非常全面的《概率论与数理统计》复习材料

《概率论与数理统计》复习大纲第一章随机事件与概率基本概念随机试验E----指试验可在相同条件下重复进行，试验的结果具有多种可能性（每次试验有且仅有一个结果出现，且事先知道试验可能出现的一切结果，但不能预知每次试验的确切结果。样本点---随机试验E的每一个可能出现的结果样本空间----随机试验E的样本点的全体随机事件-----由样本空间中的若干个样本点组成的集合，即随机事件是样本空间的一个子集。必然事件---每次试验中必定发生的事件。不可能事件--每次试验中一定不发生的事件。事件之间的关系包含AB相等A=B对立事件，也称A的逆事件互斥事件AB=也称不相容事件A，B相互独立P(AB)=P(A)P(B)例1事件A，B互为对立事件等价于（D）A、A，B互不相容B、A，B相互独立C、A∪B＝ΩD、A，B构成对样本空间的一个剖分例2设P(A)=0，B为任一事件，则（C）A、A=B、ABC、A与B相互独立D、A与B互不相容事件之间的运算事件的交AB或A∩B例1设事件A、B满足A∩B¯=，由此推导不出(D)A、ABB、A¯B¯C、A∪B=BD、A∩B=B例2若事件B与A满足B–A=B，则一定有(B)A、A=B、AB=C、AB¯=D、B=A¯事件的并A∪B事件的差A-B注意：A-B=AB‾=A-AB=(A∪B)-BA1,A2,…,An构成的一个完备事件组(或分斥)指A1,A2,…,An两两互不相容，且∪i=1nAi=运算法则交换律A∪B=B∪AA∩B=B∩A结合律(A∪B)∪C=A∪(B∪C)(A∩B)∩C=A∩(B∩C)分配律(A∪B)∩C=(AC)∪(BC)(A∩B)∪C=(A∪C)∩(B∪C)对偶律A∪B‾‾=A‾∩B‾A∩B‾‾=A‾∪B‾文氏图事件与集合论的对应关系表记号概率论集合论样本空间，必然事件全集不可能事件空集基本事件元素A事件全集中的一个子集A‾A的对立事件A的补集AB事件A发生导致事件B发生A是B的子集A=B事件A与事件B相等A与B相等A∪B事件A与事件B至少有一个发生A与B的并集AB事件A与事件B同时发生A与B的交集A-B事件A发生但事件B不发生A与B的差集AB=事件A与事件B互不相容（互斥）A与B没有相同的元素古典概型古典概型的前提是={1,2,3,…,n,},n为有限正整数，且每个样本点i出现的可能性相等。例1设3个球任意投到四个杯中去，问杯中球的个数最多为1个的事件A1，最多为2个的事件A2的概率。[解]：每个球有4种放入法，3个球共有43种放入法，所以||=43=64。(1)当杯中球的个数最多为1个时，相当于四个杯中取3个杯子，每个杯子恰有一个球，所以|A1|=C433！=24；则P(A1)=24/64=3/8.(2)当杯中球的个数最多为2个时，相当于四个杯中有1个杯子恰有2个球(C41C32)，另有一个杯子恰有1个球(C31C11)，所以|A2|=C41C32C31C11=36；则P(A2)=36/64=9/16例2从1,2,…,9，这九个数中任取三个数，求：(1)三数之和为10的概率p1；(2)三数之积为21的倍数的概率p2。[解]：p1=4C93=121,p2=C31C51+C32C93=314P(A)=A包含样本总个数样本点总数=|A|||几何概型前提是如果在某一区域任取一点，而所取的点落在中任意两个度量相等的子区域的可能性是一样的。若A，则P(A)=A的度量的度量例1把长度为a的棒任意折成三段，求它们可以构成一个三角形的概率。[解]：设折得的三段长度分别为x,y和a-x-y，那么，样本空间，S={(x,y)|0xa,0ya,0a-x-ya}。而随机事件A：”三段构成三角形”相应的区域G应满足两边之和大于第三边的原则，得到联立方程组，a-x-yx+yxa-x-y+yya-x-y+x解得0xa2,0ya2,a2x+ya。即G={(x,y)|0xa2,0ya2,a2x+ya}由图中计算面积之比，可得到相应的几何概率P(A)=1/4。