第一章-习题课-函数、极限与连续

第一章函数、极限与连接(一)本章内容小结(二)常见问题分类及解法(三)思考题(四)课堂练习(一)本章内容小结一、本章的主要内容函数的定义；函数的几种特性；复合函数、反函数与初等函数的概念；数列与函数极限的定义；极限的运算法则；无穷小与无穷大的概念；两个重要极限；无穷小的比较；函数在点与区间的连续性及间断性；闭区间上连续函数的性质。二、几个常用的基本极限limxxxccc0()（1　）　=,(为常数）；lim0xx=x（　2）　；1lim0x=x（　3）　；1lim0（　4）　，(为正的常数)；x=xlimmm1mnnxnmnan=mbaxaxa=nmbxbxbnmaaabbbab00-01-101010100,当+++（　5）　0,当+++,当(其中、、、和、、、都是常数，且0,0)；sinlim1xx=x0（　6）　；tanlim1xx=x0（　7）　；1lim1exx+=x（　8）　；10lim1ett+t=（　9）　；lim0(||1)xxqq（1　0）　.三、几个充要条件00lim()()()xxxxxfxAfxAx0()当时（1　）　；00lim()lim()lim()xxxxxxfxAfxfxA000（　2）　；lim()lim()lim()xxxfxAfxfxA（　3）　；0000lim()()lim()lim()()xxxxxxfxfxfxfxfx000（　4）　.有定义有极限点，连续四、重要关系链：在某四、表1-1给出了当x→∞和0xx→时函数的极限与由此引申出来的有关概念之间的关系表1-10()lim()无穷大xxxfx0()1lim0()无穷小xxxfx()0fx有倒数关系0()0()当时fxAaxxax0()lim()()函数的极限常数xxxfxAlim()xfxA0lim()xxfxA000lim()()右连续xxfxfx000lim()()左连续xxfxfx00lim()()点连续xxfxfx五、lim()xfxA0lim()xxfxA00lim()()点连续xxfxfxlim数列的极限nnxAlim()xfxAlim()xfxA00lim()右极限xxfxA00lim()左极限xxfxA10lim(1)zzze1lim1xxex1xz0sinlim1xxx续表五、表1-2列出了函数()yfx的点连续与区间连续的概念表1-2六、本章关键词函数极限连续条件结论00000lim0lim()()()()()()lim()()lim()()(1)如果或(2)如果在，内每一点连续(3)如果在，内连续，且，xxxxbxayfxfxyfxabyfxabfxfbfxfb0()()()()[]那么在点连续那么在，内连续那么在，上连续yfxxyfxabyfxab(二)常见问题分类及解法一、求函数的定义域①分式的分母不等于零；②偶次方根式中，被开方式大于等于零；③含有对数的式子，真数式大于零；④反正弦、反余弦符号内的式子绝对值小于等于1；⑤分段函数的定义域是各段函数定义域的并集；⑥若已知()yfx的定义域是[,]ab，求[()]yfx的定义域，方法是解不等式组()axb.函数的定义域就是指使函数有意义的自变量的取值范围.判断函数有意义的方法有以下几种：x例1求下列函数的定义域：21arccos(318)32yxxx(1)；2ln(52)10710xyxxx(2).解所求定义域应使函数式中各部分都有意义，即求解不等式组。(1)若使函数有意义，必须2123201719|318|133xxxxxx或，解得，];319,317[故所求函数定义域为(2)若使函数有意义，必须22520571002,510010xxxxxxxx，解得，例2已知函数()yfx的定义域为[2,5]，求函数(43)yfx的定义域。解由已知得2435x，即524x，}.5,2,1052|{xxxx故所求函数定义域为];2,45[故所求函数定义域为二、判断两个函数是否相同一个函数的确定取决于其定义域和对应关系的确定，因此判断两个函数是否相同必须判断其定义域是否相同，且要判断函数表达式是否统一即可。例3判断下列各对函数是否相同？21()cos()(1cos)22xfxgxx(1)与；||()()1xfxgxx(2)与.利用定义域和对应法则来判断。221()cos()(1cos)22()()1()cos(1cos)(),()()22()()xfxgxxfxgxxfxxgxfxgxfxgx(1)因为的定义域是一切实数，而的定义域也是一切实数，所以与具有相同的定义域；又因为即与具有相同的对应法则，所以与是相同的函数；解||()0()1()()xfxxgxxfxgx(2)因为定义域是的一切实数，而的定义域是一切实数，所以与不是相同的函数。三、判断函数奇偶性判断函数的奇偶性，主要的方法就是利用定义，其次是利用奇偶的性质，即奇(偶)函数之和仍是奇(偶)函数；两个奇函数之积是偶函数；两个偶函数之积仍是偶函数；一奇一偶之积是奇函数。