1.1.1正弦定理

1.1.1正弦定理在数学发展史上，受到天文测量、航海测量和地理测量等方面实践活动的推动，解三角形的理论得到不断发展，并被用于解决许多测量问题。在初中，我们已经能够借助于锐角三角函数解决有关直角三角形的一些测量问题。在实际工作中我们还会遇到许多其他的测量问题，这些问题仅用锐角三角函数就不够了，如：4.怎样测出海上航行的轮船的航速和航向？这些问题的解决需要我们进一步学习三角形中边与角关系的有关知识。在本章中我们要学习正弦定理和余弦定理，并学习应用这两个定理解三角形以及解决实际测量中的一些问题。3.怎样在水平飞行的飞机上测量飞机下方山顶的海拔高度？1.怎样在航行途中测出海上两个岛屿之间的距离？2.怎样测量底部不可到达的建筑物的高度？思考：在直角三角形中，“边”与“角”的关系如何？Rt中ABC222abcsin,sinacAbcBsinsinabABsin1CsinsinsinabcABC思考：对于一般三角形，上述结论是否成立？我们知道，在任意三角形中有大边对大角，小边对小角的边角关系，我们是否能得到这个边、角关系准确量化的表示呢？bCDaCDABsin,sin所以CD=asinB=bsinA,即,sinsinBbAa同理可得,sinsinCcBbCcBbAasinsinsin即：DCabAB图1过点C作CD⊥AB于D,此时有若三角形是锐角三角形,如图1,探究一CCbADsinsin）（且CcBbAasinsinsin仿上可得D若三角形是钝角三角形,以上等式仍然成立吗?此时也有cADBsin交BC延长线于D,过点A作AD⊥BC，CAcbB图2探究二正弦定理:在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等.CcBbAasinsinsin即思考是否可以用其他方法证明正弦定理?法一：OC/cbaCBA',90CCCBARCcBbAaRBbRAa2sinsinsin2sin,2sin同理作外接圆O,过B作直径BC/,连AC/,RcCC2sinsin'RCc2sin∵BACDabcaABCahS21而CbBcADhasinsin∴CabBacSABCsin21sin21同理∴BacAbcCabSABCsin21sin21sin21haAbcSABCsin212sinsinsinABCabcabcSABC法二：剖析定理、加深理解正弦定理可以解决三角形中哪类问题：2，已知两角和一边，求其他角和边.1，已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角，进而可求其他的边和角.RCcBbAa2sinsinsin一般地，把三角形的三角A,B,C和他们所对的边a，b，c叫做三角形的元素。已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形。例题讲解解三角形中，已知、在例,10,45,151cmaBAABC120)4515(180)(180BAC定理，解：根据三角形内角和))(31(1015sin45sin10sinsincmABab根据正弦定理，))(31(6515sin120sin10sinsincmACac根据正弦定理，已知两角和任意边，求其他两边和一角练1在△ABC中，已知c=10cm,A=45。,C=30。求a,b.解：且105C)(A180B∵CcBbsinsin∴b=CBcsinsin(cm)=30sin105sin10已知两角和任意边，求其他两边和一角CcAasinsin∵∴a=CAcsinsin(cm)=21030sin45sin10BACabc)26(5试一试例题讲解)11(,40,28,20.2cmAcmbcmaABC，边长精确到角度精确到解三角形。中，已知在例.8999.02040sin28sinsinaAbB解：根据正弦定理，116,64,1800BBB或所以因为).(3040sin76sin20sinsin,76)6440(180)(18064)1(cmACacBACB时，当).(1340sin24sin20sinsin,24)11640(180)(180116)2(cmACacBACB时，当已知两边和其中一边的对角,求其他边和角已知两边和其中一边的对角,求其他边和角解：由正弦定理BbAasinsin得231630sin316sinsinaAbB(1)当时,Ｂ＝60°C=90°,.32cC=30°,.16sinsinACac例2已知a=16，b=，A=30°.求角B，C和边c316(2)当Ｂ＝120°时,B16300ABC163160B180,BB1260,0或变式1:a=30,b=26,A=30°求角B，C和边c（参考值：）300ABC2630解：由正弦定理BbAasinsin得30133030sin26sinsinaAbB故B=26°,C=1240,49sinsinACac301326sin0B180,BB1526,4或ba,BA,变式2:a=20,b=40,A=45°解三角形.解：由正弦定理BbAasinsin得22045sin40sinsinaAbB无解。,1215,4,120abA，求B；判断解的个数：ABC25,4,90abA，求B；10335,,903abA，求B；420,28,30abA，求B；一解一解无解两解课堂小结（1）三角形常用公式：（2）正弦定理应用范围：①已知两角和任意边，求其他两边和一角②已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角。(注意解的情况)正弦定理：ABCsinsinsinabcABC＝2R一、选择题1．已知△ABC外接圆的半径为1，那么sinA∶BC＝()A．1B．2C．12D．无法确定2．在△ABC中，a＝bsinA，则△ABC一定是()A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等腰三角形CB3．在△ABC中，A＝60°，a＝43，b＝42，则()A．B＝45°或135°B．B＝135°C．B＝45°D．以上答案都不对4．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，A∶B∶C＝3∶1∶2，则a∶b∶c＝()A．1∶2∶3B．3∶2∶1C．1∶3∶2D．2∶1∶3CD二、填空题5．在△ABC中，b＝8，A＝30°，B＝120°，则a＝__________.6．在△ABC中，sinAsinB＝32，则a＋bb的值为______________．7．已知△ABC中，a＝4，b＝8，∠A＝30°，则∠B等于___________．8335290三、解答题8．在△ABC中，已知A＝45°，AB＝6，BC＝2，解三角形．2．△ABC的三内角A、B、C的对边边长分别为a、b、c，若a＝52b，A＝2B，则cosB＝()A.53B.54C.55D.56AB1．在△ABC中，a＝5，b＝3，则sinA∶sinB的值是()A.53B.35C.37D.573．在△ABC中，若sinAsinB，则有()A．abB．a≥bC．abD．a、b的大小关系无法确定4．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若A＝2B，则a等于()A．2bsinAB．2BcosAC．2bsinBD．2bcosBCD5.△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若c＝2，b＝6，B＝120°，则a等于()A.6B．2C.3D.26．在△ABC中，a、b、c分别是A、B、C所对的边，若A＝105°，B＝45°，b＝22，则c＝________.7．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，bc＝30，S△ABC＝1523，则∠A＝________.D260°或120°8．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若a＝2，b＝2，sinB＋cosB＝2，则角A的大小为_________．9．已知a、b、c分别是△ABC的三个内角A、B、C所对的边，若a＝1，b＝3，A＋C＝2B，则sinA＝________.30°1210．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若A＝30°，a＝8，b＝83，则S△ABC等于()A．323B.163C．323或163D．12311．在△ABC中，已知a＝23，b＝6，A＝30°.求角B、C和边c以及S△ABC.C