函数奇偶性的六类经典题型

奇偶性类型一：判断奇偶性[例1]判断下列函数奇偶性（1）（且）（2）（3）（4）（5）解：（1）且∴奇函数（2），关于原点对称∴奇函数（3），关于原点对称∴既奇又偶（4）考虑特殊情况验证：；无意义；∴非奇非偶（5）且，关于原点对称∴为偶函数类型二：根据奇偶性求解析式1.函数f(x)在R上为奇函数，且x0时，f(x)＝x＋1，则当x0时，f(x)＝________.解析：∵f(x)为奇函数，x0时，f(x)＝x＋1，∴当x0时，－x0，f(x)＝－f(－x)＝－(－x＋1)，即x0时，f(x)＝－(－x＋1)＝－－x－1.答案：－－x－12.求函数的解析式（1）为R上奇函数，时，，解：时，∴∴（2）为R上偶函数，时，解：时，∴类型三：根据奇偶性求参数1.若函数f(x)=xln（x+2ax）为偶函数，则a=【解题指南】f(x)=xln（x+2ax）为偶函数，即2ln()yxax是奇函数，利用()()0fxfx确定a的值.【解析】由题知2ln()yxax是奇函数，所以22ln()ln()xaxxax=22ln()ln0axxa，解得a=1.答案：1.2.函数f(x)＝x＋1x＋ax3为奇函数，则a＝______.解析：由题意知，g(x)＝(x＋1)(x＋a)为偶函数，∴a＝－1.答案：－13.已知f(x)＝3ax2＋bx－5a＋b是偶函数，且其定义域为[6a－1，a]，则a＋b＝()A.17B．－1C．1D．7解析：选A因为偶函数的定义域关于原点对称，所以6a－1＋a＝0，所以a＝17.又f(x)为偶函数，所以3a(－x)2－bx－5a＋b＝3ax2＋bx－5a＋b，解得b＝0，所以a＋b＝17.4.若函数f(x)＝2x－|x＋a|为偶函数，则实数a＝______.（特殊值法）解析：由题意知，函数f(x)＝2x－|x＋a|为偶函数，则f(1)＝f(－1)，∴1－|1＋a|＝1－|－1＋a|，∴a＝0.答案：05.已知函数f(x)＝x2＋x，x≤0，ax2＋bx，x0为奇函数，则a＋b＝________.（待定系数法）解析：当x0时，－x0，由题意得f(－x)＝－f(x)，所以x2－x＝－ax2－bx，从而a＝－1，b＝1，a＋b＝0.答案：06.（1），为何值时，为奇函数；（2）为何值时，为偶函数。答案：（1）（恒等定理）∴时，奇函数（2）∴（恒等定理）∴∴7.已知定义域为R的函数12()2xxbfxa是奇函数。（Ⅰ）求,ab的值；（特殊值法）（Ⅱ）若对任意的tR，不等式22(2)(2)0fttftk恒成立，求k的取值范围；解析：（Ⅰ）简解：取特殊值法因为()fx是奇函数，所以(0)f=0，即111201()22xxbbfxaa又由f（1）=-f（-1）知111222.41aaa（Ⅱ）由（Ⅰ）知11211()22221xxxfx，易知()fx在(,)上为减函数又因()fx是奇函数，从而不等式：22(2)(2)0fttftk等价于222(2)(2)(2)fttftkfkt，因()fx为减函数，由上式推得：2222ttkt．即对一切tR有：2320ttk，从而判别式14120.3kk类型四：范围问题1.已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x2＋2x，若f(2－a2)＞f(a)，则实数a的取值范围是()A．(－∞，－1)∪(2，＋∞)B．(－1,2)C．(－2,1)D．(－∞，－2)∪(1，＋∞)解析：选C∵f(x)是奇函数，∴当x＜0时，f(x)＝－x2＋2x.作出函数f(x)的大致图象如图中实线所示，结合图象可知f(x)是R上的增函数，由f(2－a2)＞f(a)，得2－a2＞a，解得－2＜a＜1.2.定义在R上的奇函数y＝f(x)在(0，＋∞)上递增，且f12＝0，则满足f(x)0的x的集合为________．解析：由奇函数y＝f(x)在(0，＋∞)上递增，且f12＝0，得函数y＝f(x)在(－∞，0)上递增，且f－12＝0，∴f(x)0时，x12或－12x0.即满足f(x)0的x的集合为x－12x0或x12.答案：x－12x0或x123.已知函数g(x)是R上的奇函数，且当x0时，g(x)＝－ln(1－x)，函数f(x)＝x3，x≤0，gx，x0，若f(2－x2)f(x)，则实数x的取值范围是()A．(－∞，1)∪(2，＋∞)B．(－∞，－2)∪(1，＋∞)C．(1,2)D．(－2,1)解析：选D设x0，则－x0.∵x0时，g(x)＝－ln(1－x)，∴g(－x)＝－ln(1＋x)．又∵g(x)是奇函数，∴g(x)＝ln(1＋x)(x0)，∴f(x)＝x3，x≤0，ln1＋x，x0.其图象如图所示．由图象知，函数f(x)在R上是增函数．∵f(2－x2)f(x)，∴2－x2x，即－2x1.