古典概型基本性质(1)非负性，对于任一个事件A，有P(A)0;(2)规范性:P()=1或P()=0;(3)有限可加性：对两两互斥事件A1,A2,…,An有P(A1∪A2∪…∪An)=P(A1)+P(A2)+…+P(An)概率的公理化定义要求函数P(A)满足以下公理：(1)非负性，有P(A)0;(2)规范性:P()=1;(3)可列可加性：对两两互斥事件A1,A2,…,An有P(A1∪A2∪…∪An)=P(A1)+P(A2)+…+P(An)概率公式求逆公式P(A‾)=1-P(A)加法公式P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB)P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(AC)-P(BC)+P(ABC)求差公式：P(A-B)=P(A)-P(AB);当AB时，有P(A-B)=P(A)-P(B)注意：A-B=AB‾=A-AB=(A∪B)-B概率公式条件概率公式：P(A|B)=P(AB)P(B);(P(B)0)P(A|B)表示事件B发生的条件下，事件A发生的概率。乘法公式：P(AB)=P(A)P(B|A)=P(B)P(A|B)(其中P(A)0,P(B)0)一般有P(ABC)=P(A)P(B|A)P(C|AB)(其中P(AB)0)全概率公式：P(B)=i=1nP(B|Ai)P(Ai)其中A1,A2,…,An构成的一个分斥。贝叶斯公式：P(Ak|B)=P(B|Ak)P(Ak)P(B)=P(B|Ak)P(Ak)i=1nP(B|Ai)P(Ai)应用题例1设两两相互独立的三个事件A,B和C满足条件：ABC=，P(A)=P(B)=P(C)1/2,且已知P(A∪B∪C)=9/16，则P(A)=。[解]:P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C)-[P(AB)+P(AC)+P(BC)]+P(ABC),令P(A)=x,则3x–3x2=9/1616x2-16x+3=0x=1/4或3/4(舍去)则P(A)=1/4例2某射击队共有20个射手，其中一级射手4人，二级射手8人，三级射手7人，四级射手1人，一、二、三、四级射手能够进入正式比赛的概率分别是0.9、0.7、0.5和0.2，求任选一名选手能进入正式比赛的概率。[解]:设Ak=选中第k级选手,k=1,2,3,4，B=进入正式比赛。由已知P(A1)=1/5,P(A2)=2/5,P(A3)=7/20,P(A4)=1/20;P(B|A1)=0.9,P(B|A2)=0.7,P(B|A3)=0.5,P(B|A4)=0.2.P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)+P(A3)P(B|A3)+P(A4)P(B|A4)=1/50.9+2/50.7+7/200.5+1/200.2=0.645例3某物品成箱出售，每箱20件，假设各箱中含0、1件次品的概率分别为0.8和0.2，一顾客在购买时，他可以开箱，从箱中任取三件检查，当这三件都是合格品时，顾客才买下该箱物品，否则退货。试求：（1）顾客买下该箱的概率；（2）顾客买下该箱物品，问该箱确无次品的概率。[解]:设事件A0—箱中0件次品,A1—箱中1件次品，事件B—买下该箱。由已知P(A0)=0.8,P(A1)=0.2,P(B|A0)=1,P(B|A1)=19/2018/1917/18=17/20,(1)=P(B)=P(A0)P(B|A0)+P(A1)P(B|A1)=0.81+0.27/20=0.97;(2)=P(A0|B)=P(A0B)/P(B)=P(A0)P(B|A0)/P(B)=0.8/0.97=0.8247事件的独立性如果事件A与事件B满足P(AB)=P(A)P(B)，则称事件A与事件B相互独立。