第四章-妙趣横生的几何变换

第四章妙趣横生的几何变换•早在1872年M.克莱因（MorrisKline，1908—1992）教授就在他的论文“关于近代几何研究的比较观察”中，把几何定义为在某种变化群下，研究图形的不变性与不变量的学科．正是因为图形的不变性，才使图形变换在绘图、力学、机械结构的设计、航空摄影测量、电路网络以及日常生活中得到广泛应用.时至今日，几何变换的思想已经渗透到了中学的几何课程之中.应用几何变换的观点、思想与方法有效处理中学几何中的问题已成为了当今数学课程改革的一个新思路．4.1图形的相等或合同•如果两个图形F和F’的点之间具有一一对应关系，并且F上任意两点所确定的线段与F’上与之对应的两点所确定的线段总相等，那么图形F和图形F’称为相等或合同．•显然，图形的相等具有反身性，对称性和传递性．•定理1在相等的图形中，与共线点对应的仍是共线点．•推论直线的相等图形是直线．•定理2相等图形的对应角相等．•图形的相等有两种情况.•在平面几何中，两个相等的图形F和F’，对于F上不共线的任意三点A、B、C和F’上三个对应点A’、B’、C’，如果我们让两双对应点重合，则第三双对应点或者重合，或者对称于重合直线．•如果重合，两图形F和F’称为全(相)等，这时两图形的转向相同,如图(1)．•如果对称于重合直线，则称F和F’镜照相等，这时两图形的转向相反,如图(2)．（1）（2）两个全相等的平面图形，只要有两对对应点叠合，便完全叠合了．两个镜照相等的平面图形，若不将其中一个离开平面，就无法叠合．4.2平移和旋转变换•4.2.1运动•所谓运动就是一个变换，把图形F的点变换为图形F’的点，使任意两点间的距离(从而使角度)总保持不变，转向也保持不变．•两个全等图形可用运动而叠合．•将一图形变换为其自身使其每一点都不动的运动称为幺变换．记作I.•设图形F经运动f变换为图形F’，则写作f(F)＝F’．因为两个图形的运动是可逆的，所以称F’到F的变换为f的逆(变换)，记作F＝f-1(F’)．•如果一个平面图形经过f1与f2两次一一变换，所得到的像与经过一一变换f3所得到的像完全相同，我们就说f3是f1与f2的积，记作f3＝f2·f1．•这里，值得注意的是运动的先后顺序跟书写的先后顺序相反.•经过一个变换，没有变动位置的点和直线，称为这个变换的二重点(或不变点)和二重线(或不变直线)．4.2.2平移变换•设a是已知向量，T是平面上的变换．如果对于任一对对应点P、P’，通过变换T总有，•那么T叫做平移变换，记为T(a),其中a的方向叫做平移方向，|a|叫做平移距离.•由定义可知，平移变换由一向量或一对对应点唯一确定.•恒等变换可以看成是平移变换，其平移向量是零向量，即I=T(0).•在T(a)变换下，点A变为A’，图形F变为F’，可表示为PPa()(),TTAAFFaa•平移变换具有下列性质：•性质1平移是运动.•性质2平移的逆是平移.•性质3两平移变换的乘积仍是一个平移.•性质4在平移变换下，直线l变为直线l’，并且l∥l’或者l与l’重合．•性质5非恒等变换的平移没有不变点，但有无数条不变直线，它们都平行于平移方向.4.2.3旋转变换•设O为平面上一定点，φ为一个有向角，R是平面上的变换．如果对于任一对对应点P、P’，通过变换R总有OP=OP’，∠POP’=φ．那么变换R叫做以O为旋转中心，φ为旋转角的旋转变换，记为R(O,φ).•显然，旋转变换由旋转中心与旋转角唯一确定.•旋转中心相同，旋转角相差2π的整数倍的旋转变换被认为是相同的.•旋转角为零的旋转变换是恒等变换.•在旋转变换R(O,φ)下，点A变为A’，图形F变为F’，可表示为.(,)(,),ROROAAFF•旋转变换具有下列性质：•性质1当旋转角φ≠180°时，直线与其对应直线的交角等于φ．•性质2关于同一旋转中心的两个旋转变换的乘积仍是一个旋转．•性质3旋转变换的逆变换仍是一个旋转变换．•性质4非恒等的旋转变换只有一个不变点——旋转中心，当旋转角φ≠180°时，旋转变换没有不变直线．•特别地，旋转角为180°的旋转变换称为中心对称变换或点反射，其旋转中心叫做对称中心．•综上可知，平面上的运动有平移、旋转、以及它们的乘积．4.2.4平移和旋转变换的应用•根据已知图形的特点，对图形中部分元素施行某种变换，构成新图形，使得在新图形中容易发现已知元素与未知元素的关系.这里运用变换思想，实际上就是启发我们如何添置辅助线，以达到快捷解题的目的.例1P为平行四边形ABCD内一点，试证以PA,PB,PC,PD为边，可以构成一个凸四边形，其面积恰为平行四边形ABCD面积的二分之一．P’例2有一条河，两岸有A、B两地，要设计一条道路，并垂直于河岸架一座桥.如何设计才能使A、B路线最短？n河流ABmEFA’例3点P在正方形ABCD内，若PA:PB:PC=1:2:3，求∠APB的度数.例4在△ABC内有一点P，满足条件∠APB=∠BPC=∠CPA=120°．求证P是到三顶点距离之和最小的点．•注本例称为三角形的费尔马问题．