总利润=国内销售的利润+国外销售的利润，结合函数解析式，分三种情况讨论：①0x≤2；②2x≤4；③4x6；（3）先利用配方法将各解析式写成顶点式，再根据二次函数的性质，求出三种情况下的最大值，再比较即可8解答：（1）由题意，得x+t