结构化学基础习题答案-周公度-第4版

【1.3】金属钾的临阈频率为5.464×10-14s-1，如用它作为光电极的阴极当用波长为300nm的紫外光照射该电池时，发射光电子的最大速度是多少？解：2012hvhvmv12018123414193122.9981026.626105.46410300109.10910hvvmmsJssmkg1341412315126.626104.529109.109108.1210Jsskgms【1.4】计算下列粒子的德布罗意波的波长：（a）质量为10-10kg，运动速度为0.01m·s-1的尘埃；（b）动能为0.1eV的中子；（c）动能为300eV的自由电子。解：根据关系式：(1)34221016.62610Js6.62610m10kg0.01mshmv3412719-11(2)26.62610Js21.67510kg0.1eV1.60210JeV9.40310mhhpmT34311911(3)26.62610Js29.10910kg1.60210C300V7.0810mhhpmeV【1.7】子弹（质量0.01kg，速度1000m·s-1），尘埃（质量10-9kg，速度10m·s-1）、作布郎运动的花粉（质量10-13kg，速度1m·s-1）、原子中电子（速度1000m·s-1）等，其速度的不确定度均为原速度的10%，判断在确定这些质点位置时，不确定度关系是否有实际意义？解：按测不准关系，诸粒子的坐标的不确定度分别为：子弹：343416.26106.63100.01100010%hJsxmmvkgms尘埃：3425916.626106.6310101010%hJsxmmvkgms花粉：34201316.626106.631010110%hJsxmmvkgms电子：3463116.626107.27109.10910100010%hJsxmmvkgms【1.9】用不确定度关系说明光学光栅（周期约610m）观察不到电子衍射（用100000V电压加速电子）。解：解法一：根据不确定度关系，电子位置的不确定度为：991111.22610/11.22610100001.22610xhhxmphVmm这不确定度约为光学光栅周期的10－5倍，即在此加速电压条件下电子波的波长约为光学光栅周期的10－5倍，用光学光栅观察不到电子衍射。解法二：若电子位置的不确定度为10－6m，则由不确定关系决定的动量不确定度为：3462816.62610106.62610xhJspxmJsm在104V的加速电压下，电子的动量为：31194231229.109101.60210105.40210xxpmmeVkgCVJsm由Δpx和px估算出现第一衍射极小值的偏离角为：2812315arcsinarcsin6.62610arcsin5.40210arcsin100xxoppJsmJsm这说明电子通过光栅狭缝后沿直线前进，落到同一个点上。因此，用光学光栅观察不到电子衍射。【1.11】2axxe是算符22224daxdx的本征函数，求其本征值。解：应用量子力学基本假设Ⅱ（算符）和Ⅲ（本征函数，本征值和本征方程）得：22222222244axddaxaxxedxdx2222224axaxdxeaxxedx22222222232323242444axaxaxaxaxaxaxdeaxeaxedxaxeaxeaxeaxe266axaxea因此，本征值为6a。【1.13】ime和cosm对算符did是否为本征函数？若是，求出本征值。解：imimdieied，imimme所以，ime是算符did的本征函数，本征值为m。而cossinsincosdimimmimmcmd所以cosm不是算符did的本征函数。【1.14】证明在一维势箱中运动的粒子的各个波函数互相正交。证：在长度为l的一维势箱中运动的粒子的波函数为：2sinnnxxll01xn=1，2，3，……令n和n’表示不同的量子数，积分：''00'0''''0''''0''''22sinsin2sinsinsinsin222sinsinsinsinllnnlllnxnxxxddxllllnxnxdxlllnnnnxxlllnnnnllnnnnxxllnnnnnnnnnnnnn和'n皆为正整数，因而'nn和'nn皆为正整数，所以积分：'00lnnxxd根据定义，nx和'nx互相正交。【1.15】已知在一维势箱中粒子的归一化波函数为2sinnnxxll1,2,3n式中l是势箱的长度，x是粒子的坐标0xl，求粒子的能量，以及坐标、动量的平均值。