高量1-矢量空间

1高等量子力学教学时数：4×18=72学时使用对象：硕士研究生使用教材：喀兴林主编《高等量子力学》2第一章希尔伯特空间§1矢量空间§1.1定义考虑无穷多个同类的数学对象的集合如果它们之间满足一定的运算要求，则其构成一个矢量空间。},,,{▲加法运算集合中任意两个矢量相加都能得到集合中的另一个矢量，即一、矢量空间中矢量的运算3加法规则视不同对象可以不同。但一定要满足下列四个条件1.交换律2.结合律)()(3.单位元存在4.逆元存在OOO为零矢量并把记为)(4▲数乘运算集合内任一矢量可以与数（实数或复数）相乘，得出集合内的另一矢量。aa（一般把数写在矢量后面）数乘满足下列四个条件1.单位元12.结合律)()(abba3.第一分配律baba)(4.第二分配律aaa)(5▲内积运算两个矢量可以作内积得出一个数，记作C),(在实数域（复数域）上的矢量，其内积是实数（复数）。内积与两个因子的次序有关。内积规则要满足下列四个条件1.复共轭*),(),(2.分配律),(),(),(3.因子结合律aa),(),(4.自内积0),(对任意有若0),(O6▲内积空间的完全性如果对给定任意小的实数,有数N存在。当时，有0Nnm,),(nmnm00),(,,利用了可以无限接近增大，即随着nmnm那么可以定义空间的完全性：我们把具有加法和数乘两种运算并满足各自条件的矢量集合称为矢量空间或线性空间。具有加法、数乘和内积三种运算的空间称为内积空间。7这样完全的内积空间是指在Cauchy意义下，内积空间中的序列的极限也在内积空间中。n,,21完全的内积空间称为希尔伯特(Hilbert)空间。本章中，矢量空间通常指在复数域上的内积空间。空间中任意在Cauchy意义下收敛的序列的极限也必须在此空间中。},,{21﹟8二、矢量空间的简单性质1.零矢量是唯一的[证明]设空间中有二零矢量O1，O2，则21,OO将第一式中，第二式中，则2O1O211122,OOOOOO利用加法交换律，有121122OOOOOO所以零矢量是唯一的。9这样21)(故逆元是唯一的。011)(2121)(22O2.每个矢量的逆元是唯一的[证明]设中有两个逆元，则有21,OO21,3.O04.)1(5.OOa10)(),(),(.8注意数和矢量的写法),(),(.7*aa0),(.9O6.若，那么或O0aOa[证明]当时显然成立；0a当时，必有0aaa/11因为OOaaa11)((由5知)而且（数乘结合律，单位元）1)()(11aaaa所以O故若O0aOa或11三、矢量空间举例1.有理数域上的矢量空间数学对象为所有正负有理数和零因为有理数相加和相乘都是有理数，故这个空间是封闭的所得结果仍在此空间中。加法：算术中的加法数乘：a为有理数的乘法内积：因子是算术乘积但注意以下序列niniSSSS0210!1,,!21!111,!111,1所以，有理数域的空间并非完全的内积空间。每项都在上述空间中。但当时，这是一个无理数，不在有理数空间内。n7182818.2eSn122.位置矢量空间数学对象为3D位形空间中由一点引出的不同方向，不同长短的线段的全体。规定（1）加法：平行四边形法则（2）数乘：方向不变，长度乘以a（3）内积：两矢量点乘积这是一个实数域上的内积空间。3.复矩阵数学对象为一组有次序的复数。如四个数写成列阵4321lllll13定义加法、数乘和内积分别为44332211mlmlmlmlmlalalalalla43214*43*32*21*1),(mlmlmlmlml这是一个复数域上的内积空间。144.复函数这样的函数全体构成一个内积空间---函数空间。不同的函数都是此空间中的矢量。数学对象为在区间定义的实变量x的“行为较好”的复函数f(x)的全体,而且都是平方可积的。bxa定义加法和数乘都是代数中的相应运算。规定两个函数f(x),g(x)的内积为baxxgxfxgxfd)()()(),(*15§1.2正交性和模一、正交归一性1.正交：2.模方：矢量同它自己的内积是一个大于0的实数，称为矢量的模方。记作),(2||),(模方的正平方根称为模，记作，又称作矢量的长度。||若干矢量和的内积满足关系则称矢量和正交。0),(3.归一化矢量：模等于1的矢量称为归一化矢量。16即有1.Schwartz不等式二、与模有关的基本关系对于任意矢量和，有|||||),(|2||),([证]给定和后，构造一个矢量作的模方，则0||2),(0),(||||),(),(22*),(||),(||),(),(||2*2217),(||),(||),(),(||),(02*22),(||||),(),(22*因为0||2（等于0是不允许的，为什么？）所以有222|||||),(|即|||||),(|得证。182.三角形不等式||||||对于任意矢量和，有[证]因为对任意复数a，有||Reaa取，利用上述关系和Schwartz不等式，有2||22||),Re(2||),(22|||),(|2||22||||||2||所以22|)||(|||即||||||得证。