一维谐振子的本征值问题

1一维谐振子的本征值问题姜罗罗赣南师范学院物理与电子信息科学系物理学专业2000级（2）班摘要：一维谐振子的本征值问题属于定态问题。本文首先给出了一维谐振子本征值问题的Heisenberg矩阵力学解法，Dirac算子代数解法和Schrödinger波动力学解法。在此基础上，给出了一维半壁谐振子势阱（垒）问题的解法。然后讨论了相干态和压缩态，它们是非经典量子效应，在超标准量子极限的高精度光学测量、超低噪光通信及量子通信领域有着广泛的应用前景，是物理学研究前沿课题之一。最后从Dirac算子代数中求解出aˆ的本征态即谐振子的相干态，并由降算符aˆ与升算符aˆ、光子数n与相位的最小不确定关系得出相干态和压缩态。关键词：量子力学、一维谐振子、Heisenberg矩阵力学、算子代数解法、Schrödinger波动力学、一维半壁谐振子势阱（垒）、相干态、压缩态。在量子力学中谐振子不仅是说明量子力学基本原理和方法的一个很好的例子，而且任何体系在平衡位置附近的小振动，例如:分子的振动，原子核辐射场及其他玻色场的振动等，在选择恰当的坐标后，常常可以分解为若干彼此独立的一维谐振子振动]1[.1925年Heisenberg发现矩阵力学，1926年Schrödinger创立波动力学，同时，Dirac创立在数学上更为一般的理论.可包括矩阵及波动两种形式]2[.一维谐振子的能力本征值问题，在历史上首先为Heisenberg的矩阵力学解决，后来用算子代数的方法给出了极漂亮的解，一2般的教材只给定了波动力学的解法]3[.自1963年，Glauber]4[等人提出谐振子相干态以后，相干态和压缩态以其特有的最小不确定性和超完备性备受人们的关注，被广泛应用于量子光学等领域]135[。一维谐振子的本征值问题属于定态问题。本文首先给出了一维谐振子本征值问题的Heisenberg矩阵力学解法，Dirac算子代数解法和Schrödinger波动力学解法。在此基础上，给出了一维半壁谐振子势阱（垒）问题的解法。然后讨论了相干态和压缩态，它们是非经典量子效应，在超标准量子极限的高精度光学测量、超低噪光通信及量子通信领域有着广泛的应用前景，是物理学研究前沿课题之一。最后从Dirac算子代数中求解出aˆ的本征态即谐振子的相干态，并由降算符aˆ与升算符aˆ、光子数n与相位的最小不确定关系得出相干态和压缩态。1.矩阵力学解法取自然平衡位置为坐标原点，并选原点为势能零点，则一维谐振子势V可表成221kxVx（１）k为刻画简谐作用力强度的参数.设谐振子质量为，令k（２）它是经典谐振子的自然频率，则一维谐振子的Hamilton量可表为图１．一维谐振子势222ˆ212ˆˆxpH(3)在能量Hˆ表象中，由于3]ˆ),ˆ([ˆ)ˆ(pxfixxf(4a)]ˆ),ˆ([ˆ)ˆ(xpfixpf(4b)因此有]ˆˆˆˆ[ˆˆˆ2HPPHixxH(5a)]ˆˆˆˆ[ˆˆˆHXXHippH(5b)取Hˆ表象的矩阵元ij，由于ijijijEH(6)故有ijjiijpEEixˆ)(ˆ2(7a)ijjiijxEEipˆ)(ˆ(7b)由于Hˆ矩阵的对角性，(7a)，(7b)两式中的矩阵乘法的取和消失了。且只是ij和ijp两个未知量的方程，与x，p的其它矩阵元无关，这是谐振子特性的体现，从而使得求解矩阵元大为简化。得jiEE(8)则有)(iEi，...2,1,0i10(9)不为零的矩阵元为)(1,1,ijijijijpp(10a)4)(ˆˆ1,1,ijijijijxx(10b)由(6)式得)(2,121,ippiiii(11)此式的解为211,icpii(12)由(10b)式可知0i，为满足此条件应有00,1p即0211c得21(13)则)21(iEi，i=1，2…(14)2.Dirac算符算子代数解法2.1求解一维谐振子能量本征值由(3)式，采用自然单位1，则)(2122pxH(15)因此H具有相空中的旋转不变性，令)ˆˆ(21)ˆˆ(21ˆxddxpixa(16a))ˆˆ(21)ˆˆ(21ˆxddxpixa(16b)利用ipx]ˆ,ˆ[，容易得51]ˆ,ˆ[]ˆ,ˆ[pxiaa(17)对H进行因式分解21ˆ)21ˆˆ(]1)ˆˆ)(ˆˆ[(21ˆNaaxxddxxddH(18)式中aaNˆˆˆ(19)则[Hˆ，Nˆ]=0(20)因为0ˆˆˆˆ2aaaN(21)NaaaaNˆˆˆ)ˆˆ(ˆ(22)所以Nˆ为正定Hermite算符，Hˆ亦为正定Hermite算符设nnnNˆ(23)n为正数，n表示Nˆ的一个本征态，由(17)(18)式得aaNˆ]ˆ,ˆ[(24a)aaNˆ]ˆ,ˆ[(24b)nannNaaNnaNˆ)1()ˆˆ]ˆ,ˆ([ˆˆ(25a)nannNaaNnaNˆ)1()ˆˆ]ˆ,ˆ([ˆ(25b)因此可知，若n为Nˆ的本征态，且本征值为n，则naˆ与naˆ也是Nˆ的本征态，6且本征值为n-1，n+1。由(25a)式可知naˆ是Nˆ的本征态，从Nˆ的某个本征态n出发，逐次用降算符aˆ运算可得Nˆ的一系列本征态，n，naˆ，2ˆan，…(26)相应的本征值为n，n-1，n-2，…(27)因为Nˆ为正定Hermite算符，它的所有本征值必须0。设Nˆ的最小本征值为0n，本征态为0n。