2005—数二真题、标准答案及解析

-1-2005年考研数学二真题一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分.把答案填在题中横线上）（1）设xxy)sin1(，则|xdy=______.（2）曲线xxy23)1(的斜渐近线方程为______.（3）10221)2(xxxdx______.（4）微分方程xxyyxln2满足91)1(y的解为______.（5）当0x时，2)(kxx与xxxxcosarcsin1)(是等价无穷小，则k=______.（6）设321,,均为3维列向量，记矩阵),,(321A，)93,42,(321321321B，如果1A，那么B.二、选择题（本题共8小题，每小题4分，满分32分.每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）（7）设函数nnnxxf31lim)(，则f(x)在),(内(A)处处可导.(B)恰有一个不可导点.(C)恰有两个不可导点.(D)至少有三个不可导点.[]（8）设F(x)是连续函数f(x)的一个原函数，NM表示“M的充分必要条件是N”，则必有(A)F(x)是偶函数f(x)是奇函数.（B）F(x)是奇函数f(x)是偶函数.(C)F(x)是周期函数f(x)是周期函数.(D)F(x)是单调函数f(x)是单调函数.[]（9）设函数y=y(x)由参数方程)1ln(,22tyttx确定，则曲线y=y(x)在x=3处的法线与x轴交点的横坐标是(A)32ln81.(B)32ln81.(C)32ln8.(D)32ln8.[]（10）设区域}0,0,4),{(22yxyxyxD，f(x)为D上的正值连续函数，a,b为常数，则dyfxfyfbxfaD)()()()((A)ab.(B)2ab.(C))(ba.(D)2ba.[]-2-（11）设函数yxyxdttyxyxyxu)()()(),(,其中函数具有二阶导数，具有一阶导数，则必有(A)2222yuxu.（B）2222yuxu.(C)222yuyxu.(D)222xuyxu.[]（12）设函数,11)(1xxexf则(A)x=0,x=1都是f(x)的第一类间断点.（B）x=0,x=1都是f(x)的第二类间断点.(C)x=0是f(x)的第一类间断点，x=1是f(x)的第二类间断点.(D)x=0是f(x)的第二类间断点，x=1是f(x)的第一类间断点.[]（13）设21,是矩阵A的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为21,，则1，)(21A线性无关的充分必要条件是(A)01.(B)02.(C)01.(D)02.[]（14）设A为n（2n）阶可逆矩阵，交换A的第1行与第2行得矩阵B,**,BA分别为A,B的伴随矩阵，则(A)交换*A的第1列与第2列得*B.(B)交换*A的第1行与第2行得*B.(C)交换*A的第1列与第2列得*B.(D)交换*A的第1行与第2行得*B.[]三、解答题（本题共9小题，满分94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）（15）（本题满分11分）设函数f(x)连续，且0)0(f，求极限.)()()(lim000xxxdttxfxdttftx（16）（本题满分11分）如图，1C和2C分别是)1(21xey和xey的图象，过点(0,1)的曲线3C是一单调增函数的图象.过2C上任一点M(x,y)分别作垂直于x轴和y轴的直线xl和yl.记21,CC与xl所围图形的面积为)(1xS；32,CC与yl所围图形的面积为).(2yS如果总有)()(21ySxS，求曲线3C的方程).(yx（17）（本题满分11分）如图，曲线C的方程为y=f(x)，点(3,2)是它的一个拐点，直线1l与2l分别是曲线C在点(0,0)与(3,2)处-3-的切线，其交点为(2,4).设函数f(x)具有三阶连续导数，计算定积分302.)()(dxxfxx（18）（本题满分12分）用变量代换)0(costtx化简微分方程0)1(2yyxyx，并求其满足2,100xxyy的特解.（19）（本题满分12分）已知函数f(x)在[0，1]上连续，在(0,1)内可导，且f(0)=0,f(1)=1.证明：（I）存在),1,0(使得1)(f；（II）存在两个不同的点)1,0(,，使得.1)()(ff（20）（本题满分10分）已知函数z=f(x,y)的全微分ydyxdxdz22，并且f(1,1,)=2.求f(x,y)在椭圆域}14),{(22yxyxD上的最大值和最小值.（21）（本题满分9分）计算二重积分dyxD122，其中}10,10),{(yxyxD.（22）（本题满分9分）确定常数a,使向量组,),1,1(1Ta,)1,,1(2TaTa)1,1,(3可由向量组,),1,1(1Ta,)4,,2(2TaTaa),,2(3线性表示，但向量组321,,不能由向量组321,,线性表示.（23）（本题满分9分）已知3阶矩阵A的第一行是cbacba,,),,,(不全为零，矩阵kB63642321（k为常数），且AB=O,求线性方程组Ax=0的通解.-4-2005年考研数学二真题解析一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分.