2019年浙江省高考数学试卷

第1页（共25页）2019年浙江省高考数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．（4分）已知全集U＝{﹣1，0，1，2，3}，集合A＝{0，1，2}，B＝{﹣1，0，1}，则（∁UA）∩B＝（）A．{﹣1}B．{0，1}C．{﹣1，2，3}D．{﹣1，0，1，3}2．（4分）渐近线方程为x±y＝0的双曲线的离心率是（）A．B．1C．D．23．（4分）若实数x，y满足约束条件则z＝3x+2y的最大值是（）A．﹣1B．1C．10D．124．（4分）祖暅是我国南北朝时代的伟大科学家，他提出的“幂势既同，则积不容异”称为祖暅原理，利用该原理可以得到柱体的体积公式V柱体＝Sh，其中S是柱体的底面积，h是柱体的高．若某柱体的三视图如图所示（单位：cm），则该柱体的体积（单位：cm3）是（）A．158B．162C．182D．3245．（4分）若a＞0，b＞0，则“a+b≤4”是“ab≤4”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件第2页（共25页）C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件6．（4分）在同一直角坐标系中，函数y＝，y＝1oga（x+）（a＞0且a≠1）的图象可能是（）A．B．C．D．7．（4分）设0＜a＜1．随机变量X的分布列是X0a1P则当a在（0，1）内增大时，（）A．D（X）增大B．D（X）减小C．D（X）先增大后减小D．D（X）先减小后增大8．（4分）设三棱锥V﹣ABC的底面是正三角形，侧棱长均相等，P是棱VA上的点（不含端点）．记直线PB与直线AC所成角为α，直线PB与平面ABC所成角为β，二面角P﹣AC﹣B的平面角为γ，则（）A．β＜γ，α＜γB．β＜α，β＜γC．β＜α，γ＜αD．α＜β，γ＜β9．（4分）设a，b∈R，函数f（x）＝若函数y＝f（x）﹣ax﹣b恰有3个零点，则（）A．a＜﹣1，b＜0B．a＜﹣1，b＞0C．a＞﹣1，b＜0D．a＞﹣1，b＞010．（4分）设a，b∈R，数列{an}满足a1＝a，an+1＝an2+b，n∈N*，则（）A．当b＝时，a10＞10B．当b＝时，a10＞10C．当b＝﹣2时，a10＞10D．当b＝﹣4时，a10＞10第3页（共25页）二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分。11．（4分）复数z＝（i为虚数单位），则|z|＝．12．（6分）已知圆C的圆心坐标是（0，m），半径长是r．若直线2x﹣y+3＝0与圆C相切于点A（﹣2，﹣1），则m＝，r＝．13．（6分）在二项式（+x）9展开式中，常数项是，系数为有理数的项的个数是．14．（6分）在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝3，点D在线段AC上，若∠BDC＝45°，则BD＝，cos∠ABD＝．15．（4分）已知椭圆+＝1的左焦点为F，点P在椭圆上且在x轴的上方．若线段PF的中点在以原点O为圆心，|OF|为半径的圆上，则直线PF的斜率是．16．（4分）已知a∈R，函数f（x）＝ax3﹣x．若存在t∈R，使得|f（t+2）﹣f（t）|≤，则实数a的最大值是．17．（6分）已知正方形ABCD的边长为1．当每个λi（i＝1，2，3，4，5，6）取遍±1时，|λ1+λ2+λ3+λ4+λ5+λ6|的最小值是，最大值是．三、解答题：本大题共5小题，共74分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。18．（14分）设函数f（x）＝sinx，x∈R．（Ⅰ）已知θ∈[0，2π），函数f（x+θ）是偶函数，求θ的值；（Ⅱ）求函数y＝[f（x+）]2+[f（x+）]2的值域．19．（15分）如图，已知三棱柱ABC﹣A1B1C1，平面A1ACC1⊥平面ABC，∠ABC＝90°，∠BAC＝30°，A1A＝A1C＝AC，E，F分别是AC，A1B1的中点．