高中数学一轮复习课件：指数函数的概念与运算、性质

考纲要求1.了解指数函数模型的实际背景．2．理解有理数指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算．3．理解指数函数的概念，理解指数函数的单调性，掌握指数函数图象通过的特殊点．4．知道指数函数是一类重要的函数模型.热点提示1.本节内容在高考中的重点是指数函数的图象、性质及简单的应用，但幂的运算是解决与指数有关问题的基础，也要引起重视，另外分类讨论思想也是考查的另一重点．2．高考中，可能以选择、填空形式考查，也可能与方程、不等式等知识结合出现在解答题中，属中、低档题.•1．指数幂概念的推广•(1)正整数指数幂的概念•(2)两个规定•①a0＝(a≠0)；•②a－n＝(a≠0，n∈N*)．1•2．分数指数幂•(1)n次方根的概念•①a的n次方根：一般地，如果，那么x叫做a的n次方根，其中n1，且n∈N*.求a的n次方根，叫做把a开n次方，称作．•②a的n次方根的讨论(n1，n∈N*)•当a0时，xn＝aa的n次方根•正数a的正n次方根叫做，记作(a0)；•当a＝0时，a的n次方根为零；•当a0时，n次根式•3．指数幂的运算法则•4.指数函数的概念•指数函数是指形如的函数．y＝ax(a0，且a≠1)•5．指数函数的图象和性质函数y＝ax(a0，且a≠1)图象0a1a1图象特征在x轴，过定点当x逐渐增大时，图象逐渐下降当x逐渐增大时，图象逐渐上升上方(0,1)函数y＝ax(a0，且a≠1)性质定义域R值域(0，＋∞)单调性递减递增函数值变化规律当x＝0时，当x0时，；当x0时，当x0时，当x0时，y＝1y10y10y1y1(1)指数函数在同一直角坐标系中的图象的相对位置与底数的大小关系：在y轴右侧，图象从上到下相应的底数由大变小；在y轴左侧，图象从下到上相应的底数由大变小；即无论在y轴左侧还是右侧，底数按逆时针方向变大．(2)指数函数y＝ax与y＝(1a)x(a0且a≠1)的图象关于y轴对称.•1．设2x＝8y＋1,9y＝3x－9，则x＋y的值为()•A．18B．21•C．24D．27•解析：由已知得2x＝23(y＋1),32y＝3x－9，•答案：D2．若函数y＝(log12a)x在R上为增函数，则a的取值范围是()A．(0，12)B．(12，1)C．(12，＋∞)D．(－∞，12)解析：∵y＝(log12a)x在R上为增函数，∴log12a1，∴0a12.•答案：A•3．当a≠0时，函数y＝ax＋b与函数y＝bax(b0且b≠1)的图象只能是下图中()•解析：若a0，直线y＝ax＋b的斜率大于0，为增函数，只可能是A、B，对于A：直线y＝ax＋b在y轴上截距b1，∴y＝bax为减函数，符合；对于B：直线y＝ax＋b在y轴上截距b1，∴y＝bax为增函数，不符合；若a0，直线y＝ax＋b的斜率小于0，函数y＝ax＋b为减函数，只可能是C、D，对于C：直线y＝ax＋b在y轴上截距b1，∴函数y＝bax＝(b－1)－ax为减函数，不符合；对于D：直线y＝ax＋b在y轴上截距b1，∴函数y＝bax＝(b－1)－ax为增函数，不符合．故选A.•答案：A4．关于x的方程7x＝a＋57－a有负根，则a的取值范围是________．解析：方程有负根，则07x1，∴0a＋57－a1，解得－5a1即为a的取值范围．答案：(－5,1)5．已知函数f(x)＝ax－1ax＋1(a0且a≠1)．(1)求f(x)的定义域和值域；(2)判断f(x)的单调性．解：(1)f(x)的定义域为R，由y＝ax－1ax＋1得ax＝1＋y1－y，∵ax0，∴1＋y1－y0，解得－1y1，∴f(x)的值域是{y|－1y1}．(2)f(x)＝ax－1ax＋1＝ax＋1－2ax＋1＝1＋－2ax＋1，设x1x2，当a1时，ax1ax2.∴2ax1＋12ax2＋1，∴－2ax1＋1－2ax2＋1，∴f(x1)f(x2)，∴f(x)在R上是增函数．