高三第一轮复习-指数与指数函数

第5节指数与指数函数一、基础知识1.根式(1)根式的概念根式的概念符号表示备注如果存在实数x,使得xn=a,那么x叫做a的n次方根n1且n∈N*当n为奇数时,正数的n次方根是一个正数,负数的n次方根是一个负数an零的n次方根是零当n为偶数时,正数的n次方根有两个,它们互为相反数±an负数没有偶次方根(2)两个重要公式①ann=a(n为奇数),|a|=a,a≥0,-a,a0(n为偶数);②(an)n=a(n1且n∈N*)(注意a必须使an有意义).一、基础知识2.实数指数幂(1)分数指数幂的表示①正数的正分数指数幂的意义是amn=amn(a0,m,n∈N*,n1).②正数的负分数指数幂的意义是a-mn=1amn=1amn(a0,m,n∈N*,n1).③0的正分数指数幂是0,0的负分数指数幂无意义.一、基础知识(2)有理指数幂的运算性质①aras=ar+s(a0,r,s∈Q);②(ar)s=ars(a0,r,s∈Q);③(ab)r=arbr(a0,b0,r∈Q).(3)无理指数幂一般地,无理指数幂aα(a0,α是无理数)是一个确定的实数,有理指数幂的运算法则同样适用于无理指数幂.一、基础知识3.指数函数的图象和性质函数y=ax(a0,且a≠1)图象0a1a1图象特征在x轴上方,过定点(0,1)当x逐渐增大时,图象逐渐下降当x逐渐增大时,图象逐渐上升函数y=ax(a0,且a≠1)性质定义域R值域(0,+∞)单调性在R上递减在R上递增函数值变化规律当x=0时,y=1当x0时,y1;当x0时,0y1当x0时,0y1;当x0时,y1左右两边齐冲天，永与横轴不沾边。大1增，小1减，图象恒过（0,1)点。二、典例考点考点1、指数幂的化简与求值例1：化简（1）（2）1111010.25334273(0.0081)[3()][81(3)]100.027.883223111143342ababa0b0.(ab)ab＞，＞参考答案：(1)原式121311113233211212633311233(abab)abab.abab二、典例考点考点1、指数幂的化简与求值(2)原式11114113342333[()]31[3()]10[()]10210＝11231123101()()1030.103331033二、典例考点考点1、指数幂的化简与求值例2：(1)化简416x8y4(x0，y0)得()A．2x2yB．2xyC．4x2yD．－2x2y(2)14－12·4ab－130.1－1·a3·b－312＝________.【答案】(1)D(2)85【解析】(1)416x8y4＝16x8y414＝[24(－x)8·(－y)4]14＝24×14×(－x)8×14·(－y)4×14＝2(－x)2(－y)＝－2x2y.(2)原式＝＝85.二、典例考点考点1、指数幂的化简与求值【拓展提升】指数幂运算的一般原则(1)有括号的先算括号里的,无括号的先做指数运算.(2)先乘除后加减,负指数幂化成正指数幂的倒数.(3)底数是负数,先确定符号,底数是小数,先化成分数,底数是带分数的,先化成假分数.(4)若是根式,应化为分数指数幂，尽可能用幂的形式表示,运用指数幂的运算性质来解答.【提醒】运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数.二、典例考点考点1、指数幂的化简与求值举一反三1(1)[(0.06415)-2.5]23−3383-π0;(2)a43-8a13ba23+2ab3+4b23÷a-23-2b3a×a·a23a·a35.解:(1)原式=64100015-5223−27813-1=410315×-52×23−32313-1=52−32-1=0.(2)原式=a13[(a13)3-(2b13)3](a13)2+a13·(2b13)+(2b13)2÷a13-2b13a×(a·a23)12(a12·a13)15=a13(a13-2b13)×aa13-2b13×a56a16=a13×a×a23=a2.二、典例考点1、指数幂的化简与求值【跟踪训练】1．化简：(1)(a0，b0)；(2)2350＋2－2·214－12－(0.01)0.5.（3）（4）11203217(0.027)()(2)(21).79933713332aaaa;二、典例考点1、指数幂的化简与求值【解析】(1)原式＝＝ab－1.(2)原式＝1＋14×4912－110012＝1＋14×23－110＝1＋16－110＝1615.二、典例考点1、指数幂的化简与求值【解析】(3)原式(4)原式112322725()7()11000910549145.331713931333222(aa)(aa)113232(a)(a)aa1.二、典例考点1、指数幂的化简与求值【跟踪训练】(2)已知【解析】∴m+m-1=14,∴=m+m-1+1=14+1=15.331122221122mmmm4.mm，求11122mm4,mm216,33111222211112222mm(mm)(mm1)mmmm二、典例考点考点2、指数函数的图象及应用(2)若曲线|y|＝2x＋1与直线y＝b没有公共点，则b的取值范围是________．【答案】(1)D(2)[－1,1](1)函数f(x)＝ax－b的图象如图所示，其中a，b为常数，则下列结论正确的是()A．a1，b0B．a1，b0C．0a1，b0D．0a1，b0二、典例考点考点2、指数函数的图象及应用【典例2】已知函数y=()|x+1|.(1)作出图象.(2)由图象指出其单调区间.(3)由图象指出当x取什么值时函数有最值.