1-极限与连续性习题课(解答)

三、连续与间断一、函数二、极限机动目录上页下页返回结束第一章函数与极限习题课一、函数（2）函数的特性：有界性、奇偶性、单调性、周期性机动目录上页下页返回结束（1）函数的概念二、极限（1）求极限的常用方法a.定义及运算法则;b.两个重要极限;c.夹逼定理和单调有界原理;e.利用无穷小运算性质求极限;f.利用等价无穷小代换求极限；d.有理函数及多项式型函数极限的求法;g.幂指函数求极限。1)1sinlim0xxx2)exxx)11(limexxx10)1(lim.)1(lim1e某过程（2）两个重要极限机动目录上页下页返回结束,1sinlim某过程0lim某过程：其中0lim某过程：其中ennn)11(lim（3）常用等价无穷小:,~sinxx,~tanxx,21~cos12xx,~arcsinxx,~arctanxx,~)1ln(xx,~1xex,ln~1axaxxx~1)1(机动目录上页下页返回结束时当0x三、函数的连续性（1）函数连续的概念机动目录上页下页返回结束（2）间断点的类型（3）闭区间上连续函数的性质最值定理注意：介值定理——有界性定理——零点存在定理闭区间和连续这两点缺一不可。解题思路：1.直接法:先利用最值定理，再利用介值定理;2.辅助函数法:先作辅助函数再利用零点存在定理;习题1-9(P76)：2；5(2)(4)；7；8；9；10；13；14；16作业:机动目录上页下页返回结束说明：第一大题根据自己的情况练习机动目录上页下页返回结束xxeexxsinlim)1(cos021cos0)1(limxeexx20cos1limxxex1cos~101cosxexx时，当2e例1求下列极限：机动目录上页下页返回结束1arctan4lim)2(1xxx.14arctanlim41xxx，时1x).4tan(arctan~4arctanxx4tan)tan(arctan14tan)tan(arctan)4tan(arctanxxxxx11111lim41xxxx原式xx11lim412tantan1tantan)tan(机动目录上页下页返回结束xxxbax)1()1(lim)3(0xxxxbax1)1(1)1(lim0xxxxbxax1)1(lim1)1(lim00baxbxxaxxx00limlim机动目录上页下页返回结束),()1()1(lim)4(20为正整数，nmxnxmxmnx232220]!2)1(!2)1([limxxxnmmmnnx22!2)1(!2)1(nmmmnn222nmmnP48：1(21)令,1xt则20111lim100tttt机动目录上页下页返回结束（5）解：20111001limttttt22011100limttt2220100lim(11100)tttt50机动目录上页下页返回结束22411limsinxxxxxx22sin1||1114||limxxxxxxxx22sin11114limxxxxxxxx1（6）0(7)limxxxxcot110limxxxxcot)121(e2e则有)()(1lim0xvxxxu复习:若,0)(lim0xuxx,)(lim0xvxx)(1)](1[lim0xuxxxue)()(lim0xuxvxx)(lim12tan10xxxx1机动目录上页下页返回结束)12(cotlim0xxxxe57(8)lim2nnnn机动目录上页下页返回结束nnnn12275lim2275limnnnnennnnne1)17(1)15(21lim27ln5lne35nnnnnne1)17(lim1)15(lim21axaxxln~10时1机动目录上页下页返回结束12(9)lim()2!3!(1)!nnn))!1(11!313!212(limnnn))!1(1!1!31!21!211(limnnn))!1(11(limnn1例2.解:机动目录上页下页返回结束的值。求，已知bannnbban,1992)1(limP77：5(5)bbanbbannnnnn)11(1lim)1(lim1)11(limbbannn)1(limnbnbanbnban1lim19921992101bba1992119921991ba例3xxxxnxxxxxnnlnlim,1lim)2(;1lim)1(,1lim001并求极限证明：利用极限证明：机动目录上页下页返回结束则有不妨设,1)1(x][111][1)1]([][xxxxxx1][][][11][1)]([][xxxxxx而1x][1][1][1][1)1]([)1]([xxxxxx1x;1lim1xxx机动目录上页下页返回结束tttxt11)1(lim令ttt11lim1xxxlnlim00;1lim1xxxxxx0lim)2(1lim0xxxxxxlnlim0xxxsin0lim)1(xxxelnsin0limxxxelnsinlim0xxxelnlim01xxxxxln1lim)2(1xxexxxln1limln11lnlnlim1xxxxx应用举例例4：证:,)1()1(nnnaax已知数列010||1lim1aaaxxnnn求证：,0时当a11nnxx1lim1nnnxx,0时当annnnnnnnaaaaxx)1()1()1()1(limlim111nnnaaaaa)11(1)11(1)1(lim1a1机动目录上页下页返回结束,0时当annnnnnnnaaaaxx)1()1()1()1(limlim1111)11(1)11()1(lim1nnnaaaaaa1010||1lim1aaaxxnnn所以机动目录上页下页返回结束例5：设3!nnnnan，证明：{}na有极限，并求此极限。机动目录上页下页返回结束解：111(1)3(1)!3!nnnnnnnannanna所以单调下降,0,na显然故极限存在，设limnnaA0A解得11(1)3nn3e1(1)nen1111(1)3(1)!nnnnan1(1)3!3(1)nnnnnnnnn1(1)3nnan等式两边取极限得3AAelim0nna即例6：证明:,,2,1,0,2)1(2,010nxxxxnnn设。并求极限，收敛证明：nnnxxlim}{,00x有界,20nxnnxx1而)2)(2()(211nnnnxxxx机动目录上页下页返回结束；单调增加，时当}{01nxxx,limAxnn设,2,111nxxxxnnnn，同号与所以；单调减少，时当}{01nxxx。的极限存在由单调有界原理：}{nx，则AAA222,2A：解得例7.求并判别其类型.解:)1)(1(sin)1(lim1xxxxxx1sin21x=–1为第一类间断点)(lim1xfxx=1为第二类间断点,1)(lim0xfx,1)(lim0xfxx=0为第一类间断点机动目录上页下页返回结束的间断点，x=–1，x=1，x=0为间断点有无穷间断点及可去间断点解:为无穷间断点,)1)((lim0xaxbexx所以bexaxxx)1)((lim0ba101,0ba为可去间断点,)1(lim1xxbexx极限存在0)(lim1bexxeebxx1lim试确定常数a及b.例8：设函数机动目录上页下页返回结束例9.，取何值时当设baxbxaxxxfnnn,,1lim)(2212。上连续在),()(xf解1lim)(2212nnnxbxaxxxf1211211||1||2xbaxbaxxxbxax机动目录上页下页返回结束即必须处连续在只需，上连续在要使,1)(),()(xxfxf)(lim)(lim)1(11xfxffxx)(lim)(lim)1(11xfxffxx11baba10ba例10：.)(lim2112sin)(1lim030xfexxfxxx求，已知解,0)1(lim30xxe又机动目录上页下页返回结束，已知2112sin)(1lim30xxexxf，则0)12sin)(1(lim0xxfx，故02sin)(lim0xxfx112sin)(1lim30xxexxf于是xxxfx32sin)(21lim0xxxfx22sin3)(lim03)(lim0xfx26)(lim0xfx所以解1:原式0)11(lim33xbaxxx0)11(lim33xbaxx故,01a于是,1a而2333231)1(1limxxxxx例11：确定常数a,b,使机动目录上页下页返回结束解2:1,xt令则3301lim(1)tabtt2333231)1(1limxxxxx例11：确定常数a,b,使机动目录上页下页返回结束原式=3301lim0ttabtt330lim(1)0ttabt故,01a于是,1a而例12：).()21(]1,0[,)1()0(,]1,0[)(ffffxf使得，证明必有一点且上连续在闭区间设证明：),()21()(xfxfxF令.]21,0[)(上连续在则xF,)0()21()0(ffF)21()1()21(ffF机动目录上页下页返回结束,)21()0(ff)21()0(FF2)]0()21([ff0,0)21()0(FF若,0)21()0(FF若由零点定理知,.0)(,)21,0(F使.)()21(成立即ff综上,,]1,0[]21,0[必有一点.)()21(成立使ff机动目录上页下页返回结束,)0()21(ff则,0取，即)0()210(ff例13：).()(,]1,0[,)10(,0)1()0(,]1,0[)(fafaaffxf使得必有一点则对任意的实数且上非负连续在设机动目录上页下页返回结束证明：),()()(xfaxfxF令)0()()0(fafF)1()1()1(affaF0)(af0)1(af,0)()0()1(afF若；则取0,0)1()1()2(