二次函数中三角形面积问题的三种求解方法-王海燕

１７１２０１６年第３期题翠想方法？＋〇ｗｗｗ．ｚｎｏｎｑｓｎｕｃａｎ．ｃｏｍＩ中学数学教学参考（下旬）二：欠函数中三＿圯面酮回题的王海燕（山东省威海市文登区教育教学研究培训中心）原欢春（山东省威海市文登区张家产中学）二次函数中三角形面积问题是代数与几何有机标，即抛物线与ｘ轴的交点Ａ（—１，０）、６（３，０），顶点结合的一个考点，是研究二次函数中其他图形面积的Ｐ（ｌ，一４），如果以ｘ轴上的边为ｑ基础。这类题型对学生来说难度较大，因此在教学底，可以轻而易举地求出ＡＢ＝：ｔｂ—心＼ｌＢ，中，我们要找到合适的解题方法，降低难度，突破难＝３—（一ｉ）＝４，而三角形的高正好是Ａｙ＼ｆｘ点。针对这一问题，笔者以一道例题为例，归纳出二顶点Ｐ到：ｒ轴的距离，即｜外｜＝４，如巧次函数中三角形面积问题的三种基本求解方法，供大图２，再运用三角形的面积公式即可解图２家参考，以求抛砖引玉。决问题。ｕ归纳：在平面直角坐标系中，只要知道特殊三角１例题王现形的三个顶点坐标，即可用公式求面积。通常我们以如图１，已知抛物线：ｙ＝ｚ２＿２；ｃ＿ｙｔ平行于坐标轴的边做底，这样底边长直接用两顶点的３与ｉ轴交于Ａ、Ｂ两点，与：ｙ轴交于＼丨坐标之差求出（若三角形一边平行于ｘ轴，用较大横点Ｃ，Ｐ为顶点。＼〇！＇坐标减较小横坐标；若平行于：ｙ轴，则用较大纵坐标（１）求ＳＡＡＢＰ；减较小纵坐标），三角形的高可以利用第三个顶点的（２）求５６虹；Ｖ坐标直接求出。这种做法可以使计算简便，提高正图１（３）若点Ｍ是第四象限抛物线上确率。一动点，求的最大值；２．２割补法（４）若Ｎ是抛物线上一动点，且ＳＡＢＣＮ＝ＳＡＢＣＰ，（１）割补法的直接应用。求点ｉＶ的坐标。在平面直角坐标系中，当三角形任意一边均不在形，求此类三角形面积通常采用割补法，如例题第２．１公式法（２）问。在平面直角坐标系中，当三角形的某一边在坐标分析：对于此类问题，“割”“补”的方法通常比较轴上或者与坐标轴平行，可称之为特殊三角形，求此多，但都遵循一个原则，即转化为特殊四边形或者特类三角形的面积用面积公式即可，如例题第（１）问。殊三角形面积和差的关系。分析：要求ＳＡＡＢＰ，可先确定出Ａ、Ｂ、Ｐ三点坐“补”的方法，如图３？图６。？ＨＨ－－ｈ－－？—ｆ—？—ｆ－－－－ｆ—ｆ－－－１ＨＫ－－？—？Ｋｈ—＊￣－－１Ｈ－－１？１－－ｆ－￣Ｈｋ－—＊－－－？？－Ｉｆ－－－（１－－建立什么样的数学模型，要根据具体的问题情境来策略，细心分析学生的反馈信息，耐心引导并强化思决定。想方法的领悟。总之，数学建模思想是学生进行数学数学模型思想作为数学学习的一种基本方法，是学习和应用的需要，也是思维和数学方法综合训练的学生完成学习任务和继续深造必备的基本能力。但需要。通过建模解决实际问题，使学生在问题解决的学生对建模思想的领悟不是一蹴而就的，这就需要教过程中体会数学的实际意义，收获成功的喜悦，培养师精心上好每一节课，用心研究基本数学模型的教学学习兴趣，增强学习信心。Ｂｉｓ想方法２〇ｉ６年第３期ｎｒｗｗｗ．ｚｈｏｎｇｓｈｕｃａｎ．ｃｏｎｖ■＿＿＿二鸭数骤学转Ｃ下甸）Ｉ￣Ｉ，１１１３ｍ）＝—音ｍ２＋｜＾，然后借助求二次函数的最值方＼＾ｒ＾ｘ、Ｗ＇法求解。