此题有多种证法，比较简洁的方法是运用旋转变换，将从一点出发的三线段适当变位，使它们首尾相连，处于同一条直线（或折线）上，再进行比较．4.3轴反射或轴对称变换•4.3.1轴反射变换的性质•l是平面上的定直线，S是平面上的变换，P，P’是一对对应点．如果线段PP’被直线l垂直平分，那么S叫做平面上的轴反射或轴对称变换，记为S(l)，l叫做反射轴.•轴反射变换由反射轴和一对对应点唯一确定.•在轴反射变换S(l)作用下，点A变为点A’，图形F变为图形F’，可表示为:()(),SlSlAAFF•轴反射变换具有下列性质：•性质1具有同一条反射轴的两个轴反射的乘积是恒等变换．•注具有不同反射轴的两个轴反射的乘积不一定是轴反射变换．•性质2在轴反射S(l)变换下，反射轴l是不动点的集合，垂直于反射轴的直线是不变直线．•性质3设P为反射轴l上一点，A、A’是一对对应点，则∠APA’被l所平分.4.3.2轴反射变换的运用•例1(蝴蝶定理)如图，AB是⊙O的弦，M是其中点，弦CD、EF经过点M，CF、DE交AB于P、Q.求证MP=QM．例2A、B在直线l的同侧，定长线段PQ在a上平行移动，问PQ移动到什么位置时，AP+PQ+QB的长最短？ABlPQ4.4平移、旋转、轴反射之间的关系•两个平移变换的乘积仍然是平移变换，两个同中心的旋转变换的乘积仍然是旋转变换，具有同一反射轴的两个轴反射变换的乘积是恒等变换.•问：具有不同反射轴的两个轴反射的乘积是什么变换？两个不同中心的旋转变换的乘积是什么变换？•定理1设S(l1)、S(l2)是两个轴反射变换．•(1)如果l1∥l2，那么S(l2)·S(l1)是一个平移变换；•(2)如果l1与l2相交，那么S(l2)·S(l1)是一个旋转变换．•定理1的逆命题也成立．即•定理2任何一个平移变换可以表示为两个反射轴平行的轴反射变换的乘积；任何一个旋转变换可以表示为两个反射轴相交的轴反射变换的乘积．•值得注意的是，由于第一条轴可以任意取，所以定理2中的分解方法并不唯一．定理3对于两个不同中心的旋转变换R(O1，φ1)、R(O2，φ2)，如果φ1+φ2≠2kπ(k∈Z)，则R(O2，φ2）·R(O1，φ1）是个旋转变换；如果φ1+φ2=2kπ(k∈Z)，则R(O2，φ2)·R(O1，φ1)是个平移变换．•推论及例题自学。4.5相似变换•4.5.1相似变换的性质•一个平面图形到自身的变换，如果对于任意两点A、B，以及对应点A’、B’，总有A’B’=kAB（k为正实数），那么，这个变换叫做相似变换，实数k叫做相似比．相似比为k的相似变换常记为H(k)．•显然，当k＝1时，H(k)就是合同变换．•在相似变换下，点A变为点A’，图形F变为图形F’，可表示为•此时，称F、F’是相似图形，记为F∽F’．()(),HkHkAAFF•与合同图形类似，如果在两个相似图形上，每两个对应三角形沿周界环绕方向相同，则称这两个图形真正相似；如果对应三角形沿周界环绕方向相反，那么称这两个图形镜像相似．•相似变换具有下列性质：•性质1相似变换的乘积仍然是相似变换．•性质2相似变换的逆变换仍然是相似变换．•性质3相似变换保持点与直线的结合关系，以及点在直线上的顺序关系不变．•性质4在相似变换下，三点所确定的线段之比保持不变．•相似变换的其它不变量还有：两直线间夹角的大小，两平面图形的面积之比，等等．4.5.2位似变换的性质•位似变换是最简单、最基本的相似变换．•O是平面π上一定点，H是平面上的变换．若对于任一对对应点P、P’，都有•(k为非零实数)，则称H为位似变换，记为H(O,k)，O叫做位似中心，k叫做位似比．OPkOP•由定义可知：•(1)O，P，P’共线；•(2)OP’=|k|·OP；•(3)当k＞0时，P，P’在点O同侧(此时O叫做外位似中心)；当k＜0时，P，P’在点O异侧(此时O叫做内位似中心)．•显然，位似变换H(O,1)就是恒等变换，而位似变换H(O,-1)是以点O为中心的中心对称变换．•由于位似变换是相似变换，所以位似变换具有相似变换的所有性质.除此，位似变换还具有下列性质：•性质1具有相同位似中心的两个位似变换的乘积，仍为位似变换．•性质2位似变换的逆变换仍为位似变换．•性质3在位似变换下，位似中心是不变点，过位似中心的直线是不变直线．•性质4在位似变换下，对应线段之比相等，对应角相等且转向相同，不过中心的对应直线平行(当k＞0时，同向平行；当k＜0时，反向平行)．•性质5两个不同中心的位似变换的乘积或者是位似变换(此时三个位似中心共线)；或者是平移变换(平移方向平行于两中心所在直线)．图（1）图（2）•4.5.3相似变换和位似变换的应用•例1以△ABC的三边为底作三个方向相同的相似等腰三角形△C’BA、△A’BC、△B’AC．求证A’B’AC’是平行四边形.C'B'A'CBA•例2PT,PB是⊙O的切线，AB是直径，H是T在AB上的射影.求证PA平分TH．S•例3在△ABC中，AB=AC，⊙O1与△ABC的外接圆⊙O内切于D，与AB、AC切于P、Q，求证PQ的中点M是△ABC的内心．B’C’作业P1063，5，7，9，11，16