把答案填在题中横线上）（1）设xxy)sin1(，则xdy=dx.【分析】本题属基本题型，幂指函数的求导（或微分）问题可化为指数函数求导或取对数后转化为隐函数求导.【详解】方法一：xxy)sin1(=)sin1ln(xxe，于是]sin1cos)sin1[ln()sin1ln(xxxxeyxx，从而xdy=.)(dxdxy方法二：两边取对数，)sin1ln(lnxxy，对x求导，得xxxxyysin1cos)sin1ln(1，于是]sin1cos)sin1[ln()sin1(xxxxxyx，故xdy=.)(dxdxy（2）曲线xxy23)1(的斜渐近线方程为23xy.【分析】本题属基本题型，直接用斜渐近线方程公式进行计算即可.【详解】因为a=,1)1(lim)(lim23xxxxxfxx23)1(lim)(lim2323xxxaxxfbxx，于是所求斜渐近线方程为.23xy（3）10221)2(xxxdx4.【分析】作三角代换求积分即可.【详解】令txsin，则10221)2(xxxdx202cos)sin2(cossindttttt=.4)arctan(coscos1cos20202tttd-5-（4）微分方程xxyyxln2满足91)1(y的解为.91ln31xxxy.【分析】直接套用一阶线性微分方程)()(xQyxPy的通解公式：])([)()(CdxexQeydxxPdxxP，再由初始条件确定任意常数即可.【详解】原方程等价为xyxyln2，于是通解为]ln[1]ln[2222CxdxxxCdxexeydxxdxx=2191ln31xCxxx，由91)1(y得C=0，故所求解为.91ln31xxxy（5）当0x时，2)(kxx与xxxxcosarcsin1)(是等价无穷小，则k=43.【分析】题设相当于已知1)()(lim0xxx，由此确定k即可.【详解】由题设，200cosarcsin1lim)()(limkxxxxxxxx=)cosarcsin1(cos1arcsinlim20xxxkxxxxx=k21143cos1arcsinlim20kxxxxx，得.43k（6）设321,,均为3维列向量，记矩阵),,(321A，)93,42,(321321321B，如果1A，那么B2.【分析】将B写成用A右乘另一矩阵的形式，再用方阵相乘的行列式性质进行计算即可.【详解】由题设，有)93,42,(321321321B-6-=941321111),,(321，于是有.221941321111AB二、选择题（本题共8小题，每小题4分，满分32分.每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）（7）设函数nnnxxf31lim)(，则f(x)在),(内(A)处处可导.(B)恰有一个不可导点.(C)恰有两个不可导点.(D)至少有三个不可导点.[C]【分析】先求出f(x)的表达式，再讨论其可导情形.【详解】当1x时，11lim)(3nnnxxf；当1x时，111lim)(nnxf；当1x时，.)11(lim)(3133xxxxfnnn即.1,11,1,,1,)(33xxxxxxf可见f(x)仅在x=1时不可导，故应选(C).（8）设F(x)是连续函数f(x)的一个原函数，NM表示“M的充分必要条件是N”，则必有(B)F(x)是偶函数f(x)是奇函数.（B）F(x)是奇函数f(x)是偶函数.(C)F(x)是周期函数f(x)是周期函数.(D)F(x)是单调函数f(x)是单调函数.[A]【分析】本题可直接推证，但最简便的方法还是通过反例用排除法找到答案.【详解】方法一：任一原函数可表示为xCdttfxF0)()(，且).()(xfxF当F(x)为偶函数时，有)()(xFxF，于是)()1()(xFxF，即)()(xfxf，也即)()(xfxf，可见f(x)为奇函数；反过来，若f(x)为奇函数，则xdttf0)(为偶函数，从而xCdttfxF0)()(为偶函数，可见(A)为正确选项.方法二：令f(x)=1,则取F(x)=x+1,排除(B)、(C);令f(x)=x,则取F(x)=221x,排除(D);故应选(A).（9）设函数y=y(x)由参数方程)1ln(,22tyttx确定，则曲线y=y(x)在x=3处的法线与x轴交点的横坐-7-标是(A)32ln81.(B)32ln81.(C)32ln8.(D)32ln8.[A]【分析】先由x=3确定t的取值，进而求出在此点的导数及相应的法线方程，从而可得所需的横坐标.【详解】当x=3时，有322tt，得3,1tt（舍去，此时y无意义），于是81221111ttttdxdy，可见过点x=3(此时y=ln2)的法线方程为：)3(82lnxy，令y=0,得其与x轴交点的横坐标为：32ln81,故应(A).（10）设区域}0,0,4),{(22yxyxyxD，f(x)为D上的正值连续函数，a,b为常数，则dyfxfyfbxfaD)()()()((A)ab.(B)2ab.(C))(ba.(D)2ba.[D]【分析】由于未知f(x)的具体形式，直接化为用极坐标计算显然是困难的.本题可考虑用轮换对称性.【详解】由轮换对称性，有dyfxfyfbxfaD)()()()(dxfyfxfbyfaD)()()()(=dxfyfxfbyfayfxfyfbxfaD])()()()()()()()([21=.2241222babadbaD