ｃｙｃｄＬＸＪ！ｃＣｌＪ归纳：这道题由已知三定点面积问题演变为二次图３图４图５图６函数为载体的三角形面积最大值问题，表亦三角形面“割”的方法，如图７？图８。积的过程与前面的方法是一致的，仍然可以采用铅垂ｆ法，只不过最后的落脚点为求二次函数的最值问题。＼４．ｙ＼２．３平行法Ｖ－／＼Ｊｂ．建模：已知ＡＡＢＣ，在平面内确定点￡，使＆＾＝ｓＡＡＢＣ，你能找到多少符合要求的点？如何做的？如ｃｙ＾ｓＡＡＳＥ＝２Ｓ＆ＡＢＣ呢？ｍ结论：当同底的两个三角形面积相等或者成倍数通过计算对比，我们不难发现分割法更简单（图关系时，可借助平行线转化，只要过三角形的一个顶７和图８），即转化为两个特殊三角形的面积之和。观点做对边的平行线（或该平行线关于对边对称的平行察图７，求面积缺少Ｄ点坐标，可先确定直线ＢＰ的线），该平行线（或对称平行线）上任何一点与对边组成关系式，再根据Ｄ点的纵坐标求出横坐标，最终得出的三角形与原三角形的面积都相等，如图１〇。若所求结果；同理，图８求面积缺少Ｅ点坐标，可先确定直线三角形与原三角形面积成倍数关系，只需做出相应的ＣＢ的关系式，再根据￡点的横坐标求出纵坐标，最高线，截取相应的倍数后再做平行线即可，如图１１。终得出结果。对于学生而言，已知横坐标求纵坐标从ｃ／Ｊ—Ｔ——计算上要简单一点，因此我们可以把这种分割方法提升一下。经过整理得出Ｓａｐｂｃ＝＾Ｐ￡－ＯＢ，发现它ｆＢ－｝ｈＡＢ的面积只与两条线段有关，即尸、￡：两点之间的铅垂——１ｆｆｌｉＴ＂＂＂＇高度Ｉ抑一外Ｉ和Ｂ、Ｃ两点之间的水平距离例题第（４）问可用此方法求解。｜ｘＢ—：ｒｃ｜，我们把称为铅垂高，０Ｂ称为水平宽，分析：我们发现ＡＢＣｉＶ与１即ｓ＝＿＾＿水平ｆ，这种方法称为铅垂法，其本ＡＢＷ有公共边ＢＣ，要想让面棚＼／ｆｌ，２等，可把ｂｃ作为底，让高相等，借助Ｈ，ｘ质仍然是分割法。平行线转化（图１２），即点Ｎ既在平归纳：在平面直角坐标系中’对于一般三角形，通行线上又在抛物线上，是两线的交，１＾常■分■，只要知３１三＿三个顶点坐标，＿点，频齡出点Ｎ的位置。那么０１２考虑、用铅＃法求面积’如何求交点坐标呢？只要确定出直线Ａ和／２的解析（２）割补法的变式应用。式，分别与抛物线联立方程组可得。可见求直线Ａ麵第（３）问也可用割补法求解。料的解析式是解题的关键。我们易得Ｉｂｃｚｙ＝ｘ—分析：如图通过观察可以发现１３，从而确定Ｚ１：；ｙ＝ｒ５，发现匕是由賴ＢＣ向下平ＡＢＣＭ是一般三角形，可选择铅垂法＼Ｊｂ＞ｘ移两个单位得到的，所以将直线ＢＣ向上平移两个单求面积。Ｂ、Ｃ两点确定１，即水平宽可位即可得到直线＝问题解决。求，而铅垂高随点Ｍ的运动而变化，要以上是笔者在教学实践中对解决以二次函数为想使面积最大，只要让铅垂高最大，那图ｇ背景的三角形面积问题的一点粗浅的看法。数学问么如何求ＭＦ的最大值呢？想到建立函数模型，即设题看似千变万化，但问题之间往往是相互联系的，教出Ｍ（ｍ，：２—２ｍ—３＾求出直线ＳＣ的解析式＞＞＝学中需要我们用心思考和研究，引导学生发现问题之工一３，表示出１＝＇点坐标（切，；《＿３），从而得出］＾＾＝外间的联系和区别，归纳解决问题的方法，才能事半功—：ｙＭ＝—＋３ｍ，因此ＳＡＢＣｍ＝＿＾Ｘ３Ｘ（—ｗ２＋倍，提高课堂效率。