结论：1.如果P(A)0，则事件A与B独立P(B|A)=P(B)2.事件A与事件B独立事件A与事件B‾独立事件A‾与事件B独立事件A‾与事件B‾独立事件A1,A2,…,An相互独立---指任意k个事件Ai1,Ai2,…,Aik满足P(Ai1∩Ai2∩…∩Aik)=P(Ai1)P(Ai2)…P(Aik)，其中k=2,3,…,n。可靠性元件的可靠性P(A)=r系统的可靠性：串联方式P(A1∩A2∩…∩An)=rn并联方式P(A1∪A2∪…∪An)=1-(1-r)n,贝努里概型指在相同条件下进行n次试验；每次试验的结果有且仅有两种A与A‾；各次试验是相互独立；每次试验的结果发生的概率相同P(A)=p,P(A‾)=1-p。二项概率---在n重独立试验中，事件A恰好发生k次的概率为b(k;n,p)，则b(k;n,p)=Cnkpk(1-p)n-k(k=0,1,2,3,…,n)。第二章随机变量与概率分布随机变量的分布函数分布函数定义：F(x)=P{≤x},-x+分布函数(x)实质上表示随机事件P{≤x}发生的概率。分布函数F(x)的性质(1)0≤F(x)≤1;(2)limx-F(x)=0,limx+F(x)=1(3)单调非减，当x1x2时，F(x1)≤F(x2)(4)右连续limxx0+F(x)=F(x0)一些概率可用分布函数来表示P{a≤b}=F(b)-F(a),P{=a}=F(a)-F(a-0),P{a}=F(a-0),P{a}=1-F(a),P{≥a}=1-F(a-0),例1.设随机变量的分布函数为F(x)=0x0sinx0x/21x/2,则P{≤/4}=()(选C，因为P{≤/4}=F(/4)=sin/4)A、0B、1/2C、2/2D、1例2.设随机变量1和2的分布函数分别为F1(x)和F2(x)，为使F(x)=aF1(x)-bF2(x)是某随机变量的分布函数，则在下列给定的各组数值中应取()A、a=3/5,b=-2/5B、a=3/5,b=2/5C、a=3/5,b=-3/5D、a=2/5,b=2/5(选A，因为F(+∞)=1=aF1(+∞)-bF2(+∞)=a-b)例3.连续型随机变量的分布函数为F(x)=A+Barctanx,-∞x∞求：(1)常数A,B；(2)落入（-1，1）的概率。[解]：因为F(+∞)=1,F(-∞)=0，所以A+B/2=1，A-B/2=0，解得A=1/2,B=1/.即F(x)=12+1arctanx.落入（-1，1）的概率为P{-11}=F(1)-F(-1)=12+1arctan1–(12+1arctan(-1))=14+14=12离散型随机变量定义：随机变量只能取有限个或可数个孤立的值离散型随机变量的概率分布简称为分布列：[]Xx1x2x3…..xn….概率p1p2p3…..pn….其中每一个pi≥0且i=1pi=1离散型随机变量的分布函数是非降的阶梯函数。离散型随机变量常见分布：1)两点分布X~(0,1)；X的取值只有0或1，其概率为P{X=0}=p,P{X=1}=1-p2)二项分布X~B(n,p)；分布律为b(k;n,p)=P{X=k}=Cnkpk(1-p)n-k(k=0,1,2,3,…,n)其中0p13)泊松分布X~P()；分布律为P{X=k}=kk!e-(k=0,1,2,3,…)。4)几何分布：X~Ge(p)；分布列为P{X=k}=(1-p)k-1p(k=0,1,2,3,…)。在伯努利试验序列中，记每次试验中事件A发生的概率为p，如果X为事件A首次出现时的试验次数，则X的可能取值为1,2,…,称X服从几何分布。5)超几何分布：X~h(n,N,M)；分布列为P{X=k}=CMkCN-Mn-kCNn(k=0,1,2,3,…,r,其中r=min{M,n})。设有N个产品，其中有M个不合格品，若从中不放回地随机抽取n个，则其中含有的不合格品个数X服从超几何分布。离散型例题例1设随机变量的分布列为P{=k}=C2k，k=1,2,…，则常