当0a1时，ax1ax2，∴2ax1＋12ax2＋1，∴－2ax1＋1－2ax2＋1，∴f(x1)f(x2)，∴f(x)在R上是减函数．•思路分析：①一般地，进行指数幂运算时，化负指数为正指数，化根式为分数指数幂，化小数为分数运算，同时还要注意运算顺序问题．•②对于计算结果，如果题目以根式形式给出，则结果用根式的形式表示；如果题目以分数指数幂形式给出，则结果用分数指数幂的形式给出．•③结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数．•④在条件求值问题中，一般先化简变形，创造条件简化运算而后代入求值．又a－ba＋b2＝a＋b－2aba＋b＋2ab＝6－246＋24＝210＝15，∴a－ba＋b＝15＝55.带条件的求值问题，常有两种思考方法：(1)将已知的条件变形得到所需要的值或关系式；(2)将待求的式子化成可用已知条件表示的式子.变式迁移1计算：【例2】(2009·山东卷)函数y＝ex＋e－xex－e－x的图象大致为()•思路分析：先确定函数的定义域{x|x≠0}，再确定函数的单调性，以此利用排除法可得正确答案．解：由题意，得ex－e－x≠0，所以函数定义域为{x|x≠0}．又因为y＝ex＋e－xex－e－x＝e2x＋1e2x－1＝1＋2e2x－1，所以当x0时函数为减函数．又函数y是奇函数，故选A.本题是江苏版数学必修1第55页第8题“已知函数f(x)＝2x－12x＋1，试讨论函数f(x)的单调性”的改编题．考查的函数变得复杂了，并且函数单调性问题变成了利用函数单调性讨论函数图象问题，使得考题的能力要求提高了.•变式迁移2若曲线|y|＝2x＋1与直线y＝b没有公共点，则b的取值范围是________．•解析：分别作出曲线和直线的图象，通过图象的交点个数来判断参数的取值范围．•曲线|y|＝2x＋1与直线y＝b的图象如右图所示，由图象可得|y|＝2x＋1与直线y＝b没有公共点，则b应满足的条件是b∈[－1,1]．•答案：[－1,1]•【例3】设f(x)＝ax＋b同时满足条件f(0)＝2和对任意x∈R都有f(x＋1)＝2f(x)－1成立．•(1)求f(x)的解析式；•(2)设函数g(x)的定义域为[－2,2]，且在定义域内g(x)＝f(x)，且函数h(x)的图象与g(x)的图象关于直线y＝x对称，求h(x)；•(3)求函数y＝g(x)＋h(x)的值域．•解：(1)由f(0)＝2，得b＝1，•由f(x＋1)＝2f(x)－1，得ax(a－2)＝0，•由ax0得a＝2，所以f(x)＝2x＋1.(2)由题意知，当x∈[－2,2]时，g(x)＝f(x)＝2x＋1.设点P(x，y)是函数h(x)的图象上任意一点，它关于直线y＝x对称的点为P′(y，x)，依题意点P′(y，x)应该在函数g(x)的图象上，即x＝2y＋1，所以y＝log2(x－1)，即h(x)＝log2(x－1)，x∈[54，5]．(3)由已知得，y＝log2(x－1)＋2x＋1，且两个函数的公共定义域是[54，2]，所以函数y＝g(x)＋h(x)＝log2(x－1)＋2x＋1(x∈[54，2])．由于函数g(x)＝2x＋1与h(x)＝log2(x－1)在区间[54，2]上均为增函数，当x＝54时，y＝242－1，当x＝2时，y＝5，所以函数y＝g(x)＋h(x)(x∈[54，2])的值域为[242－1,5]．•本题考查了指数函数的解析式及其函数性质的应用，其中利用函数的单调性求函数在某一闭区间上的值域或最值是一种常用的方法，是高考的重点，解决这类问题的关键是研究函数的单调性.变式迁移3在计算机的算法语言中有一种函数[x]叫做取整函数(也称高斯函数)，它表示x的整数部分，即[x]是不超过x的最大整数．例如：[2]＝2，[3.1]＝3，[－2.6]＝－3.设函数f(x)＝2x1＋2x－12，则函数y＝[f(x)]＋[f(－x)]的值域为________．