（Ⅰ）证明：EF⊥BC；（Ⅱ）求直线EF与平面A1BC所成角的余弦值．第4页（共25页）20．（15分）设等差数列{an}的前n项和为Sn，a3＝4，a4＝S3．数列{bn}满足：对每个n∈N*，Sn+bn，Sn+1+bn，Sn+2+bn成等比数列．（Ⅰ）求数列{an}，{bn}的通项公式；（Ⅱ）记cn＝，n∈N*，证明：c1+c2+…+cn＜2，n∈N*．21．如图，已知点F（1，0）为抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点．过点F的直线交抛物线于A，B两点，点C在抛物线上，使得△ABC的重心G在x轴上，直线AC交x轴于点Q，且Q在点F的右侧．记△AFG，△CQG的面积分别为S1，S2．（Ⅰ）求p的值及抛物线的准线方程；（Ⅱ）求的最小值及此时点G的坐标．22．（15分）已知实数a≠0，设函数f（x）＝alnx+，x＞0．（Ⅰ）当a＝﹣时，求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）对任意x∈[，+∞）均有f（x）≤，求a的取值范围．注：e＝2.71828…为自然对数的底数．第5页（共25页）2019年浙江省高考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．（4分）已知全集U＝{﹣1，0，1，2，3}，集合A＝{0，1，2}，B＝{﹣1，0，1}，则（∁UA）∩B＝（）A．{﹣1}B．{0，1}C．{﹣1，2，3}D．{﹣1，0，1，3}【分析】由全集U以及A求A的补集，然后根据交集定义得结果．【解答】解：∵∁UA＝{﹣1，3}，∴（∁UA）∩B＝{﹣1，3}∩{﹣1，0，l}＝{﹣1}故选：A．【点评】本题主要考查集合的基本运算，比较基础．2．（4分）渐近线方程为x±y＝0的双曲线的离心率是（）A．B．1C．D．2【分析】由渐近线方程，转化求解双曲线的离心率即可．【解答】解：根据渐近线方程为x±y＝0的双曲线，可得a＝b，所以c＝则该双曲线的离心率为e＝＝，故选：C．【点评】本题主要考查双曲线的简单性质的应用，属于基础题．3．（4分）若实数x，y满足约束条件则z＝3x+2y的最大值是（）A．﹣1B．1C．10D．12【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．第6页（共25页）【解答】解：由实数x，y满足约束条件作出可行域如图，联立，解得A（2，2），化目标函数z＝3x+2y为y＝﹣x﹣z，由图可知，当直线y＝﹣x﹣z过A（2，2）时，直线在y轴上的截距最大，z有最大值：10．故选：C．【点评】本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．4．（4分）祖暅是我国南北朝时代的伟大科学家，他提出的“幂势既同，则积不容异”称为祖暅原理，利用该原理可以得到柱体的体积公式V柱体＝Sh，其中S是柱体的底面积，h是柱体的高．若某柱体的三视图如图所示（单位：cm），则该柱体的体积（单位：cm3）是（）第7页（共25页）A．158B．162C．182D．324【分析】由三视图还原原几何体，可知该几何体为直五棱柱，由两个梯形面积求得底面积，代入体积公式得答案．【解答】解：由三视图还原原几何体如图，该几何体为直五棱柱，底面五边形的面积可用两个直角梯形的面积求解，即＝27，高为6，则该柱体的体积是V＝27×6＝162．故选：B．【点评】本题考查由三视图求面积、体积，关键是由三视图还原原几何体，是中档题．5．（4分）若a＞0，b＞0，则“a+b≤4”是“ab≤4”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件第8页（共25页）C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【分析】充分条件和必要条件的定义结合均值不等式、特值法可得结果【解答】解：∵a＞0，b＞0，∴4≥a+b≥2，∴2≥，∴ab≤4，即a+b≤4⇒ab≤4，若a＝4，b＝，则ab＝1≤4，但a+b＝4+＞4，即ab≤4推不出a+b≤4，∴a+b≤4是ab≤4的充分不必要条件故选：A．