解：（1）将能量算符直接作用于波函数，所得常数即为粒子的能量：222n222hd2nπxhd2nπnπxˆHψ(x)-(sin)-(cos)8πmdxll8πmdxlll222(sin)8hnnnxmllll222222222sin()88nhnnxnhxmlllml即：2228nhEml（2）由于ˆˆx()(),xnnxcx无本征值，只能求粒子坐标的平均值：xlxnsinlxlxnsinlxxˆxxl*lnl*nd22dx000xlxncosxldxlxnsinxllld221220022000122sinsind222lllxlnxlnxxxlnlnl2l（3）由于ˆˆp,pxnnxxcx无本征值。按下式计算px的平均值:1*0ˆdxnxnpxpxx1022sinsind2nxihdnxxlldxll20sincosd0lnihnxnxxlll【1.19】若在下一离子中运动的电子可用一维势箱近似表示其运动特征：估计这一势箱的长度1.3lnm，根据能级公式222/8nEnhml估算电子跃迁时所吸收的光的波长，并与实验值510.0nm比较。H3CNCCCCCCCNCH3CH3HHHHHHHCH3解：该离子共有10个电子，当离子处于基态时，这些电子填充在能级最低的前5个型分子轨道上。离子受到光的照射，电子将从低能级跃迁到高能级，跃迁所需要的最低能量即第5和第6两个分子轨道的的能级差。此能级差对应于棘手光谱的最大波长。应用一维势箱粒子的能级表达式即可求出该波长：22222652226511888hchhhEEEmlmlml22318193481189.1095102.9979101.310116.626210506.6mclhkgmsmJsnm实验值为510.0nm，计算值与实验值的相对误差为-0.67%。【1.20】已知封闭的圆环中粒子的能级为：22228nnhEmR0,1,2,3,n式中n为量子数，R是圆环的半径，若将此能级公式近似地用于苯分子中66离域键，取R=140pm，试求其电子从基态跃迁到第一激发态所吸收的光的波长。解：由量子数n可知，n=0为非简并态，|n|≥1都为二重简并态，6个电子填入n=0，1，1等3个轨道，如图1.20所示：014E图1.20苯分子66能级和电子排布22122418hhcEEEmR22223110813498389.11101.40102.9981036.6261021210212mRchkgmmsJsmnm实验表明，苯的紫外光谱中出现β，和共3个吸收带，它们的吸收位置分别为184.0nm，208.0nm和263.0nm，前两者为强吸收，后面一个是弱吸收。由于最低反键轨道能级分裂为三种激发态，这3个吸收带皆源于电子在最高成键轨道和最低反键之间的跃迁。计算结果和实验测定值符合较好。【1.21】函数22/sin(/)32/sin(2/)xaxaaxa是否是一维势箱中粒子的一种可能状态？若是，其能量有无确定值？若有，其值为多少？若无，求其平均值。解：该函数是长度为a的一维势箱中粒子的一种可能状态。因为函数12/sin(/)xaxa和22/sin(2/)xaxa都是一维势箱中粒子的可能状态（本征态），根据量子力学基本假设Ⅳ（态叠加原理），它们的线性组合也是该体系的一种可能状态。因为1223HxHxx1223HxHx22122242388hhxxmama常数x所以，x不是H的本征函数，即其能量无确定值，可按下述步骤计算其平均值。将x归一化：设'x=cx，即：22'22000aaaxdxcxdxcxdx2202222sin3sinaxxcdxaaaa2131c2113cx所代表的状态的能量平均值为：''0aExHxdx222202222sin3sin8amxxhdccaaaadx2222sin3sinxxccdxaaaa2222222233200015292sinsinsinsin2aaachxchxxchxdxdxdxmaamaaamaa222225513chhmama也可先将1x和2x归一化，求出相应的能量，再利用式2iiEcE求出x所代表的状态的能量平均值：222222222224049888hhchEccmamama22401813hma22513hma【2.9】已知氢原子的230001exp42zprraaacos，试回答下列问题：(a)原子轨道能E=?(b)轨道角动量|M|=?轨道磁矩|μ|=?(c)轨道角动量M和z轴的夹角是多少度？(d)列出计算电子离核平均距离的公式（不算出具体的数值）。(e)节面的个数、位置和形状怎么样？(f)概率密度极大值的位置在何处？(g)画出径向分布示意图。解：（a）原子的轨道能：1819212.1810J5.4510J2E（b）轨道角动量：(1)222hhMll轨道磁矩：1ell（c）轨道角动量和z轴的夹角：02cos022zhMhM，90（d）电子离核的平均距离的表达式为：*22ˆzzpprrd2222000sinzprrdrdd（e）令20zp，得：r=0，r=∞，θ=900节面或节点通常不包括r=0和r=∞，故2zp的节面只有一个，即xy平面（当然，坐标原点也包含在xy平面内）。亦可直接令函数的角度