概率论与数理统计古典概型

《概率统计》下页结束返回§１.３古典概型一、古典概型的定义二、古典概型计算公式五、几何概型及其计算三、古典概型计算步骤四、古典概型计算举例下页《概率统计》下页结束返回古典概型1.古典概型若试验E具有以下两个特征：(1)所有可能的试验结果(基本事件)为有限个，即Ω={ω1，ω2，…，ωn}；(2)每个基本事件发生的可能性相同，即P(ω1)=P(ω2)=…=P(ωn)。则称这类试验的数学模型为等可能概型（古典概型）。２.古典概型中事件概率的计算公式设随机试验E为古典概型，其样本空间Ω及事件A分别为：Ω={ω1，ω2，…，ωn}A={ωi1，ωi2，…，ωik}则随机事件A的概率为：中的基本事件总数中包含的基本事件数事件AnkAP)(下页《概率统计》下页结束返回古典概型3.古典概型的概率计算步骤中的基本事件总数中包含的基本事件数事件AnkAP)((1)指出基本事件(样本点)；(2)计算样本空间中基本事件(样本点)总数n；(3)指出事件A；(4)计算事件A中基本事件(样本点)总数k；(5)计算事件A的概率P(A)。下页《概率统计》下页结束返回古典概型4.1古典概型的概率计算举例（“数一数”法）例1.抛一枚硬币，问硬币落地后正面向上的概率是多少？解：显然，基本事件为：{正面向上}，{反面向上}，因而样本空间Ω={{正面向上}，{反面向上}}，所以Ω的基本事件总数为2。设A={正面向上}[或设A表示“正面向上”事件]，则A包含的基本事件为{正面向上}，即它包含的基本事件总数为1。所以，P(A)=1/2=0.5。例2.将一枚硬币抛两次，问试验后有一次正面向上的概率是多少？解：基本事件为：{正,正},{正,反},{反,正},{反,反}，因而样本空间Ω={{正,正},{正,反},{反,正},{反,反}}，所以Ω的基本事件总数为4。下页《概率统计》下页结束返回古典概型4.1古典概型的概率计算举例（“数一数”法）例2.将一枚硬币抛两次，问试验后有一次正面向上的概率是多少？解：基本事件为：{正,正},{正,反},{反,正},{反,反}，因而样本空间Ω={{正,正},{正,反},{反,正},{反,反}}，所以Ω的基本事件总数为4。设A={有一次正面向上}，则A={{正,正},{正,反},{反,正}}，显然A包含的基本事件总数为3。所以，P(A)=3/4=0.75。下页《概率统计》下页结束返回古典概型4.1古典概型的概率计算举例（“数一数”法）例3.口袋中有100只球，编号依次为1,2,3,…,100，现从中任取一球，问取得的球编号不超过20的概率？解：基本事件为：{1号球},{2号球},…,{100号球}，因而样本空间Ω={{1号球},{2号球},…,{100号球}}，所以Ω的基本事件总数为100。设A={取得的球编号不超过20}，则A={{1号球},{2号球},…,{20号球}}，显然A包含的基本事件总数为20。所以，P(A)=20/100=0.2。问题：在本例中，取得的球编号为5的倍数的概率是多少？下页《概率统计》下页结束返回古典概型4.2古典概型的概率计算举例（“算一算”法）例4.7件产品中有3件次品，现从中任取3件。问3件中恰有1件次品的概率？解：7件产品中任意3件的一个组合，是一个基本事件，即是一个可能的基本结果(说明这一点很重要！)，因此，所有可能的基本事件总数(即样本空间中的基本事件总数)为37C,2413CC.3518372413CCC设A={3件中恰有1件次品},则A包含的基本事件总数为从而，P(A)=（具体算法描述见下页）下页《概率统计》下页结束返回01：1,2,310：1,4,519：2,3,728：3,4,702：1,2,411：1,4,620：2,4,529：3,5,603：1,2,512：1,4,721：2,4,630：3,5,704：1,2,613：1,5,622：2,4,731：3,6,705：1,2,714：1,5,723：2,5,632：4,5,606：1,3,415：1,6,724：2,5,733：4,5,707：1,3,516：2,3,425：2,6,734：4,6,708：1,3,617：2,3,526：3,4,535：5,6,709：1,3,718：2,3,627：3,4,6说明：若用1,2,3表示3个次品，用4,5,6,7表示4个正品，则以下为样本空间Ω(基本事件总数为35)，绿色的为A包含的基本事件(18个)。