解析：容易证明函数f(x)＝2x1＋2x－12是一个奇函数，所以y＝[f(x)]＋[f(－x)]＝[f(x)]＋[－f(x)]．又因为函数f(x)的值域为(－12，12)，所以当－12f(x)0时，[f(x)]＝－1，[－f(x)]＝0，因此[f(x)]＋[－f(x)]＝－1；当0f(x)12时，[f(x)]＝0，[－f(x)]＝－1，因此[f(x)]＋[－f(x)]＝－1；当f(x)＝0时，[f(x)]＋[－f(x)]＝0.故函数的值域为{－1,0}．•答案：{－1,0}【例4】已知函数f(x)＝2x－12|x|.(1)若f(x)＝2，求x的值；(2)若2tf(2t)＋mf(t)≥0对于t∈[1,2]恒成立，求实数m的取值范围．解：本题给出的函数实际上是一个分段函数．由已知得f(x)＝2x－12|x|＝2x－12x，x≥0，0，x0.(1)因为f(x)＝2，所以x≥0，且2x－12x＝2.所以2x＝1＋2，解得x＝log2(1＋2)．(2)因为t∈[1,2]，所以2tf(2t)＋mf(t)≥0可化为2t22t－122t＋m2t－12t≥0，即m(22t－1)≥－(24t－1)．因为22t－10，所以上式可化为m≥－(22t＋1)．设y＝g(t)＝－(22t＋1)，则问题转化为m≥ymax.又因为g(t)＝－(22t＋1)在[1,2]上是减函数，所以ymax＝g(1)＝－5，即m≥－5.所以，使得2tf(2t)＋mf(t)≥0对于t∈[1,2]恒成立的实数m的取值范围是[－5，＋∞)．本题解答中，指数函数y＝22t的单调性起到关键作用，以此为基础可以得出函数g(t)＝－(22t＋1)的单调性，进而有效地将问题转化为最大值问题．由此我们可以体会到，问题可以千变万化，问题中的数学对象也可以有不同的表现形式，但它们常常可以化归到基本的数学模型．因此，从基本概念、基本的数学模型出发思考和解决问题，是一种很重要的数学思想(模型的思想)．此外，等价关系“2tf(2t)＋mf(t)≥0对于t∈[1,2]恒成立⇔m≥ymax”充分体现了“特殊”通常作为“一般”的“界”的思想.变式迁移4已知f(x)＝aa2－1(ax－a－x)(a0且a≠1)．(1)判断f(x)的奇偶性；(2)讨论f(x)的单调性；(3)当x∈[－1,1]时，f(x)≥b恒成立．求b的取值范围．解：(1)函数定义域为R，关于原点对称．又因为f(－x)＝aa2－1(a－x－ax)＝－f(x)，所以f(x)为奇函数．•(2)当a1时，a2－10，•y＝ax为增函数，y＝a－x为减函数，•从而y＝ax－a－x为增函数，•所以f(x)为增函数，•当0a1时，a2－10，•y＝ax为减函数，y＝a－x为增函数，•从而y＝ax－a－x为减函数．•所以f(x)为增函数．•故当a0，且a≠1时，f(x)在定义域内单调递增．(3)由(2)知f(x)在R上是增函数，∴在区间[－1,1]上为增函数．所以f(－1)≤f(x)≤f(1)，∴f(x)min＝f(－1)＝aa2－1(a－1－a)＝aa2－1·1－a2a＝－1，∴要使f(x)≥b在[－1,1]上恒成立，则只需b≤－1，故b的取值范围是(－∞，－1]．1．单调性是指数函数的重要性质，特别是函数图象的无限伸展性，x轴是函数图象的渐近线．当0a1时，x→＋∞，y→0；当a1时，x→－∞，y→0；当a1时，a的值越大，图象越靠近y轴，递增的速度越快；当0a1时，a的值越小，图象越靠近y轴，递减的速度越快．2．画指数函数y＝ax的图象，应抓住三个关键点：(1，a)、(0,1)、(－1，1a)．3．熟记指数函数y＝10x，y＝2x，y＝(110)x，y＝(12)x，在同一坐标系中图象的相对位置，由此掌握指数函数图象的位置与底数大小的关系．4．在有关根式、分数指数幂的变形、求值过程中，要注意运用方程的观点处理问题，通过解方程(组)来求值，或用换元