工程结构可靠度中非正态分布转为正态分布

1非正态分布基本变量的情况如果极限状态方程中的基本变量Xi是非正态随机变量，则需首先将非正态变量在一定的条件下等效为正态变量，即进行当量（或等效）正态化。2当量正态化条件：在设计验算点P*处非正态变量和当量正态变量的概率分布函数取值相等。（尾部面积相等）在设计验算点P*处非正态变量和当量正态变量的概率密度函数取值相等。（纵坐标相等）3如果随机变量Xi为极值I型分布变量：等效转换后的当量正态随机变量Xi的平均值和标准差分别为Xi′和Xi′，其概率分布函数和概率密度函数分别为Fxi′(x)和fXi′(x)。由条件①，*1''*''**'*iiiiiXFXXXFXFXiXiXiXiXiXiXi得4从而求得当量正态分布的平均值Xi′为'*1*'1iiiXiXiXXFX由条件②，2exp2112exp212''*'2'2'*'*'*iXiiXiXiiXiiXiXiiXiXXXXfXf5*'''*'1*'*'*1*''''1**11112iXXiiiXiiiXXXiiiXiiiXiXXiiiXXiXiiXiiXiXXFXXfXFXFXfX－－－又由公式的推导过程知＝所以有即得6对于非正态随机变量，以从公式(1),(2)求得的Xi′和Xi′分别代替Xi和Xi后，所有的随机变量现在都变成了正态分布随机变量，所以前述正态分布基本变量情况下求和设计验算点P*的公式和方法也就均可应用了。注意：当X*中仅有部分基本变量为非正态分布时，只需将这部分基本变量当量正态化。如果随机变量Xi为对数正态分布基本变量：将对数正态分布的Xi直接根据当量化处理的两个条件转化为当量正态分布。7iiiXiXiiiXiXiiXXyxXXxXXiysdyeyxXPxFxexxfXlnln2ln0ln2lnlnln210212ln2ln2ln2ln令：有服从对数正态分布，则因为8分布。态分布来计算对数正态从正因此可以利用式正态分布的分布函数，分布的分布函数化为了此式实际上将对数正态代入上式得则axdsexFdsydyiiiXiXiiXXxsXXaln21lnlnln2lnlnln2922**lnln22lnln'1***ln1*ln*ln*lnlnln22*ln*2lnln1122XiiiiiiiiiXiXiiXXiiiXiiXiiXXiXiXXiXXXXiiaFXfXXfXXfXeeXX－－由公式和ln3iX10'*1*'*ln*1'ln*ln*'ln*ln**lnln**ln1lnlnln1lniiiiiiiiiiiiiXiXiXXiXXXiXXXiiXXiiXaXFXXXXXXXXXX由公式、和上式411现在以从公式(3),(4)求得的Xi′和Xi′分别代替Xi和Xi后，即可将对数正态随机变量变成了正态分布随机变量，接着可按前述公式和方法求和设计验算点P*。根据以上的讨论，对于结构极限状态函数中包含多个正态或非正态基本变量的一般情况，只要知道了各基本变量的概率分布类型及统计参数，就可采用迭代法计算和设计验算点P*的坐标值。其计算框图如下：12已知:Xi(i=1,……n)的分布类型及统计参数xi,σxi，极限状态方程g(x1……xn)=0假定设计验算点P*的坐标值初值：Xi*(可取Xi*＝xi)对于非正态变量Xi，根据Xi*和公式(1),(2)求出xi′、σxi′以代替xi、σxi2121ˆ**||cosniXPiXPiXiiiXgXg求A13的坐标值即求出验算点代入坐标转换公式：将求得的*ˆ''*''ˆcos,.cosPXixxixiixixiix将设计验算点P*的坐标值Xi*代入极限状态方程以求出0,,,**2*1nXXXg|上次求出的－上次求出的|≤允许误差以本次求得的Xi*作为下次的取用值本次求得的和Xi*即为所求的可靠指标和设计验算点P*的坐标值是否A14由于是以Z的一阶原点矩和二阶中心矩表达的，且在计算时考虑了基本变量的分布类型，并采用了线性化的近似手段，因此这种结构可靠度的计算方法通常称为“考虑变量分布类型的一次二阶矩方法”。上面介绍的验算点方法是国际安全度联合委员会(JCSS)推荐采用的拉克维茨－菲斯勒法(Rackwitz－Fiessler)，所以简称JC法或R-F法。实际上不同的研究者提出了很多种验算点法，它们各有优缺点，其中我国大连理工大学的赵国藩院士也提出了一种验算点法，计算较JC法简单，计算精度也很高。15RF法算例1：极限状态方程为：EI-78.12P=0цE=2*10^7;бE=0.5*10^7;цI=10^-4;бI=0.2*10^-4;цP=4;бP=1;α=1.2825k=3.5499;161、EI正态分布、PI型分布m1=цE=2*10^7;n1=бE=0.5*10^7;m2=цI=10^-4;n2=бI=0.2*10^-4;m3=цP=4;n3=бP=1;c=α=1.2825;d=k=3.5499;Fm=exp(-exp(-c*(m3-d)));fm=c*(exp(-c*(m3-d))*exp(-exp(-c*(m3-d))));n31=normpdf(norminv(Fm,0,1),0,1)/fm;m31=m3-n31*norminv(Fm,0,1);17G=m1*m2-78.12*m3;K0=G/sqrt((m2*n1)^2+(m1*n2)^2+(n31*78.12)^2);18R=-m2*n1/sqrt((m2*n1)^2+(m1*n