§5.2-求导法则-数学分析(华师大-四版)课件-高教社ppt-华东师大教材配套课件

一、导数的四则运算导数很有用，但全凭定义来计算导数是不方便的.为此要建立一些有效的求导法则,使导数运算变得较为简便.§2求导法则数学分析第五章导数和微分二、反函数的导数三、复合函数的导数四、基本求导法则与公式*点击以上标题可直接前往对应内容§2求导法则数学分析第五章导数和微分高等教育出版社导数的四则运算反函数的导数复合函数的导数基本求导法则与公式定理5.6定理5.5导数的四则运算000(()())()().(1)xxuxvxuxvx在点x0也可导,且()()()fxuxvx00000(()())()()()().(2)xxuxvxuxvxuxvx在点x0也可导,且()()()fxuxvx若函数在点x0可导,则函数(),()uxvx若函数在点x0可导,则函数(),()uxvx后退前进目录退出§2求导法则导数的四则运算§2求导法则数学分析第五章导数和微分高等教育出版社导数的四则运算反函数的导数复合函数的导数基本求导法则与公式推论(())().()003xxcuxcux().uvwuvwuvwuvw定理5.6可推广到任意有限个函数相乘的情形,如下面证明乘积公式(2),请读者自行证明公式(1).证(2)按定义可得若u(x)在点x0可导,c是常数，则导数的四则运算§2求导法则数学分析第五章导数和微分高等教育出版社导数的四则运算反函数的导数复合函数的导数基本求导法则与公式0000()()lim()xvxxvxuxx0000()()()().uxvxuxvx()()()()()lim00000Δ0ΔΔΔxuxxvxxuxvxfxx0000Δ0(Δ)(Δ)()(Δ)limΔxuxxvxxuxvxxx0000()()()().uxvxxuxvxx0000()()lim()xuxxuxvxxx()uvuv×注意:,千万不要把导数乘积公式(2)记错了.导数的四则运算§2求导法则数学分析第五章导数和微分高等教育出版社导数的四则运算反函数的导数复合函数的导数基本求导法则与公式例11011().nnnnfxaxaxaxa求的导数1011()()()()()nnnnfxaxaxaxa解因此,对于多项式f而言,总是比f低一个幂次.f例2sinln.yxxx求在处的导数π解由公式(2)，得12011(1).nnnnaxnaxaln.xy)(lnsinln)(sinxxxxyxxxxsin1lncos导数的四则运算§2求导法则数学分析第五章导数和微分高等教育出版社导数的四则运算反函数的导数复合函数的导数基本求导法则与公式定理5.70000020()()()()().(4)()()xxuxvxuxvxuxvxvx在点x0也可导，且()()()uxfxvx则若函数在点x0可导,(),()uxvx0()0,vx导数的四则运算§2求导法则数学分析第五章导数和微分高等教育出版社导数的四则运算反函数的导数复合函数的导数基本求导法则与公式证1()()()().(),()gxfxuxgxgxvx设，则对有000011(Δ)()(Δ)()ΔΔvxxvxgxxgxxx0000(Δ)()1.Δ(Δ)()vxxvxxvxxvx由于在点x0可导,因此0()0,vx()vx导数的四则运算0000200()()()()lim,()xgxxgxvxgxxvxΔΔ0020()1.()()xxvxvxvx亦即(5)§2求导法则数学分析第五章导数和微分高等教育出版社导数的四则运算反函数的导数复合函数的导数基本求导法则与公式对应用公式(2)和(5),得()()()fxuxgx0000011()()(),()()fxuxuxvxvx000200()()()()()uxvxuxvxvx导数的四则运算0000020()()()()().()()xxuxvxuxvxuxvxvx即000020()()()(),()uxvxuxvxvx§2求导法则数学分析第五章导数和微分高等教育出版社导数的四则运算反函数的导数复合函数的导数基本求导法则与公式例3求下列函数的导数：(i),;nxn是正整数(ii)tan,cot;xx(iii)sec,csc.xx解-1(i)()nnxxnnxnx21.1nnxxxxcossintan)ii(xxxxx2coscossincossinxxx222cossincos.seccos122xx导数的四则运算§2求导法则数学分析第五章导数和微分高等教育出版社导数的四则运算反函数的导数复合函数的导数基本求导法则与公式同理可得sectan.xx(csc)csccot.xxx221(cot)csc.sinxxx同理可得1(iii)(sec)cosxxxxxx22cossincoscos导数的四则运算§2求导法则数学分析第五章导数和微分高等教育出版社导数的四则运算反函数的导数复合函数的导数基本求导法则与公式定理5.8001().(6)()fxy证00,,xxxyyy设则ΔΔ00()(),xyyy＋ΔΔ00()().yfxxfxΔΔ由假设,在点1f0x的某邻域内连续,反函数的导数f则在点可导,且00()xy0()0,y某邻域内连续，严格单调,且反函数的导数设为的反函数，在点的()yfx()xy0y§2求导法则数学分析第五章导数和微分高等教育出版社导数的四则运算反函数的导数复合函数的导数基本求导法则与公式00;xyΔΔ00()limxyfxxΔΔ,0)(0y便可证得注意到且严格单调,从而有反函数的导数0011.