四川大学线性代数教材第五章第三节

第三节实对称矩阵的正交相似对角化，称设向量TnTnbbbaaa),,,(,),,,(2121nnbababa2211),(的与为向量与称时当，0),(定义1内积。正交，TT。记为，显然，0),(。且0),(0长度(或范数)，单位向量。定义2的为向量称),(的向量称为长度为1叫做对数乘，用满足若非零向量11单位化或规范化，同方向。与显然，单位向量1内积的性质：),(),()1(),(),(),()2(Rkkk),,(),()3(0)0,(),0()4(),(),(),(),()5(22112211mmmmkkkkkk的夹角与是,cos),(),()6(),()7(例解：。单位化即对同方向的单位向量夹角以及与之间的距离、，求向量)(,)3,2,3(,)1,1,1(TT，由T)2,1,2(,3),(有,3),(又,22),(,8),(,668),(cos有,668arccos则，单位化，将111311同方向的单位向量。就是与称为间定义了内积的实向量空nR中，在nR组称为由单位向量构成的正交)2(的一个为个向量的规范正交组称含有nnRn,,,)3(21正交组；n维欧几里得空间,规范(标准)正交组；规范(标准)正交基，定义3则称此向量组为，即正交且其中的向量两两不含零向量若向量组，，，jijim0),(,,,)1(21即满足.,1,0),(jijiijji例证明：关。中的任意正交组线性无nR，，0,,,221121mmnmkkkR考虑的一个正交组是设),0(),(1122111mmkkk，作内积两端分别与),0(),(),(),(11122111mmkkk,0),0(1且，得0),(111k，0,,02mkk同理可得，则01k，是正交组由m,,,21,),,2(0),(1mjj，由01向量组线性无关。定义4为则称满足阶实矩阵设QEQQQQQnTT，：由定义不难得出：正交矩阵。；可逆，且是正交矩阵TQQQQ1)1(；或则是正交矩阵11)2(QQ，保持不变。，即向量的长度则是正交矩阵QXXRXQn,)3(1，),(QXQX)()(QXQXTQXQXTTEXXTXXT),(XX证明：EQQQQQnTT是正交矩阵阶实矩阵)(2121nTnTTTQQE),,2,1,(,,0,,1),(njijijijiQQjijTiT列元素行的。是规范正交组n,,,21。，是规范正交组是正交矩阵则阶实矩阵是设nnQnQ,,,),,,(2121例证明：EQQTnTnTnTnnTTTnTTT212221212111是实数。实对称矩阵的特征值都定理1无关，而且正交。线性值对应的特征向量不仅实对称矩阵的不同特征定理2，则量分别为其对应的特征向的两个不同的特征值，是设2121,XXA)2(),1(222111XAXXAX)4()2(212211XXAXXXTTT两端，左乘用得式两端取转置，并由AAT)3(0)()4()5(2121XXT得,021XXT得证明：)3()1(121122XXAXXXTTT两端，左乘用)5(21121XXAXXTT，021由,0),(21XX即正交。21,XX定理3，使得在正交矩阵阶实对称矩阵，则必存是设QnA，nTAQQAQQ211的特征值，为其中An,,,21，那么令)(21nQQQQ的特征向量。的分别对应于就是nnAQQQ,,,,,,2121注意：是规范正交组，可知nQQQ,,,21是正交矩阵，因Q正交。都是单位向量，且两两即特征向量nQQQ,,,21还是正交矩阵，不仅是可逆矩阵，而且由于相似变换矩阵Q这种情形称为矩阵的正交相似对角化。下面介绍一个将线性无关向量组改造为规范正交组的方法：施密特正交规范化方法。中的一个线性无关组，是设nmRI)(,,,21,11构造，)(),,2,1(1)(IIImjIIjjj单位化，得再将等价。且与原向量组是一个规范正交组，并则)()(IIII定理4,),(),(1111222,),(),(),(),(222231111333111122221111),(),(),(),(),(),(mmmmmmmmm)(II步骤：正交相似对角化的一般阶实对称矩阵将An必是正交矩阵，且，则个向量为列构成矩阵以这QQn)3(，计算特征多项式AEf)()1(所有不同的特征值求出A，iik重的特征值对于每一个)2(siissnkkkk12121,,,,,,。，且，其重数分别为求出齐次线性方程组，的一个基础解系0)(XAEi化，方法将其正交化、单位再用施密特正交规范化个两两正交的单位特征得到ik向量，特征向量；个两两正交的单位最终得到siink1.211nTAQQAQQ为使得求正交矩阵设AQQQA1342432220，，)8()1(342432222AE例解：对角矩阵。，，二重的特征值为8121)(A,000000221442442221AE，二重对)(1)1(1,11X单位化：再将21,，的基础解系为得102,0120)(21XXXAE：正交化将21,XX1111,01251,5425312221。特征向量，得到两个正交的单位二重于是对于211,)(1,54251),(),(1111222XX，的基础解系为解得2210)8(3XXAE，对8)2(2将其单位化：，221311333XX，32323153553453205152),,(321Q于是令。是正交矩阵，且则8111AQQQ例解：，且的特征值为阶实对称矩阵已知1,23321A,)3,3,2(,)1,1,1(,3232TT的特征向量为对应于。矩阵对应的一个特征向量及的与求出矩阵AA21,),,(232111Txxx特征向量为设对应于正交，特征值对应的特征向量由于实对称矩阵的不同,0),(,0),(312103320321321xxxxxx即,)1,1,0(11T的一个特征向量解此方程组，得对应于,311311210),,(321P令,1000100021APP由.23210212300011000100021PPA得例证明：。，：，，rnrEEAQQQEAnA12使得矩阵存在正交证明满足阶实对称矩阵为设，个实特征值有则阶实对称矩阵为nnAnA,,,21，满足构成正交矩阵可适当调整它们的顺序个正交的单位特征向量有且，，，QnA)(211nAQQ。),,1(0),,,2,1(0nririii其中，EA2注意))((11AQQAQQ左端),,,2,1(12nii于是。故rnrEEAQQ1两端取平方，)(QAQ21EQQ1，E221n右端,22221n),,,2,1(1rii其中),,,2,1(1nrrii。的特征向量相同；与的秩相同；与；相似。与，则满足是同阶实对称矩阵，若与设BEAEDBACBABBAABABA)()()()()(相似。与角矩阵，故正交相似于同一个对与此，是同阶实对称矩阵，因与的特征值相同，又由于与，则若选BABABABABEAED)(练习1练习2.012AAnA证明：阶实对称矩阵的与是特征值为设，,)(0)(121重，重的特征值为rnrA，的正交的单位特征向量属于个，有的正交的单位特征向量个属于有则nrrXXrnXXrA,0,111是正交矩阵，且满足这样，),(21nXXXQ,00111AQQ证明：.2AA因此，,00111QQA易得1222220011QQA10011QQ