例4判断下列函数的奇偶性：1()(01)1xxafxaaa(1)且；322()(2tan)fxxxx(2)。解(1)用定义判断111()()111xxxxxxaaafxfxaaa因为，1()1xxafxa所以是奇函数；(2)用性质判断3222tanxxx因为是奇函数，是偶函数，322()(2tan)fxxxx所以是奇函数。四、函数、数列极限的求法利用极限的四则运算法则、性质以及已知极限求极限。1.nn若数列通项的分子、分母都是关于的多项式，则用分子分母中的最高次项的幂函数数同除分子分母，然后由四则运算法则求极限。例5求下列数列极限：23225lim353nnnnnn(1)；2221lim534nnnnn(2)；21lim32nnnn(3).解2323125lim03531nnnnnnn(1)原式；221122lim3455nnnnn(2)原式；211lim1321nnnn(3)原式.此法也适用于求函数极限。如P35.7.(10)(11)(12)2、若通项中含有根式，一般采用先分子或分母有理化，再求极限的方法。22lim(1)求。nnnn例6对通项式有理化得222222(1)(1)lim1nnnnnnnnnn原式2221111limlim211111nnnnnnnnn。解P36.12.(2)22312lim4xxx3、若所求极限是无穷项之和，通常先利用等差或等比数列的前n项和公式求和，再求极限。231111lim1(1)2222求nnn例7解11112aqn先求由，所构成的等比数列的前项和，再求极限，112lim112原式nn212lim1(1)332nnn4、利用两边夹逼定理求数列极限，方法是将极限式中的每一项放大或缩小，并使放大、缩小后的数列具有相同的极限。222lim2求nnnnnnnn例8解2222(1,2,,),(1,2,,)nnnnininninnnin因为222222nnnnnnnnnnnnnn所以2222211limlim1limlim111nnnnnnnnnnn而，222lim1.2nnnnnnnn故5.11lim1e若通项式为形如形式的不定式，一般采用重要极限求极限。nnn例9求下列极限：31lim11nnn(1)；3lim.1nnnn(2)解1lim1e.nnn用重要极限求极限121lim11(1)原式nnn1211lim1lim1e11；nnnnn211222lim1lim111nnnnnn(2)原式21122222lim11e.11nnnn函数极限的求法函数的极限比数列的极限复杂，原因有两个，一是自变量的变化过程多；二是函数式复杂；因此，求函数的极限首先要观察自变量的变化和函数表达式，然后选择适当方法.一般地，函数极限有以下几种求法：①数列极限的求法也适合求函数的极限.000lim.②利用函数的连续性求函数的极限，即若在处连续，则有xxfxxxfxfx241lim.54求xxxx例10解21454xxxx因为函数在处连续，2411lim4.854xxfxx所以③若求分段函数在分界点处的极限，则利用极限存在的充要条件求极限。即函数在某一点极限存在的充要条件是函数在该点的左右极限存在且相等。例11已知213231113limlim.sin13xxxxxfxxxfxfxxx，求，解1xfx在处，求的左右极限211limlim230xxfxxx，11limlim10xxfxx，1lim0xfx所以；3xfx在处，求的左右极限33limlim12xxfxx，33limlimsin1sin31xxfxx，3limxfx所以不存在.33limlimxxfxfx因为，0100sinlim111111lim1e④利用两个重要极限求函数的极限。即若所求极限为形如形式的不定式，并且极限式中含有三角函数，一般通过三角函数的恒等变换再利用重要极限求极限；若所求极限为形如形式的不定式，并且所求函数易转化为或的形式，通常采用求极限。xuuxxxxuuxxxxxsintanlim.120例xxxsec2)cos1(lim.13例⑤利用无穷小量的特性以及无穷小量与无穷大量的关系求极限。即无穷小量与有界变量之积仍是无穷小量；有限个无穷小量之积仍是无穷小量；有限个无穷小量之代数和仍为无穷小量等。无穷小量与无穷大量的关系是互为倒数。例14求下列函数的极限：201limsincos(1)；xxxx22223lim4(2).xxxx解(1)利用无穷小量的性质求该极限，201limsincos0所以；xxxx210sincos因为当时，，均是无穷小量，而为有界变量，xxxx(2)利用无穷大量与无穷小量的关系求该极限。22223540因为当时，，，xxxx2224lim023所以，xxxx22223lim4所以，极限不存在。xxxx求极限的常用方法1.利用连续性求极限;2.消去零因子法（通分或有理化）求极限;P35.7.(4)(5);P36.12.(1)3.无穷小因子分出法(即同除法)求极限;4.利用无穷小运算性质求极限;5.利用左右极限