()limyxyyΔΔ§2求导法则数学分析第五章导数和微分高等教育出版社导数的四则运算反函数的导数复合函数的导数基本求导法则与公式解(i)arcsin,(1,1)sinyxxxy是在21,(arccos),(1,1).1xxx同理上的反函数，故()22ππ，1(arcsin)(sin)xyycos1).1,1(,112xx反函数的导数例4求下列函数的导数：(i)arcsinarccos;xx和(ii)arctanarccot.xx和§2求导法则数学分析第五章导数和微分高等教育出版社导数的四则运算反函数的导数复合函数的导数基本求导法则与公式)(tan1)(arctanyx).,(,112xx同理有21(arccot),1xx(,).x的反函数，故(ii)arctantanyxxy是在上()22ππ，x2sec1y2tan11反函数的导数§2求导法则数学分析第五章导数和微分高等教育出版社导数的四则运算反函数的导数复合函数的导数基本求导法则与公式定理5.9000()()()uxxyfuux设在点可导，在点f可导，则复合函数在点x0可导，且这个定理一般用有限增量公式来证明，但为了与00000()()()()()().(7)fxfuxfxx复合函数的导数证法,为此需要先证明一个引理.今后学习向量函数相联系，这里采用另一种新的复合函数的导数§2求导法则数学分析第五章导数和微分高等教育出版社导数的四则运算反函数的导数复合函数的导数基本求导法则与公式引理f在点x0可导的充要条件是:00()(),UxxHx域上存在一个在连续的函数使证设f(x)在点x0可导,且令00000()(),,()()(),.fxfxxUxxxHxxxfx00()().fxHx且),)(()()(00xxxHxfxf0000()()lim()limxxxxfxfxHxxx因复合函数的导数在x0的某邻00()(),fxHx§2求导法则数学分析第五章导数和微分高等教育出版社导数的四则运算反函数的导数复合函数的导数基本求导法则与公式0()Hxx故在连续，且00,()(()),HxxUxx反之设存在在点连续且000()()()(),().fxfxHxxxxUx00000()()limlim()(),xxxxfxfxHxHxxx得f(x)在点x0可导,).()(00xHxf且000()()()(),().fxfxHxxxxUx根据极限复合函数的导数§2求导法则数学分析第五章导数和微分高等教育出版社导数的四则运算反函数的导数复合函数的导数基本求导法则与公式),(0uFu连续的函数个在点且使)()(00uFuf同理，,)(0可导在点xxu则存在一个在点x0).(),)(()()(000uUxuuuFufuf0000()()()(),().uuxxxxxxUx于是当有),(0xUx由引理的必要性,)(0可导在点及uuf(),x00()(),xx使且连续的函数00(())(())(())()().fxfxFxxxx下面证明定理5.9(公式(7)).知存在一复合函数的导数0,,x由于在点连续)(00xuF在点连续，§2求导法则数学分析第五章导数和微分高等教育出版社导数的四则运算反函数的导数复合函数的导数基本求导法则与公式若将公式(7)改写为00000()(())()()().HxFxxfuxddd,dddxyuyux0()(())().HxFxxx所以在点连续理的充分性,0,fx在点可导0()()fx(),(),yfuux其中这样就容易理解“链”的复合函数求导公式(7)又称为“链式法则”.根据引复合函数的导数意义了.且((()))(())().fxfxx与的不同含义在链式法则中一定要区分()(())()|uxfxfu§2求导法则数学分析第五章导数和微分高等教育出版社导数的四则运算反函数的导数复合函数的导数基本求导法则与公式例5.sin2yxy的导数求函数ddddddyyuxux解分解成这两个2sinyx将2sinyuux与于是由链式法则,有基本初等函数的复合，复合函数的导数2(sin)()ux2cos22cos.uxxx§2求导法则数学分析第五章导数和微分高等教育出版社导数的四则运算反函数的导数复合函数的导数基本求导法则与公式例6(,0).yxx求幂函数是实数的导数解lneelnxuyxyux由与复合而成,ln()(e)xx故复合函数的导数1e.uxx§2求导法则数学分析第五章导数和微分高等教育出版社导数的四则运算反函数的导数复合函数的导数基本求导法则与公式解运用复合求导法则,分别计算如下:122221(i)()(1)(1)12xxx2.1xx2322211(ii)(1)(1)21xxx23.(1)xx复合函数的导数例7求下列函数的导数:2(i)1;x21(ii);1x§2求导法则数学分析第五章导数和微分高等教育出版社导数的四则运算反函数的导数复合函数的导数基本求导法则与公式2(iii)ln(1)xx221(1)11xxxx221(1)1xxxx21.1x复合函数的导数2(iii)ln(1).xx§2求导法则数学分析第五章导数和微分高等教育出版社导数的四则运算反函数的导数复合函数的导数基本求导法则与公式例8求下列函数的导数:21(i)()