算法：A的基本事件是从Ω中逐个挑选出来的！其个数等价于“形成”事件A的种数。这是矛盾转化的关键思路。下页《概率统计》下页结束返回古典概型4.2古典概型的概率计算举例（“算一算”法）例5.一套5卷的选集随机地排放在书架上，问：(1)第1卷放在最左边的概率？(2)从左到右正好按卷号排成12345的概率？解：5卷选集在5个位置上的任一种排列，是一个基本事件，因此，所有可能的基本事件总数(即样本空间中的基本事件总数)为5！。设A={第1卷放在最左边},B={从左到右正好按卷号排成12345}。则A包含的基本事件总数为1*4!，B包含的基本事件总数为1。从而，P(A)=4!/5!，P(B)=1/5!。小结：计算样本空间所含基本事件总数，有时用排列有时用组合，那么何时用排列何时用组合？一般来讲，当考虑“顺序”时用排列，不考虑“顺序”时用组合。另外，当考虑“顺序”时，样本空间及所关心的事件A所包含的基本事件总数的计算，都要用排列，反之亦然。下页《概率统计》下页结束返回古典概型4.3古典概型的概率计算举例（利用运算性质）例6.口袋中有6只球，其中白球4只，黑球2只。现从中任取1只(取后不放回)，然后再任取1只，求：(1)取到2只白球的概率?(2)取到两个颜色相同的球的概率?(3)至少取到1只白球的概率?解：6只球中的任意2只球的一种排列，是一个基本事件，因此，所有可能的基本事件总数为P62。设A={取到2只白球},B={取到2只黑球},C={取到两个颜色相同的球},D={至少取到1只白球}。则A包含的基本事件总数为P42，B包含的基本事件总数为P22，则P(A),P(B)可求。而显然，C=A∪B=A+B；D+B=Ω（即D与B互逆），从而有，P(C)=P(A)+P(A)；P(D)=1-P(B)。下页《概率统计》下页结束返回古典概型4.4古典概型的概率计算举例（经典问题）例7.设口袋中有a个白球，b个黑球，现从中一个一个地取出，求第k次取到黑球的概率。解：设想将取出的球依次排放在a+b个位置上，于是，a+b个球在a+b个位置上的一种排列，就是一个基本事件，所以基本事件总数为(a+b)!。设A={第k次取到黑球}，事件A相当于在a+b个位置中的第k个位置上被放入黑球。显然，第k个位置为黑球的排列种数为b(a+b-1)!，即第k个位置为黑球有b种确定方法，而其余的(a+b-1)个位置可以任意地放剩余的球，即它们进行全排列即可。于是，P(A)=b/(a+b)。下页《概率统计》下页结束返回古典概型4.4古典概型的概率计算举例（经典问题）例7.设口袋中有a个白球，b个黑球，现从中一个一个地取出，求第k次取到黑球的概率。说明：事实上[例7]有许多解法，下面再给出一种比较简捷的解法。另解：解法的关键是把注意力放在第k次取球上。即第k次出现的事件为基本事件，显然，第k次取球共有a+b种取法(即样本点总数)，而第k次取到黑球，只有b种取法(即事件A包含的样本总数)，于是，P(A)=b/(a+b)。小结:试验的样本空间并不唯一，样本空间究竟是什么，这完全取决于你赋予基本事件的意义。至于怎样指派基本事件，很难给出固定的规则，依赖于观察问题的角度，这正是初学者感到困难的地方。也正是因为这样，古典概型的问题才具有很强的挑战性，并使不少人对此产生浓厚兴趣。下页《概率统计》下页结束返回古典概型4.4古典概型的概率计算举例（经典问题）例8.设有n个球，随机的放到m个盒子中去，(n≤m)，求下列事件的概率。