所以实数x的取值范围是(－2,1)．4.定义在R上的奇函数f(x)，当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝log2x，则不等式f(x)＜－1的解集是__________．x0x12，或x－2解析：当x＜0时，－x＞0，∴f(x)＝－f(－x)＝－log2(－x)，∴f(x)＝log2x，x0，0，x＝0，－log2(－x)，x0.∴f(x)＜－1x0，log2x－1或x＝0，0－1或x0，－log2(－x)－10＜x＜12或x＜－2.5.已知f(x)是奇函数，且当x＜0时，f(x)＝x2＋3x＋2.若当x∈[1，3]时，n≤f(x)≤m恒成立，则m－n的最小值为()A.94B．2C.34D．14解析：选A.设x＞0，则－x＜0，所以f(x)＝－f(－x)＝－[(－x)2＋3(－x)＋2]＝－x2＋3x－2.所以在[1，3]上，当x＝32时，f(x)max＝14；当x＝3时，f(x)min＝－2.所以m≥14且n≤－2.故m－n≥94.6.已知f(x)是定义在[－2,2]上的奇函数，且当x∈(0,2]时，f(x)＝2x－1，又已知函数g(x)＝x2－2x＋m.如果对于任意的x1∈[－2,2]，都存在x2∈[－2,2]，使得g(x2)＝f(x1)，那么实数m的取值范围是____________．解析由题意知，当x∈[－2,2]时，f(x)的值域为[－3,3]．因为对任意的x1∈[－2,2]，都存在x2∈[－2,2]，使得g(x2)＝f(x1)，所以此时g(x2)的值域要包含[－3,3]．又因为g(x)max＝g(－2)，g(x)min＝g(1)，所以g(1)≤－3且g(－2)≥3，解得－5≤m≤－2.类型五：奇偶性+周期性1.f(x)是定义在R上的奇函数，满足f(x＋2)＝f(x)，当x∈(0,1)时，f(x)＝2x－2，则f(12log6)的值等于()．A．－43B．－72C.12D．－12解析：f(12log6)＝－f(－12log6)＝－f(log26)＝－f(log26－2)＝－(2log26－2－2)＝－64－2＝12，故选C.2.定义在R上的偶函数f(x)满足对任意x∈R，都有f(x＋8)＝f(x)＋f(4)，且x∈[0,4]时，f(x)＝4－x，则f(2011)的值为__________．解析：f(4)＝0，∴f(x＋8)＝f(x)，∴T＝8，∴f(2011)＝f(3)＝4－3＝1.类型六：求值1.已知函数f(x)是定义在(－2,2)上的奇函数，当x∈(0,2)时，f(x)＝2x－1，则flog213的值为()A．－2B．－23C．2D.32－1解析：当x∈(－2,0)时，－x∈(0,2)，又∵当x∈(0,2)时，f(x)＝2x－1，∴f(－x)＝2－x－1，又因为函数f(x)是定义在(－2,2)上的奇函数，∴f(－x)＝－f(x)＝2－x－1，∴x∈(－2,0)时，f(x)＝1－12x.∵－2＜log213＜0，∴f(log213)＝1－21312log＝－2.故选A.答案：A2.已知f(x)为奇函数，g(x)＝f(x)＋9，g(－2)＝3，则f(2)＝__________.解析：根据已知g(－2)＝f(－2)＋9，即3＝－f(2)＋9，即f(2)＝6.答案：63.设f(x)是定义在R上的奇函数，当x0时，f(x)＝x＋ex(e为自然对数的底数)，则f(ln6)的值为________．由f(x)是奇函数得f(ln6)＝－f(－ln6)＝－(－ln6)－e－ln6＝ln6－16.答案：ln6－164.已知函数22sin1()()1xxfxxxR存在最大值M和最小值N,则M＋N的值为__________．5.设函数21()ln(1)3,[,](0)2xfxxexxttt，若函数()fx的最大值是M，最小值是m，则Mm________.分析：本题是一道自编题，学生不假思索就会想到对()fx求导.事实上，理科学生，求导得'()ln(1)1xxxxefxexe，无法找到极值点，而文科学生不会对这个函数求导.因此，须从考察函数()fx的性质下手，事实上，令21()ln(1)2xgxxex，易求得()()gxgx，所以()gx是奇函数，所以()gx的最大值与最小值之和是0，从而()fx的最大值与最小值之和是6.答案是：6.6.已知定义域为R的函数2cos3sin()2cosaaxxfxx（a、b∈R）有最大值和最小值，且最大值与最小值的和为6，则aA.1B.2C.3D.4【答案】C【解析】试题分析：由已知xxaxfcos2sin3)(，注意到xxxgcos2sin3)(是奇函数，0)()(minmaxxgxg，所以62)()()()(minmaxminmaxaxgaxgaxfxf，所以3a.