【思路点拨】将函数写成分段函数的形式，作出函数的图象，由图象可求单调区间及最值.13【规范解答】(1)由已知可得,其图象由两部分组成：一部分是：另一部分是：y=3x(x＜0)图象如图所示.x1x1x11(),x11y()333,x1.，＜x1y()(x0)3x111y()x13向左平移个单位；x11y3x1.向左平移个单位＜(2)函数在(-∞，-1］上是增函数，在［-1，+∞)上是减函数.(3)当x=-1时，函数取最大值1，无最小值.|x1|1y()3【拓展提升】1.指数型函数的性质问题的求解思路对指数型函数的性质(单调性、最值、大小比较、零点等)的求解往往利用相应指数函数的图象,通过平移、对称变换得到其图象,然后数形结合使问题得解.2.指数型方程、不等式的求解思路一些指数型方程、不等式问题的求解,往往利用相应指数型函数图象数形结合求解.举一反三2已知函数f(x)=𝑙𝑜𝑔2x,x0,3𝑥,x≤0,关于x的方程f(x)+x-a=0有且只有一个实根,则实数a的取值范围是.方程f(x)+x-a=0有且只有一个实根,等价于函数y=f(x)与y=-x+a的图象有且只有一个交点.结合下面函数图象可知a1.(1,+∞)二、典例考点考点3、指数函数的性质1．下列各式比较大小正确的是()A．1.72.51.73B．0.6－10.62C．0.8－0.11.250.2D．1.70.30.93.1【答案】BA中，∵函数y＝1.7x是增函数，2.53，∴1.72.51.73；B中，∵y＝0.6x是减函数，－12，∴0.6－10.62；C中，∵0.8－1＝1.25，∴问题转化为比较1.250.1与1.250.2的大小，∵y＝1.25x是增函数，0.10.2，∴1.250.11.250.2，即0.8－0.11.250.2；D中，∵1.70.31,0.93.11，∴1.70.30.93.1.二、典例考点考点3、指数函数的性质(2)指数函数定义2.函数y=(a2-3a+3)ax是指数函数,则有()A.a=1或a=2B.a=1C.a=2D.a0且a≠1解析关闭由已知,得𝑎2-3a+3=1,𝑎0且𝑎≠1,即𝑎2-3a+2=0,𝑎0且𝑎≠1.∴a=2.二、典例考点考点3、指数函数的性质(3)解指数方程或指数不等式设函数f(x)＝12x－7，x0，x，x≥0，若f(a)＜1，则实数a的取值范围是()A．(－∞，－3)B．(1，＋∞)C．(－3,1)D．(－∞，－3)∪(1，＋∞)C4.函数f(x)=ax2+2x-3+m(a1)恒过点(1,10),则m=.二、典例考点考点3、指数函数的性质(4)定点问题解析关闭f(x)=𝑎𝑥2+2x-3+m在x2+2x-3=0时过定点(1,1+m)或(-3,1+m),∴1+m=10,解得m=9.巩固练习：1.(2013·揭阳模拟)设y1=40.9,y2=80.48,y3=()-1.5,则()(A)y3＞y1＞y2(B)y2＞y1＞y3(C)y1＞y3＞y2(D)y1＞y2＞y3【解析】选C.y1=21.8,y2=21.44,y3=21.5，∵1.8＞1.5＞1.44，∴21.8＞21.5＞21.44,∴y1＞y3＞y2.12巩固练习：2.(2013·东莞模拟)已知f(x)=32x-(k+1)·3x+2，当x∈R时，f(x)恒为正值，则k的取值范围是()(A)(-∞,-1)(B)(C)(D)【解析】选B.令t=3x，则t＞0.由题意知t＞0时，t2-(k+1)t+2＞0恒成立，即在t∈(0,+∞)上恒成立，因为所以即(,221)(1,221)(221,221)2k1tt＜2t22,tk122＜，k221.＜3.(2013·韶关模拟)设a=22.5，b=2.50，则a，b，c的大小关系是()(A)a＞c＞b(B)c＞a＞b(C)a＞b＞c(D)b＞a＞c【解析】选C.b=2.50=1,则2-2.5＜1＜22.5，即c＜b＜a.2.51c()2，2.52.51c()2,24.(2012·上海高考)方程4x-2x+1-3=0的解是______.【解析】方法一：原方程4x-2x+1-3=0可化为(2x)2-2·2x-3=0，即(2x-3)(2x+1)=0，由于2x＞0，x∈R，∴2x-3=0，即x=log23.方法二：令t=2x，则t＞0，原方程可化为t2-2t-3=0，解得t=3或t=-1(舍去)，即2x=3，∴x=log23．答案:x=log23二、典例考点考点4、指数函数性质的综合应用例1、已知(a＞0且a≠1).(1)讨论f(x)的奇偶性.(2)求a的取值范围，使f(x)＞0在定义域上恒成立.【思路点拨】先求函数的定义域，再判断奇偶性，对于恒成立问题，可借助函数的奇偶性，只讨论x＞0的情况.3x11fx()xa12【规范解答】(1)由于ax-1≠0,则ax≠1,得x≠0,所以函数f(x)的定义域为{x|x≠0,x∈R}.对于定义域内任意x，有∴f(x)是偶函数.3x11fx()xa12x33xxa111()(x)(1)(x)1a2a123x11()xfx.a12(2)由(1)知f(x)为偶函数，∴只需讨论x＞0时的情况.当x＞0时，要使f(x)＞0，即即即即ax-1＞0，ax＞1，ax＞a0.又∵x＞0，∴a＞1.因此a＞1时，f(x)＞0在定义域上恒成立.3x11()x0a12＞，x110a12＞，xxa102(a1)＞，解决指数函数的综合问题时，要把指数函数的概念和性质同函数的其他性质(如奇偶性、周期性)相结合，同时要特别注意底数不确定时，对底数的分类讨论．巩固练习：1．(2015年福建)若函数f(x)＝2