等差数列专题

等差数列专题一、等差数列知识点回顾与技巧点拨1．等差数列的定义一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示．2．等差数列的通项公式若等差数列{an}的首项是a1，公差是d，则其通项公式为an＝a1＋(n－1)d＝(n－m)d＝p.3．等差中项如果三个数x，A，y组成等差数列，那么A叫做x和y的等差中项，如果A是x和y的等差中项，则A＝x＋y2.4．等差数列的常用性质(1)通项公式的推广：an＝am＋(n－m)d(n，m∈N*)．(2)若{an}为等差数列，且m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq(m，n，p，q∈N*)．(3)若{an}是等差数列，公差为d，则ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)是公差为md的等差数列．(4)数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是等差数列．(5)S2n－1＝(2n－1)an.(6)若n为偶数，则S偶－S奇＝nd2；若n为奇数，则S奇－S偶＝a中(中间项)．5．等差数列的前n项和公式若已知首项a1和末项an，则Sn＝na1＋an2，或等差数列{an}的首项是a1，公差是d，则其前n项和公式为Sn＝na1＋nn－12d.6．等差数列的前n项和公式与函数的关系Sn＝d2n2＋a1－d2n，数列{an}是等差数列的充要条件是Sn＝An2＋Bn(A，B为常数)．7．最值问题在等差数列{an}中，a1＞0，d＜0，则Sn存在最大值，若a1＜0，d＞0，则Sn存在最小值．一个推导利用倒序相加法推导等差数列的前n项和公式：Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an，①Sn＝an＋an－1＋…＋a1，②①＋②得：Sn＝na1＋an2.两个技巧已知三个或四个数组成等差数列的一类问题，要善于设元．(1)若奇数个数成等差数列且和为定值时，可设为…，a－2d，a－d，a，a＋d，a＋2d，….(2)若偶数个数成等差数列且和为定值时，可设为…，a－3d，a－d，a＋d，a＋3d，…，其余各项再依据等差数列的定义进行对称设元．四种方法等差数列的判断方法(1)定义法：对于n≥2的任意自然数，验证an－an－1为同一常数；(2)等差中项法：验证2an－1＝an＋an－2(n≥3，n∈N*)都成立；(3)通项公式法：验证an＝pn＋q；(4)前n项和公式法：验证Sn＝An2＋Bn.注：后两种方法只能用来判断是否为等差数列，而不能用来证明等差数列．回顾：1．已知等差数列{an}中，a3=9，a9=3，则公差d的值为（）A．B．1C．D．﹣12．已知数列{an}的通项公式是an=2n+5，则此数列是（）A．以7为首项，公差为2的等差数列B．以7为首项，公差为5的等差数列C．以5为首项，公差为2的等差数列D．不是等差数列3．在等差数列{an}中，a1=13，a3=12，若an=2，则n等于（）A．23B．24C．25D．264．两个数1与5的等差中项是（）A．1B．3C．2D．5．（2005•黑龙江）如果数列{an}是等差数列，则（）A．a1+a8＞a4+a5B．a1+a8=a4+a5C．a1+a8＜a4+a5D．a1a8=a4a5考点1:等差数列的通项与前n项和题型1：已知等差数列的某些项，求某项【解题思路】给项求项问题，先考虑利用等差数列的性质，再考虑基本量法【例1】已知na为等差数列，，则解：方法1：方法2：，方法3：令，则方法4：na为等差数列，也成等差数列，设其公差为，则为首项，20,86015aa75a154,156420598141160115dadaadaa2415474156474175daa1544582015601560aad241541520)6075(6075daabanan38,45162060815bababa24384516757575baa7560453015,,,,aaaaa1d15a60a为第4项.方法5：na为等差数列，三点共线对应练习：1、已知na为等差数列，（互不相等），求.2、已知个数成等差数列，它们的和为，平方和为，求这个数.题型2：已知前项和及其某项，求项数.【解题思路】⑴利用等差数列的通项公式求出及，代入可求项数；⑵利用等差数列的前4项和及后4项和求出，代入可求项数.【例2】已知为等差数列na的前项和，，求解：设等差数列的首项为，公差为，则对应练习：3、若一个等差数列的前4项和为36，后4项和为124，且所有项的和为780，求这个数列的项数.4.已知为等差数列na的前项和，，则.题型3：求等差数列的前n项和【解题思路】（1）利用求出，把绝对值符号去掉转化为等差数列的求和问题.438203111560dddaa2442016075daa),75(),,60(),,15(756015aaa2415204582060751560757560751560aaaaaaqapanm,knm,,ka551655nnSdnaan)1(11adnSnnaa1nSnnSn63,6,994nSaan1ad3,186893111dadada7,663)1(231821nnnnnSnnnSn100,7,141nSaannSna（2）含绝对值符号的数列求和问题，要注意分类讨论.