八年级上北师大版数学第一二章复习

复习第一章勾股定理一、本章知识点：１、勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，也就是说在Ｒｔ△ＡＢＣ中，设∠Ｃ＝９０°，∠Ｃ、∠Ａ、∠Ｂ所对的边分别为ｃ、ａ、ｂ，则ｃ、ａ、ｂ满足关系ａ²＋ｂ²＝ｃ²。在我国古代，人们将直角三角形中短的直角边叫做勾，长的直角边叫做股，斜边叫做弦。注意：由于直角三角形的斜边最长，故运用勾股定理时，一定要抓住直角三角形最长边（即斜边）的平方等于两短边（两直角边）的平方和。２、勾股定理的验证：勾股定理的验证方法很多，可以用测量计算，可以用代数式的变形，可以用几何证明，也可以用面积（拼图）证明，这是最常见的一种方法。验证如下：现有四块直角边长为ａ、ｂ，斜边长为ｃ的直角三角形纸板，请从中取出若干块拼图，证明勾股定理。证法１：如图１所示，∵Ｓ大正方形＝４Ｓ三角形＋Ｓ小正方形∴ｃ²＝４×ａｂ＋（ｂ－ａ）²∴ｃ²＝ａ²＋ｂ²证法２：如图２所示，∵Ｓ梯形＝２Ｓ小三角形＋Ｓ大三角形∴（ａ＋ｂ）²＝２×ａｂ＋ｃ²∴ａ²＋ｂ²＝ｃ²证法３：如图３所示，∵Ｓ大正方形＝４Ｓ三角形＋Ｓ小正方形∴（ａ＋ｂ）²＝４×ａｂ＋ｃ²∴ａ²＋ｂ²＝ｃ²３、勾股定理的作用：勾股定理揭示了直角三角形的三边关系，其作用有：（１）已知两边求第三边；（２）证明三角形中的某些线段的平方关系；（３）作长为ｎ的线段。注意：若已知直角三角形的两边求第三边时，先确定是直角边还是斜边。若求直角边，则利用勾股定理的变形式ａ＝ｃ²－ｂ²＝（ｃ＋ｂ）（ｃ－ｂ）或ｂ＝ｃ²－ａ²＝（ｃ＋ａ）（ｃ－ａ）；若求斜边，则利用ｃ＝ａ²＋ｂ²；若不能确定则分以上两种情况讨论。４、勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长ａ、ｂ、ｃ有下面关系：ａ²＋ｂ²＝ｃ²，那么，这个三角形是直角三角形。注意：勾股定理的逆定理不能叙述为：当斜边的平方等于两条直角边的平方和时，这个三角形是直角三角形。而要叙述成：若三角形的三条边长分别是ａ、ｂ、ｃ，且满足ｃ²＝ａ²＋ｂ²或ａ²＝ｂ²＋ｃ²或ｂ²＝ａ²＋ｃ²，则△ＡＢＣ为直角三角形。５、勾股数：满足ａ²＋ｂ²＝ｃ²的三个正整数称为勾股数，当ｋ＝１，２„„ｎ时，下列各组数都是常ａａｂｂｃｃａｂｂａｂａａｂｃｃｃｃｃｃａｂｃｃｂａａａｂｂ见勾股数：｛３，４，５｝、｛５，１２，１３｝、｛８，１５，１７｝、｛７，２４，２５｝、｛９．４０．４１｝等。６、互逆命题：在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的题设，那么这两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个另一个命题就叫做它的逆命题。７、互逆定理：如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理叫做互逆定理，其中一个定理叫做另一个定理的逆定理。二、本章数学思想方法：数形结合思想：由“数”思“形”、由“形”想“数”，两者巧妙结合，起到互通、互译的作用，是解决几何问题最常用的方法之一。分类讨论思想：当结果不能确定，有多种情况时，对每种可能的情况都要进行一一讨论。方程思想面积证题法（等面积法）三、例题讲解：一、审题不仔细，受定势思维影响例1在△ABC中，,,ABC的对边分别为,,abc，且2()()ababc，则（）（A）A为直角（B）C为直角（C）B为直角（D）不是直角三角形例2已知直角三角形的两边长分别为3、4，求第三边长.二、概念不明确，混淆勾股定理及其逆定理例3下列各组数据中的三个数，可作为三边长构成直角三角形的是（）（A）1、2、3（B）2223,4,5（C）1,2,3（D）3,4,5例4在B港有甲、乙两艘渔船，若甲船沿北偏东60方向以每小时8海里的速度前进，乙船沿南偏东某个角度以每小时15海里的速度前进，2小时后，甲船到M岛，乙船到P岛，两岛相距34海里，你知道乙船是沿哪个方向航行的吗？四、练习题1.已知直角三角形的两分别为4和5,则第三条边是____________.2.将一根长为24cm的筷子置于底面直径为5cm,高为12cm的圆柱形水杯中,则筷子露在杯子外面的长h的取值范围是____________________.3.一块平地上,小王家房前7米远处有一棵大树,在一次强风中,这棵大树从离地6米高的地方折断倒下,量得倒下部分的长是10米,则大树倒下时能碰到小王家的房子吗?________4.在△ABC中,AB=AC=10cm,BC=12cm,求△ABC的面积?5.