[理学]泰勒公式课件

幂指对三角反三角多项式函数数值计算比较简单查表数据如何得到？)())((')()(0000xxoxxxfxfxf))((')()(000xxxfxfxf0x若函数在点可微，则：)(xf)()(0xxoxR误差：))((')()(000xxxfxfxf问题：能否用多项式来近似表达其它函数？,1xexy2.521.510.5-1-0.500.51xxy1xeyy10.80.60.40.200.20.40.60.81xxy)1ln(xyxx)1ln(两点不足：（2）误差不定量。(1)精确度不高。①“以直代曲”)()(0xxoxR②解决方案：“以曲代曲”；))(()(0nxxoxRnnnxxaxxaxxaaxp)()()()(0202010显然：),,2,1,(),)(()()(00nkxxxxoxpxfkn即：0)()()(lim00knxxxxxPxf)(xf假设：)()()1(00xpxfn)(),)(()()(00xxxxoxpxfnn要求：阶的导数具有直到1n)()2(xf,1k)()()(lim00xxxpxfnxx)(')('00xpxfn0)(')('00xpxfn,2k20)()()(lim0xxxpxfnxx!2)()(lim0xpxfnxx2)()(00xpxfn0)()(00xpxfn1)(')('lim0xpxfnxx)(2)(')('lim00xxxpxfnxxnnxxxxxpxf)()()(lim00得到)2,1,0)(()(0)(0)(nkxpxfknk!)()(lim))(1()()(lim)()(2000nxpxfxxnnxpxfnnnxxnnxx!)()(0)(0)(nxpxfnnn0,nk10)()(')('lim0nnxxxxnxpxf)()(0)(0)(xpxfnnn容易求得的各项系数为：)(xpn)(!1)(!1,),(!21)(!21),(')('),()(0)(0)(002001000xfnxpnaxfxpaxfxpaxfxpannnnnnnnnnxxxfnxxxfxxxfxfxp))((!1))((!21))((')()(00)(200000n阶泰勒多项式定理1如果函数f(x)在含有x0的开区间(a,b)内具有直到（n+1)阶的导数，则对于x(a,b)x其中介于与之间。0x----n阶泰勒公式证明：把泰勒公式改写为：作辅助函数：)()()(0xfxx显然：则由罗尔中值定理，存在介于与之间，使得：0xxx其中介于与之间。0x0)()(lim00nnxxxxxR].)[()(0nnxxoxR即当在有界时，即)()1(xfn),(ba,)()1(Mxfn佩亚诺型余项拉格朗日型余项定理2如果函数f(x)在含有x0的开区间(a,b)内具有直到n阶导数，且f(n)(x)在(a,b)内连续，则f(x)在(a,b)内有n阶带有佩亚诺型余项的泰勒公式:麦克劳林(Maclaurin,C.1698-1746,苏格兰)取x此时介于与之间。0令泰勒公式又称为麦克劳林公式)(!)0(!2)0()0()0()()(2nnnxoxnfxfxffxf)10()!1()(!)0(!2)0()0()0()(1)1()(2nnnnxnxfxnfxfxffxf带佩亚诺型余项的麦克劳林公式：带拉格朗日型余项的麦克劳林公式:,sin)(,cos)('xxfxxfxxfsin)(例：求函数带拉格朗日型余项的n阶麦克劳林公式。解:0)0(,1)0(',0)0(,1)0(',0)0()4(fffff近似计算,sin)()4(xxf,cos)('xxf),2sin()()(nxxfn)()!12()1(!5!3sin212153xRmxxxxxmmmmn2令xxsin)10(,6!3)23sin(332xxxR1m如果取，则得近似公式：]2,0[x通常取64.06322R753!71!51!31sinxxxxx98!91xR2m如果取4m如果取3!31sinxxx54!51xR]2,0[x当079.0!51524R]2,0[x当00016.0!91928Rxyxysinoxyxysin!33xxyoxyxysin!33xxy!5!353xxxyoxyxysin!33xxy!5!353xxxy!7!5!3753xxxxyo泰勒多项式：拉格朗日型余项：泰勒公式：))(()(0nnxxoxR佩亚诺型余项：(余项)(当x0=0时为麦克劳林公式)xcos伸缩、平移三角函数系组合光滑函数1)(xR伸缩、平移沃尔什函数系任意函数复杂函数2,1,0,)(0kxxk组合组合泰勒逼近付立叶逼近沃尔什逼近