2)^2+(n31*78.12)^2);S=m1*n2/sqrt((m2*n1)^2+(m1*n2)^2+(n31*78.12)^2);T=n31*78.12/sqrt((m2*n1)^2+(m1*n2)^2+(n31*78.12)^2);19m12=m1+K0*n1*R;m22=m2+K0*S*n2;m32=m31+K0*T*n31;VE=(m12-m1)/n1;VI=(m22-m2)/n2;VP=(m32-m31)/n31;第一次迭代结束20第二次迭代首先将P的I型变量转为正态变量m1=m12;n1=0.5*10^7;m2=m22;n2=0.2*10^-4;m3=m32;n3=1;c=1.2825;d=3.5499;Fm=exp(-exp(-c*(m3-d)));fm=c*(exp(-c*(m3-d))*exp(-exp(-c*(m3-d))));n31=normpdf(norminv(Fm,0,1),0,1)/fm;m31=m3-n31*norminv(Fm,0,1);然后求KI（可靠度）G=m1*m2-78.12*m3;Q=G-m2*n1*VE-m1*n2*VI+78.12*n31*VP;K1=Q/sqrt((m2*n1)^2+(m1*n2)^2+(n31*78.12)^2);21最后计算新设计验算点的均值R=-m2*n1/sqrt((m2*n1)^2+(m1*n2)^2+(n31*78.12)^2);S=-m1*n2/sqrt((m2*n1)^2+(m1*n2)^2+(n31*78.12)^2);T=n3*78.12/sqrt((m2*n1)^2+(m1*n2)^2+(n31*78.12)^2);m12=2*10^7+K1*0.5*10^7*R;m22=10^-4+K1*S*0.2*10^-4;m32=m31+K1*T*n31;VE=(m12-m1)/n1;VI=(m22-m2)/n2;VP=(m32-m31)/n31;第1、2次迭代结果为22最后根据可靠度验算条件编程whileabs(K1-K0)0.003*K0m1=m12;n1=0.5*10^7;m2=m22;n2=0.2*10^-4;m3=m32;n3=1;c=1.2825;d=3.5499;K0=K1;Fm=exp(-exp(-c*(m3-d)));fm=c*(exp(-c*(m3-d))*exp(-exp(-c*(m3-d))));n31=normpdf(norminv(Fm,0,1),0,1)/fm;m31=m3-n31*norminv(Fm,0,1);G=m1*m2-78.12*m3;Q=G-m2*n1*VE-m1*n2*VI+78.12*n31*VP;K1=Q/sqrt((m2*n1)^2+(m1*n2)^2+(n31*78.12)^2);R=-m2*n1/sqrt((m2*n1)^2+(m1*n2)^2+(n31*78.12)^2);S=-m1*n2/sqrt((m2*n1)^2+(m1*n2)^2+(n31*78.12)^2);T=n3*78.12/sqrt((m2*n1)^2+(m1*n2)^2+(n31*78.12)^2);m12=2*10^7+K1*0.5*10^7*R;m22=10^-4+K1*S*0.2*10^-4;m32=m31+K1*T*n31;VE=(m12-m1)/n1;VI=(m22-m2)/n2;VP=(m32-m31)/n31;end23经过循环迭代结果为242、E正态、PII型分布这种组合先把PII型分布转为正太变量，用计算后的平均值、标准差求可靠度，因为内容太多就只写程序码和运算结果，不详细写了。m1=2*10^7;n1=0.5*10^7;m2=10^-4;n2=0.2*10^-4;m3=4;n3=1;c=1.2825;d=3.5499;Fm=exp(-exp(-c*(m2-d)));fm=c*(exp(-c*(m2-d))*exp(-exp(-c*(m2-d))));n21=normpdf(norminv(Fm,0,1),0,1)/fm;m21=m2-n21*norminv(Fm,0,1);Fm=exp(-exp(-c*(m3-d)));fm=c*(exp(-c*(m3-d))*exp(-exp(-c*(m3-d))));n31=normpdf(norminv(Fm,0,1),0,1)/fm;m31=m3-n31*norminv(Fm,0,1);G=m1*m2-78.12*m3;K0=G/sqrt((m21*n1)^2+(m1*n21)^2+(n31*78.12)^2);R=-m2*n1/sqrt((m21*n1)^2+(m1*n21)^2+(n31*78.12)^2);S=-m1*n21/sqrt((m21*n1)^2+(m1*n21)^2+(n31*78.12)^2);T=n31*78.12/sqrt((m21*n1)^2+(m1*n21)^2+(n31*78.12)^2);25第二次迭加m12=m1+K0*n1*R;m22=m21+K0*S*n21;m32=m31+K0*T*n31;VE=(m12-m1)/n1;VI=(m22-m21)/n21;VP=(m32-m31)/n31;m1=m12;n1=0.5*10^7;m2=m22;n2=0.2*10^-4;m3=m32;n3=1;c=1.2825;d=3.5499;Fm=exp(-exp(-c*(m2-d)