双曲线及其标准方程教案

双曲线及其标准方程（第一课时）教学目标：1．掌握双曲线的定义，能说出其焦点、焦距的意义；2．能根据定义，按照求曲线方程的步骤推导出双曲线的标准方程，熟练掌握两类标准方程；3．能解决较简单的求双曲线标准方程的问题；4．培养学生观察、分析、归纳和逻辑推理能力。教学重点：双曲线的定义和标准方程。教学难点：双曲线标准方程的推导过程。教学过程：一、创设情景，引入新课：师：我们先来思考这样一个问题：（打开几何画板）已知定点)0,1(1F和)0,1(2F，定圆1C的圆心为1F，且半径为r，动圆2C过定点2F，且与定圆相切。（1）若4r，试求动圆圆心的轨迹；（2）若1r，试求动圆圆心的轨迹。（教师结合几何画板演示分析）：师：当4r时，我们得到的轨迹是什么？生：是椭圆。师：为什么？生：因为当4r时动圆2C内切于定圆1C，所以两个圆的圆心距1MF满足214MFMF，移项后可以得到：421MFMF满足椭圆的定义，所以得到的轨迹是一个以1F、2F为定点，4为定长的椭圆。师：很好。那么，当1r呢，此时动圆2C与定圆1C相切有几种情况？生：有两种情况：内切和外切。师：我们先来考察两圆外切时的情况（演示），我们得到的轨迹满足什么条件？生（同时教师板书）：由于两圆外切，所以两个圆的圆心距1MF满足211MFMF，移项后可以得到：121MFMF。(教师演示轨迹)师：我们再来考察两圆内切时的情况（演示），我们得到的轨迹又满足什么条件？生（同时教师板书）：由于两圆内切，所以两个圆的圆心距1MF满足121MFMF，移项后可以得到：121MFMF。(教师演示轨迹)师（同时演示两种情况下的轨迹）：我们可以得到与定圆相切且过定点的动圆的圆心满足121MFMF即121MFMF，圆心的轨迹我们称之为双曲线。二、新课讲解：1、定义给出师：今天我们来学习双曲线。同学们能否结合刚才的问题给双曲线下个一般定义？生：双曲线是到平面上两个定点1F、2F的距离的差的绝对值等于常数的点的轨迹。这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点的距离叫做双曲线的焦距。师：由椭圆的定义，一般情况下，我们设该常数为2a。那么什么情况下表示的是双曲线的右支，什么情况下表示的是双曲线的左支？生：当aMFMF221时，表示的是双曲线的右支，当aMFMF221时，表示的是双曲线的左支。2、定义探究（教师引导学生分情况讨论）：师：这个常数2a有没有限制条件？生：有。这个常数2a要比焦距21FF小。师：很好。为什么要有这个限制条件呢？其他情况会是怎样的呢？我们一起来分析一下：（1）若a=0，则有021MFMF即21MFMF，此时轨迹为线段21FF的中垂线；（2）若2a=21FF,则有2121FFMFMF，此时轨迹为直线21FF上除去线段21FF中间部分，以1F、2F为端点的两条射线；（3）若2a21FF,则根据三角形的性质，轨迹不存在。3、双曲线标准方程的推导过程：师：我们学过求曲线的方程的一般步骤，现在我们一起根据定义求双曲线的标准方程。（师生互动，共同推导之）第一步：建立直角坐标系；第二步：设点：设M(x，y)，焦点分别为)0,(1cF和)0,(2cF，M到焦点的距离差的绝对值等于2a；第三步：启发学生根据定义写出M点的轨迹构成的点集：aMFMFMP221；第四步：建立方程：aycxycx2)()(2222；第五步：化简，得到)0,0(12222babyax教师强调：我们得到了焦点在x轴上，且焦点是)0,(1cF和)0,(2cF的双曲线标准方程为)0,0(12222babyax，这里222bac师：那么如果焦点在y轴上呢？（学生练习）生（练习后）：此时的标准方程应该是)0,0(12222babxay。4．双曲线标准方程的探讨：师：刚才我们共同推导了双曲线的标准方程。请同学想一下，双曲线标准方程中字母a、b、c的关系如何？是不是ba？生：a、b、c满足等式222bac，所以有222bca，可以得到cba,，但不能判断ba。师：很好。我们在求双曲线标准方程过程中还发现，确定焦点对求双曲线方程很重要。那么如何根据方程判定焦点在哪个坐标轴上呢？生：由于焦点在x轴和y轴上标准方程分别为12222byax和12222bxay，我们发现焦点所在轴相关的未知数的分母总是a，所以可以由a来判定。师：很好。如果我们知道的方程是12322yx，那么你如何寻找a？生：因为a所在的这一项未知数的系数是正的，所以只要找正的系数就可以了。师：如果方程是12322yx呢？生：先化成标准方程。师：请同学总结一下。生：化标准，找正号。5．运用新知：【练习】已知方程11922myx表示双曲线，则m的取值范围是__________，此时双曲线的焦点坐标是________________，焦距是________________；【变式】若将9改成m2，则m的取值范围是________________________。【例1】已知双曲线两个焦点的坐标为)0,5(1F、)0,5(2F，双曲线上一点P到1F、2F的距离的差的绝对值等于6，求双曲线的标准方程。解：因为双曲线的焦点再x轴上，所以设它的标准方程为)0,0(12222babyax，因为2a=6，2c=10，所以a=3，c=5。所以1635222b，所以所求双曲线的标准方程为116922yx。【变式】已知两个定点的坐标为)0,5(1F、)0,5(2F，动点P到1F、2F的距离的差等于6，求P点的轨迹方程。解：因为621PFPF，所以P的轨迹是双曲线的右支，设双曲线标准方程为)0,0(12222babyax，因为2a=6，2c=10，所以a=3，c=5。所以1635222b，所以所求P点的轨迹方程为)3(116922xyx。【例2】已知双曲线的焦点在y轴上，并且双曲线上两点1P、2P的坐标分别为)5,49()24,3(、，求双曲线的标准方程。解：因为双曲线的焦点在y轴上，所以设所求双曲线的标准方程为)0,0(12222babxay，因为点1P、2P在双曲线上，所以点1P、2P的坐标适合方程，代入得：1492513)24(2222222baba可解得：91622ba。所以所求双曲线得标准方程为：191622xy。【变式】已知双曲线的焦点在坐标轴上，并且双曲线上两点1P、2P的坐标分别为)5,49()24,3(、，求双曲线的标准方程。（分情况讨论）【练习】（1）ABC一边两个端点是)6,0(B和)6,0(C，顶点A满足8ACAB，求A的轨迹方程。（2）ABC一边的两个端点是)6,0(B和)6,0(C，另两边所在直线的斜率之积是94，求顶点A的轨迹。三、本课小结：师：我们总结一下本节课我们学了什么？生：1、双曲线的定义；2、双曲线标准方程推导过程；3、运用已有知识解决一些简单的问题。四、作业：课本P108：2、3、4问题：一炮弹在M处爆炸，在1F、2F处听到爆炸声。已知两地听到爆炸声的时间差为2s，又知两地相距800m，并且此时的声速为sm/340，那么M点一定在哪条曲线上？