(1)A={指定的n个盒子中各有一个球}；(2)B={恰有n个盒子各有一个球}。解：n个球在个m位置上的任一种放法是一个基本事件。所以,Ω中的基本事件总数为mn个。(1)指定的n个盒子各放入一个球，就是n个球在n个指定的盒子中的排列，即A中的基本事件数为n!，从而P(A)可求。(2)因为没有指定是哪n个盒子，这n个盒子可以从m个盒子中任意选取，共有Cmn种选法，即B中的基本事件数为Cmn×n!，于是P(B)可求。下页《概率统计》下页结束返回当试验结果为无限时，会比古典概率复杂得多。这里讨论无限样本空间中具有某种“等可能性”的一类问题。设Ω为某个区域（可以是一维，也可以是二维、三维）测度为m(Ω）；A为Ω的子区域，测度为m(A)。任意向Ω中投掷的点落在A中的可能性与A的测度成正比，但与A的形状和A在Ω中的位置无关。则我们规定ΩA)()()(mAmAP5.几何概型下页《概率统计》下页结束返回例9.甲、乙两艘轮船要在某个舶位停靠6小时，假定它们在一昼夜的时间段中随机的到达。试求这两艘船中至少有一艘在停靠舶位时必须等待的概率。解：设x为甲到达的时刻(0≤x24)，y为乙到达的时刻(0≤y≤24)。A={两艘船中至少有一艘在停靠舶位时必须等待}须6yx因此Ω＝{(x,y):0≤x24,0≤y24},m(Ω)=242A＝{(x,y):}6yx，m(A)=242-(24-6)2所以)()()(mAmAP4375.016724)624(24222o24624下页《概率统计》下页结束返回作业：24页6，7*，9，10结束《概率统计》下页结束返回§１.４条件概率一、条件概率⑴条件概率二、事件的独立性下页⑵乘法公式《概率统计》下页结束返回§1.4.1条件概率实际中，有时会遇到在某一事件A已经发生的条件下，求另一事件B发生的概率，称这种概率为A发生的条件下B发生的条件概率。例.设盒中10个玻璃球(6红，4蓝)，10个木质球(7红，3蓝)，从中任取1球，(1)求取出玻璃球的概率．(2)已知取出的是玻璃球，求它是红球的概率．解：设A＝{取出1个玻璃球}，B＝{取出1个红球}．(1)P(A)=10/20=1/2(2)P(B|A)=6/10问题：条件概率P(B|A)与普通概率有何关系？106)|(ABP20/1020/6)()(APABP下页《概率统计》下页结束返回§1.4.1条件概率1.定义1设A，B为随机试验E的两个事件，且P(A)＞0，则称)()()|(APABPABP一、条件概率为在事件A已发生的条件下，事件B发生的条件概率.注：条件概率与普通概率有相类似的性质，如，(1)若BC＝Φ，P((B+C)|A)=P(B|A)+P(C|A))|(1)|(ABPABP(2)下页《概率统计》下页结束返回§1.4.1条件概率2.条件概率的计算a)在缩减的样本空间上直接计算。b)利用公式计算。例1．设10件产品中有7件正品，3件次品，从中取两次，每次取1件，取后不放回，求在第一次取得正品的情况下，第二次取得正品的概率．解：（缩减样本空间法）设A＝{第一次取得正品}，B＝{第二次取得正品}，则P(B|A)=6/9=2/3。下页《概率统计》下页结束返回§1.4.1条件概率)()()|(APABPABP10721027PP例1．设10件产品中有7件正品，3件次品，从中取两次，每次取1件，取后不放回，求在第一次取得正品的情况下，第二次取得正品的概率．解：（公式法）设A＝{第一次取得正品}，B＝{第二次取得正品}，则3296下页《概率统计》下页结束返回§1.4.1条件概率例2.设10件产品中有7件正品，3件次品，从中任取两件，已知其中有1件正品，求另1件也是正品的概率．解：（公式法）设A＝{其中有１件正品}，B＝{另１件也是正品}，则)(1)()()()|(APABPAPABPABP2112102321027CCCC下页《概率统计》下页结束返回例3.设某种动物由出生而活到20岁的概率为0.8，活到25岁