【例3】已知为等差数列na的前项和，.（1）；⑵求；⑶求.解：，当时，，当时，，当时，，.由，得，当时，；当时，.（1）；⑵；（3）时，，当时，对应练习：5、已知为等差数列na的前项和，，求.nSn212nnSn321aaa10321aaaanaaaa321212nnSn1n1111211Sa2nnnnnnSSannn213)1()1(12)12(2211n1111213anan2130213nan213n61n0na7n0na27331223321321Saaaaaa)(10987632110321aaaaaaaaaaaa52)101012()6612(2222106SS61n232132112nnaaaaaaaann7n)(876321321nnaaaaaaaaaaa.7212)12()6612(222226nnnnSSnnSn10,10010010SS110S考点2：证明数列是等差数列【名师指引】判断或证明数列是等差数列的方法有：1、定义法：（，是常数）na是等差数列；2、中项法：()na是等差数列；3、通项公式法：（是常数）na是等差数列；4、项和公式法：（是常数，）na是等差数列.【例4】已知为等差数列na的前项和，.求证：数列是等差数列.解：方法1：设等差数列na的公差为，，（常数）数列是等差数列.方法2：，，，数列是等差数列.对应练习：6、设为数列na的前项和，，（1）常数的值；（2）证：数列是等差数列.daann1Nnd212nnnaaaNnbknanbk,BnAnSn2BA,0AnSn)(NnnSbnnnbddnnnaSn)1(211dnanSbnn)1(2112)1(2121111ddnandabbnnnbdnanSbnn)1(211ndabn2111dnabn)1(21121111222)1(21)1(21nnnbndadnadnabbnbnSn)(NnpnaSnn.21aapna考点3:等差数列的性质【解题思路】利用等差数列的有关性质求解.【例5】1、已知为等差数列na的前项和，，则；2、知为等差数列na的前项和，，则.解：1、；2、方法1：令，则.，，；方法2：不妨设.，；方法3：na是等差数列，为等差数列三点共线.nSn1006a11SnSn)(,mnnSmSmnnmS11001122112)(116611111aaaaSBnAnSn2nmmnBmnAnBmAmmBnAn)()(2222mn1)(BmnA)()()(2nmnmBnmASnmnmmnaanmaaaaaSSmnmmnnnnm2))((11321211mnnmaaaa)(2))((1nmaanmSnmnmnSnnmSnmmSmnSnnmmn,,,,,.对应练习：7、含个项的等差数列其奇数项的和与偶数项的和之比为（）8.设、分别是等差数列na、na的前项和，，则.考点4：等差数列与其它知识的综合【解题思路】1、利用与的关系式及等差数列的通项公式可求；2、求出后，判断的单调性.【例6】已知为数列na的前项和，；数列满足：，，其前项和为⑴数列na、的通项公式；⑵设为数列的前项和，，求使不等式对都成立的最大正整数的值.解：⑴，当时，；当时，当时，，；，是等差数列，设其公差为.则，)(nmSnmnnmSnmnmmnnmnm12n.Ann12.Bnn1.Cnn1.Dnn21nSnTn327nnTSnn55bananSnTnTnSnnnSn211212nb113bnnnbbb1229.153nbnTncn)12)(112(6nnnbac57kTnNnknnSn2112121n611Sa2n5)1(211)1(2121121221nnnnnSSannn1n1651a5nan222112nnnnnnbbbbbbnbd3,5153369112111dbdbdb.⑵，是单调递增数列.当时，对都成立所求最大正整数的值为.对应练习：9.已知为数列na的前项和，，.⑴数列na的通项公式；⑵数列na中是否存在正整数，使得不等式对任意不小于的正整数都成立？若存在，求最小的正整数，若不存在，说明理由.课后练习：1.(2010广雅中学)设数列是等差数列，且，，是数列的前项和，则A．B．C．D．2.在等差数列na中，，则.3.数列na中，，当数列na的前项和取得最小值时，.4.已知等差数列na共有项，其奇数项之和为，偶数项之和为，则其公差是.5.设数列中，，则通项.6.从正整数数列中删去所有的平方数，得到一个新数列，则这个新数列的第23)1(35nnbn1)23(211)5(26)12)(112(6nnbacnnn121121)12)(12(2nnnn1211)121121()7151()5131()311(nnnTnNnnT1n323111minTTn57kTnNn38573257minkkkTnk37nSn31a)2(21naSSnnnk1kkaakkna28a155anSnan1011SS1011SS910SS910SS1205a8642aaaa492nannnSn101030na112,1nnaaan