19只要有一组不全为0的复数{ai}存在使得上式成立，则这一组矢量线性相关。意义：任一线性相关的非零矢量都可以表为其余矢量的线性叠加。1.线性无关矢量空间中有限个矢量的集合，若式只有当复数全为零时才成立，则矢量是线性无关的。niiia10iiia§1.3基矢（1）定义：20对无穷个矢量集合，若任意有限的子集合都是线性无关的，则整个集合就是线性无关的。（2）完全集一个矢量空间中的一组完全集，是一个线性无关的矢量集合，比如iiia其中是一组复数。ia),,3,2,1(}{nii如果一个空间中有一个线性无关的矢量集},,,,{321n但还不是完全集。这个空间中的每一个矢量都能写成形式21},,,,{321n现在将一个不能表为其线性叠加的一个矢量加进去，此集合变为1n},,,,,{1321nn11niiia看任意矢量能否写成否则，继续在集合中增加线性无关矢量，直到上述条件满足。如能写成，则上述个矢量构成完全集。)1(n如能做到这一点，则此矢量空间是有限维的。否则就是无穷维的。22（3）有限维空间中的维数定理定理：在有限维空间内各种不同的完全集中所含矢量的数目是相同的。[证明]（反证法）假设一矢量空间中有两组数目不同的完全集},,,,{321nn个},,,,{321mm个将加入到中，成为1}{i},,,,,{3211n因为已经是线性无关的，故此集合必然是}{i线性相关的。所以有iiic123既然集合是线性相关的，必然存在这样一个问题：},,,,,{3211n}{1线性无关},{11线性无关},,{211线性无关每次增加一个，一开始它们是线性无关的。必然有一个数，在加入之后，集合开始为线性相关了，即)1(niii},,,,{1211i线性无关},,,,,{1211ii线性相关24},,,,,{1211ii线性相关},,,,,{11211ii现在把去掉，加入，使集合成为i1i问题：此集合中的矢量是线性相关还是线性无关？线性相关？1i能表成的线性叠加1211,,,,i但iiic1从而可推出iiiic1这与是完全集相矛盾。}{所以是线性无关的。},,,,,{11211ii同理也是线性无关的。},,,,,,,,{211211niii25下一个问题：集合是否完全的？},,,,,,,,{211211niii已经知道，空间中的任矢量可表成的线性叠加，但又能表为的叠加，},,,,,{21ni},,,,{1211ii故此矢量肯定可表成的线性叠加},,,,,,,,{211211niii所以说集合是完全的。},,,,,,,,{211211niii至此，我们证明了在完全集中加入一个必能顶掉某一个，而仍能保持为完全集，而且只能顶掉一个。不能再多，否则就不完全了。}{126现在我们在新的完全集中加入一个，又顶掉某一个。},,,,,,,,{211211niii2想一下，如果少多，即，会出现什么情况？nm全部用完后，仍有部分未被顶掉。换句话说，要加入一些才是完全集。}{这与本身就是完全集相矛盾。}{所以是不可能的。nm27故只有一种可能如果多少，即，那么把全部顶掉后还有一些没有用到，这就是说中的一部分就是完全集，也与是完全集相矛盾。nm}{}{nm也是不可能的。nm所以所以，每一个有限维矢量空间中各种不同完全集所包含矢量的数目是相同的。这个数目称为矢量空间的维数。﹟28njiijji,,3,2,1,,),(2.基矢（1）概念一个矢量空间中可以有多组完全集，而正交归一的完全集称为这个空间的一组基矢。显然，一个空间能有不同的多组基矢。n维空间的一组基矢的正交归一性可以写为},,,{21n如何构造或寻找一组基矢？29（2）寻找基矢的方法---Schmidt正交化方法一个矢量空间，只要知道它的一个完全集，总可以找到一组基矢。},,,{21n设n维空间有一组不满足正交归一条件的完全集，现在求此空间的一组基矢},,,{21n1）首先取为归一化了的：11||1112）取，选择常数使与正交即12122'a2'112a30122121),()',(0a由此得),('),,(211222112a取为归一化了的：22'|'|'222这样是正交归一的，可以用来代替。21,21,3）取，选择常数使与都正交，同样可得23213133'aa3'21,2313,aa),(),('32231133归一化了的为3|'|'33331|'|'111mmmmimiimm1111),('4）如此继续下去，若已找到m个，即)(,,,21nmm则为1'm而归一化了的为1m5）最后总可以找到一组基矢},,,{21n﹟32（3）关于基矢的重要定理---完全性定理如果是矢量空间中一组n个正交归一的矢量，则下面的四个命题是互为等价的：),2,1(}{nii1）是空间的一组基，即空间是n维的；}{i2）对空间的一切矢量成立；niii1),(3）对空间的一切矢量成立，此式称为