故它的必须满足0ˆ0na(28)由此可得0ˆˆˆ00naanN(29)即0n是Nˆ的本征值，对应本征值为0n=0，因此0n可记为0。由(25b)式可知，naˆ也是Nˆ的本征态，从Nˆ的最小本征值0n=0对应的本征态0出发，逐次运用算符aˆ可得Nˆ的全部本征态0，aˆ0，2)ˆ(a0，…(30)相应本征值为0，1，2，…(31)可以得Nˆ的归一化本征态0)ˆ(!1nann(32)7它是Hˆ的本征态0ˆnEnH(33)21nEn，n=0，1，2…(34)添上能量单位，)21(nEn，n=0，1，2….(35)2.2求解波函数由(28)式aˆ0=0即00)ˆˆ(21px得，0)()ˆˆ(210xxddx，(36)解得20022)(xeNx(37)由归一化条件1)(2dxxn得，210)2(N(38)由(32)式得0)ˆ(!1nann，即)()ˆ(!1)(0xanxnn=22122)()!2(xnnedxdxnn(39)令x，则(36)式可写成:22122)()!2()(xnnneddnn=22)(eHNnn(40)8nN=21)!2(nnn(41)22)()1()(eddeHnnn(42)易得)(xn=n)1()(xn，即n的奇偶性决定谐振子波函数的奇偶性。2.3Hermite多项式的递推关系1)ˆˆ(21ˆnnnxddxna(43)11)ˆˆ(21ˆnnnxddxna(44)因此211222)()()(21eHNneHNddnnnn(45)211222)(1)()(21eHNneHNddnnnn(46)由(45)(46)两式得12121nnnnn(47)即2112112222)(2)(21)(eHNneHNneHNnnnnnn=212122)(22)()1(221eHNnneHnNnnnnn得)(2)()(211nnnnHHH(48)由(43)得22)()(21eHNddnn=22)(21eHNddnn9=2112)(eHNnnn(49)而nNNnn21(50)由(49)(50)两式得)(2)(1nnnHHdd(51)2.4相干态与压缩态2.4.1相干态由(24)式aaNˆ]ˆ,ˆ[0。Nˆ，aˆ不对易。又由(43)式1ˆnnna，所以除n=0以外，一般n不是Nˆ的本征态。而且设Nˆ的本征态为则必须包含所有的n。设nCnn)(0(52)满足方程aˆ(53)为本征值，利用式(43)，得nCnn0=nCann0=10nnCnn(54)10即得100nnCnCnnnn(55)以1n左乘上式，得11100nnnCnnCnnnn(56)利用正交归一条件nnnn，得1nnCnC(57)依次递推，即得0!CnCnn(58)0C为归一化常数，归一化条件为20nnC=nnnnC0220!=1(59)由于20!ennnn(60)所以2120iCee(61)通常可以取0C为正实数，即取=0，这时=nCnn0=nnen0221!211(62)此即为谐振子的相干态。在光学中，光子的产生和湮灭算符满足玻色对易关系1]ˆ,ˆ[aa，(63)21ˆˆaa(64)引入正交振幅分量算符aaXˆˆˆ(65a)aaXˆˆˆ(65b)Xˆ和Xˆ分别对应于电磁场的正交振幅和相位分量，其不确定性为iXX2]ˆ,ˆ[(66)1ˆˆXX(67)这种由Heisenberg不确定性所限定的正交分量起伏称之为电磁场的量子噪声。当1ˆˆXX时是最小测不准态，量值XXˆˆ时，该态称为相干态。理想的无量子噪声的经典光波在相空间中是一个点，它给出的迹是一个理想正弦电场，没有任何不确定性，而相干态在x-p相空间起伏范围是以相位矢量末端为圆心的一个圆。起伏圆中的点(x，p)描绘出电场具有不依赖于时间12的起伏。2.4.2压缩态电磁场另外两个共扼参量，光子数n和相位满足以下不确定性关系:1n(68)相干光的光子数起伏的平方等于平均光子数nn(69)若nn则为强度压缩态，若n1则为相位压缩态。对于相干态，由于量子起伏的无规性，其强度差噪声与强度的噪声相等，即)()(2121IIII(70)对于具有强度量子关联的生光束，若有)(21II)(21II(71)则称为强度差压缩。以上三种压缩性质完全不同，但又相互联系，从不同角度反映电磁场的非经典性。3.波动方程解法由(3)式，Schrödinger方程为)()()212(22222xExxdxd(72)为简单起见，引进无量纲参数13x，，(73)E2。(74)则方程(72)变成0)(222dd(75)严格的谐振子势是一个无限深阱(如图1)粒子只存在束缚态，即0)(,x(76)任何有限的都是微分方程的常点，而是方程的非正则奇点，当x时，方程(72)可近似表成0222dd(77)此时，波函数的渐近行为是]21exp[2(78)其中]21exp[2不满足边条件(76)式，弃之，因此令方程的一般解为)(]21exp[2u(79)代入(75)式得0)1(22uddudud(80)此即Hermite方程。由于0是方程(75)的常点，在0的邻域()把展成Tailor级数，可以证明，只有当n21，n=0，1，2，…14(81)时，方程(80)才有一个多项式解(Hermite多项式)。只有这样的解代入式(79)，才能保证满足的边条件(76)，因此只有条件(81)满足时，