浅谈极限对数学的意义

浅谈极限对数学的意义极限的思想是近代数学的一种重要思想，数学分析就是以极限概念为基础、极限理论(包括级数)为主要工具来研究函数的一门学科。所谓极限的思想，是指用极限概念分析问题和解决问题的一种数学思想。用极限思想解决问题的一般步骤可概括为：对于被考察的未知量，先设法构思一个与它有关的变量，确认这变量通过无限过程的结果就是所求的未知量；最后用极限计算来得到这结果。极限的思想由来已久.公元前三世纪,古代伟大的科学家阿基米德，利用“逼近法”算出球面积、球体积、抛物线、椭圆面积，而公元前五世纪，我国的庄周所著的《庄子》一书的“天下篇”中，记有“一尺之棰，日取其半，万世不竭”。这其中就用到了极限思想。这些早期的极限思想还很原始与朴素，但为其后极限的发展奠定了基础。说到极限的作用，就不得不提到微积分。可以说极限就是微积分的基础，而微积分的发展是建立在极限理论发展之上的。而微积分对现代文明的贡献之大毋庸置疑。由此极限的重要性可见一斑。现在任何一所大学的数学系的学生都会先学极限，之后再学微积分。但历史上微积分却比极限产生的早，可以说微积分是一个早产儿。这个早产儿在实际中应用的非常好，但是在理论上却是模糊不清。由此还引发了第二次数学危机。拯救危机的方法就是清晰的定义极限。十七世纪，微积分出现了。领军人物是两个伟大的智者。一个家伙叫牛顿，而另一个叫莱布尼茨。牛顿通过对力的研究发明了微积分，虽然现在看来这样的微积分还很原始，仅仅涉及一重，只有一个变量。但是它的意义是无可估量的。而莱布尼茨则通过对切线的研究，得到了微积分。他不仅发明了微积分，而且现代微积分很多符号都是他定义的，他在理论方面的研究价值巨大。可是无论是牛顿，还是莱布尼茨，都有一些基本的理论问题无法解决。而这些问题也困扰了他们一生。到底是什么样的问题呢？首先我们要来了解微积分是什么。微积分分为微分和积分。微分的定义为：设函数y=f(x)在x0的邻域内有定义，x0及x0+Δx在此区间内。如果函数的增量Δy=f(x0+Δx)−f(x0)可表示为Δy=AΔx+o(Δx)（其中A是不依赖于Δx的常数），而o(Δx0)是比Δx高阶的无穷小，那么称函数f(x)在点x0是可微的，且AΔx称作函数在点x0相应于自变量增量Δx的微分，记作dy，即dy=AΔx。其中的A就是我们高中时所学的导数。我们的确这样定义了微分，可是问题来了，什么事无穷小量，这是一个毫无概念东西，既无数学公式，又无严谨的证明。至于高阶无穷小量，它本身就是一个基于无穷小量的概念，没有无穷小量，高阶更无从谈起。积分的定义：首先有一个连续函数在区间上。让......是任意（随机选择）的间隔分区，其中分为间隔成子区间（细分）。让......采样（采样点）的子区间选择。也就是说，在，在，在......，和在。定义分区网格最大的子区间的长度。也就是说，让，为并定义定积分在区间是最普遍的定义为。定积分这里同样有问题，mesh趋近与0到底是一个什么样的概念呢。与0距离是多少算趋近，1,1/2，还是1/n。后来人们发现，微积分的问题不在本身，而在于它的理论基础。十九世纪，一个伟大的数学大师解决了这个问题：柯西。法国数学家柯西通过对极限的严格定义，来澄清微积分上的基础问题的混乱。他是这样定义函数极限的：设f:(a,+∞)→R是一个一元实值函数，a∈R.如果对于任意给定的ε0，存在正数X，使得对于适合不等式xX的一切x，所对应的函数值f(x)都满足不等式.│f(x)-A│ε则称数A为函数f(x)当x→+∞时的极限，记作f(x)→A(x→+∞).这样对极限的完美定义，使得微积分一下变得清晰明了。而他对极限的定义方法，却是用有限的数X来定义无限趋近这一概念。这样的定义既简单，又容易让人理解。同时也让人们对微积分有了更深一步的认识，为微积分的发展做出了巨大贡献。因为在二重，三重，甚至多重微积分中，直观的感受已经无法描述出微积分的概念。而通过极限却可以让人很好的理解，研究微积分。二重积分定义：设二元函数z=f(x,y)定义在有界闭区域D上,将区域D任意分成n个子域Δδi(i=1,2,3,…,n)，并以Δδi表示第i个子域的面积.在Δδi上任取一点(ξi,ηi),作和limn→+∞(n/i=1Σ(ξi,ηi)Δδi).如果当各个子域的直径中的最大值λ趋于零时,此和式的极限存在,则称此极限为函数f(x,y)在区域D上的二重积分,记为∫∫f(x,y)dδ,即∫∫f(x,y)dδ=limn→+∞（Σf(ξi,ηi)Δδi）三重积分定义：如果当各小闭区域的直径中的最大值趋于零时这和的极限总存在，则称此极限为函数f(xyz)在闭区域上的三重积分。多重微积分的发展极大的推动了科学的进步，不光是物理学等基础学科的发展。工程力学，机械科学等实用性学科也发展了起来。同时极限理论的发展导致了微积分的大发展。从而一个新的数学分支出现了：数学分析。数学分析分支现在成为了数学系学生的必修课，而其他理工科类也必须学习一定的数学分析知识，可以说数学分析分支是数学分支中应用最广的。我是数学系学生，学得一年，自我感受，数学分析整本书最重要的就是极限理论。极限的思想是无限靠近，通过有限来定义无限。这个思想贯穿了整本书。如果要问：“数学分析是一门什么学科?”那么可以概括地说：“数学分析就是用极限思想来研究函数的一门学科”。总而言之，极限是数学中极其重要的一个概念，它是第二次数学危机的产物，是几千年人类思想的结晶。我还记得我第一次上数学分析课时老师说过的话：“今天我们要讲的内容很重要，实际上学完这本书后你会发现这本书实际上就讲了这么一个概念：极限。”