【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，均值不等式，考查了推理能力与计算能力．6．（4分）在同一直角坐标系中，函数y＝，y＝1oga（x+）（a＞0且a≠1）的图象可能是（）A．B．C．D．【分析】对a进行讨论，结合指数，对数的性质即可判断；【解答】解：由函数y＝，y＝1oga（x+），当a＞1时，可得y＝是递减函数，图象恒过（0，1）点，函数y＝1oga（x+），是递增函数，图象恒过（，0）；当1＞a＞0时，可得y＝是递增函数，图象恒过（0，1）点，第9页（共25页）函数y＝1oga（x+），是递减函数，图象恒过（，0）；∴满足要求的图象为：D故选：D．【点评】本题考查了指数函数，对数函数的图象和性质，属于基础题．7．（4分）设0＜a＜1．随机变量X的分布列是X0a1P则当a在（0，1）内增大时，（）A．D（X）增大B．D（X）减小C．D（X）先增大后减小D．D（X）先减小后增大【分析】方差公式结合二次函数的单调性可得结果【解答】解：E（X）＝0×+a×+1×＝，D（X）＝（）2×+（a﹣）2×+（1﹣）2×＝[（a+1）2+（2a﹣1）2+（a﹣2）2]＝（a2﹣a+1）＝（a﹣）2+∵0＜a＜1，∴D（X）先减小后增大故选：D．【点评】本题考查方差的求法，利用二次函数是关键，考查推理能力与计算能力，是中档题．8．（4分）设三棱锥V﹣ABC的底面是正三角形，侧棱长均相等，P是棱VA上的点（不含端点）．记直线PB与直线AC所成角为α，直线PB与平面ABC所成角为β，二面角P﹣AC﹣B的平面角为γ，则（）A．β＜γ，α＜γB．β＜α，β＜γC．β＜α，γ＜αD．α＜β，γ＜β【分析】本题以三棱锥为载体，综合考查异面直线所成角、直线和平面所成角和二倍角的概念和计算，解答的基本方法是通过明确各种角，应用三角函数知识求解，而后比较大小，充分运用图象，则可事半功倍，【解答】解：方法一、如图G为AC的中点，V在底面的射影为O，则P在底面上的射影D在线段AO上，作DE⊥AC于E，易得PE∥VG，过P作PF∥AC于F，第10页（共25页）过D作DH∥AC，交BG于H，则α＝∠BPF，β＝∠PBD，γ＝∠PED，则cosα＝＝＝＜＝cosβ，可得β＜α；tanγ＝＞＝tanβ，可得β＜γ，方法二、由最小值定理可得β＜α，记V﹣AC﹣B的平面角为γ'（显然γ'＝γ），由最大角定理可得β＜γ'＝γ；方法三、（特殊图形法）设三棱锥V﹣ABC为棱长为2的正四面体，P为VA的中点，易得cosα＝＝，可得sinα＝，sinβ＝＝，sinγ＝＝，故选：B．【点评】本题考查空间三种角的求法，常规解法下易出现的错误的有：不能正确作出各种角，未能想到利用“特殊位置法”，寻求简单解法．9．（4分）设a，b∈R，函数f（x）＝若函数y＝f（x）﹣ax﹣b恰有3个零点，则（）A．a＜﹣1，b＜0B．a＜﹣1，b＞0C．a＞﹣1，b＜0D．a＞﹣1，b＞0【分析】当x＜0时，y＝f（x）﹣ax﹣b＝x﹣ax﹣b＝（1﹣a）x﹣b最多一个零点；当x≥0时，y＝f（x）﹣ax﹣b＝x3﹣（a+1）x2+ax﹣ax﹣b＝x3﹣（a+1）x2﹣b，利用导数研究函数的单调性，根据单调性画函数草图，根据草图可得．【解答】解：当x＜0时，y＝f（x）﹣ax﹣b＝x﹣ax﹣b＝（1﹣a）x﹣b＝0，得x＝；y＝f（x）﹣ax﹣b最多一个零点；当x≥0时，y＝f（x）﹣ax﹣b＝x3﹣（a+1）x2+ax﹣ax﹣b＝x3﹣（a+1）x2﹣b，第11页（共25页）y′＝x2﹣（a+1）x，当a+1≤0，即a≤﹣1时，y′≥0，y＝f（x）﹣ax﹣b在[0，+∞）上递增，y＝f（x）﹣ax﹣b最多一个零点．不合题意；当a+1＞0，即a＜﹣1时，令y′＞0得x∈[a+1，+∞），函数递增，令y′＜0得x∈[0，a+1），函数递减；函数最多有2个零点；根据题意函数y＝f（x）﹣ax﹣b恰有3个零点⇔函数y＝f（x）﹣ax﹣b在（﹣∞，0）上有一个零点，在[0，+∞）上有2个零点，如右图：∴＜0且，解得b＜0，1﹣a＞0，b＞﹣（a+1）3．故选：C．【点评】本题考查了