如图，小明在A时测得某树的影长为2m，B时又测得该树的影长为8m，若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为_____m.第6题图A时B时6.有一块直角三角形的绿地,测得两直角边长分别为6m和8m,现在要将绿地扩充成等腰三角形,且扩充部分是以8m为直角边的三角形,求扩充后等腰三角形绿地的周长.7.已知一个直角三角形的斜边2,两直角边的和为13,则这个三角形的面积为__________.8.已知等腰三角形的周长是20cm,底边上的高是6cm,则底边长为___________.9.在一棵树的10m高处有两只猴子,一只爬下树跳向离树20cm处的池塘,另一只爬上树顶后直扑池塘.如果两只猴子经过的路程相等,则这棵树有多高.10.已知两线段上2和6,第三条线段是_____________时,它们可以组成直角三角形.11.D是三角形ABC的边BC上一点,已知AB=13,AD=12,BD=5,求BC的长.12.三角形的两边为5和4,要使它成为直角三角形,则第三边的平方是__________.13有一圆柱高12cm,底面半径是3cm,在圆柱下底面A处有一个蚂蚁,它想得到上面B处的食物,则蚂蚁经过的最短距离是_________________.第二章实数1．无理数无限不循环小数叫做无理数.无理数也有正、负之分.只有符号不同的两个无理数，它们互为相反数.2．实数有理数和无理数统称为实数.实数可以这样分类：正有理数有理数零——有限小数或无限循环小数实数负有理数正无理数无理数——无限不循环小数负无理数巩固练习1．将下列各数填入适当的括号内：0、-3、2、6、3.14159、32.0、722、5、π、0.3737737773„.有理数：﹛﹜；无理数：﹛﹜；正实数：﹛﹜；负实数：﹛﹜；非负数：﹛﹜；整数：﹛﹜.2．判断下列说法是否正确，并说明理由：(1)无限小数都是无理数；(2)无理数都是无限小数；(3)正实数包括正有理数和正无理数；(4)实数可以分为正实数和负实数两类.{{{{3．请构造几个大小在3和4之间的无理数.4．用“是”、“不是”、“统称”、“包括”、“叫做”填空，并体会这些词的含义：(1)2分数.(2)0有理数.(3)无限不循环小数无理数.(4)实数有理数和无理数.(5)正整数、0和负整数整数.(6)有理数有限小数或无限循环小数.经典例题类型一．有关概念的识别1．下面几个数：0.23，1.010010001„，，3π，，，其中，无理数的个数有（）A、1B、2C、3D、4举一反三：【变式1】下列说法中正确的是（）A、的平方根是±3B、1的立方根是±1C、=±1D、是5的平方根的相反数【变式2】如图，以数轴的单位长线段为边做一个正方形，以数轴的原点为圆心，正方形对角线长为半径画弧，交数轴正半轴于点A，则点A表示的数是（）A、1B、1.4C、D、【变式3】类型二．计算类型题2．设，则下列结论正确的是（）A.B.C.D.举一反三：【变式1】1）1.25的算术平方根是__________；平方根是__________.2）-27立方根是__________.3）___________，___________，___________.【变式2】求下列各式中的（1）（2）（3）类型三．数形结合3.点A在数轴上表示的数为，点B在数轴上表示的数为，则A，B两点的距离为______举一反三：【变式1】如图，数轴上表示1，的对应点分别为A，B，点B关于点A的对称点为C，则点C表示的数是（）．A．－1B．1－C．2－D．－2[变式2]已知实数、、在数轴上的位置如图所示：化简类型四．实数绝对值的应用4．化简下列各式：(1)|-1.4|(2)|π-3.142|(3)|-|(4)|x-|x-3||(x≤3)(5)|x2+6x+10|举一反三：【变式1】化简：类型五．实数非负性的应用5．已知：=0，求实数a,b的值。举一反三：【变式1】已知(x-6)2++|y+2z|=0，求(x-y)3-z3的值。【变式2】已知那么a+b-c的值为___________类型六．实数应用题6．有一个边长为11cm的正方形和一个长为13cm，宽为8cm的矩形，要作一个面积为这两个图形的面积之和的正方形，问边长应为多少cm。举一反三：【变式1】拼一拼，画一画：请你用4个长为a，宽为b的矩形拼成一个大正方形，并且正中间留下的空白区域恰好是一个小正方形。（4个长方形拼图时不重叠）（1）计算中间的小正方形的面积，聪明的你能发现什么？（2）当拼成的这个大正方形边长比中间小正方形边长多3cm时，大正方形的面积就比小正方形的面积多24cm2，求中间小正方形的边长.类型七．易错题7．判断下列说法是否正确（1）的算术平方根是-3；（2）的平方根是±15.（3）当x=0或2时，（4）是分数