数学是什么

1第一章概述第一节数学是什么2一、数学的“定义”恩格斯：数学是研究现实世界中的数量关系与空间形式的一门科学。随着时间的推移，数学大大发展了，诸如事物的结构、数理逻辑等，都成为数学的研究对象；这些，似乎不能包含在上述定义中。人们在寻找数学的新“定义”。但是，要给数学下个定义，并不那么容易。至今难以有关于“数学”的、大家取得共识的“定义”。31．古今数学家的说法（美）R·柯朗（《数学是什么》）：“数学，作为人类智慧的一种表达形式，反映生动活泼的意念，深入细致的思考，以及完美和谐的愿望，它的基础是逻辑和直觉，分析和推理，共性和个性。”4（法）E·波莱尔：“数学是我们确切知道我们在说什么，并肯定我们说的是否对的唯一的一门科学。”（英）罗素：“数学是所有形如p蕴含q的命题的类”，而最前面的命题p是否对，却无法判断。因此“数学是我们永远不知道我们在说什么，也不知道我们说的是否对的一门学科。”51）哲学说2）符号说3）科学说4）工具说5）逻辑说6）创新说7）直觉说8）集合说9）结构说（关系说）10）模型说11）活动说12）精神说13）审美说14）艺术说15）万物皆数说2．数学的15个“定义”615个“定义”来自71）哲学说2）符号说3）科学说4）工具说5）逻辑说6）创新说7）直觉说8）集合说9）结构说（关系说）10）模型说11）活动说12）精神说13）审美说14）艺术说15）万物皆数说2．数学的15个“定义”8只讲解“哲学说”，其他只作一句话的解释，并请查资料。哲学说亚里士多德：“新的思想家把数学和哲学看作是相同的。”来自古希腊，亚里士多德、欧几里得等人。《几何原本》：点是没有部分的那种东西；线是没有宽度的长度牛顿在《自然哲学之数学原理》的序言中说，他是把这本书“作为哲学的数学原理的著作”，“在哲学范围内尽量把数学问题呈现出来”。9哲学是研究最广泛的事物，数学也是研究最广泛的事物，这是它们的共同点。但是，数学与哲学的研究对象不同，研究方法也不同。两者虽有相似之处，但数学不是哲学的一部分，哲学也不是数学的一部分。现在有人说“哲学从一门学科中退出，意味着这门学科的建立；而数学进入一门学科，就意味着这门学科的成熟。”10符号说：是说数学是一种高级语言，是符号的世界。科学说：是说数学是精密的科学，“数学是科学的皇后”。工具说：是说“数学是其它所有知识工具的源泉”。逻辑说：是说数学推理依靠逻辑，“数学为其证明所具有的逻辑性而骄傲。”11创新说：是说数学是一种创新，如发现无理数，提出微积分，创立非欧几何。直觉说：是说数学的基础是人的直觉，数学主要是由那些直觉能力强的人们推进的。集合说：是说数学各个分支的内容都可以用集合论的语言表述。结构说（关系说）：是强调数学语言、符号的结构方面及联系方面，“数学是一种关系学”。12模型说：是说数学就是研究各种形式的模型，如微积分是物体运动的模型，概率论是偶然与必然现象的模型，欧氏几何是现实空间的模型，非欧几何是非欧空间的模型。活动说：是说“数学是人类最重要的活动之一”。精神说：是说“数学不仅是一种技巧，更是一种精神，特别是理性的精神。”13审美说：是说“数学家无论是选择题材还是判断能否成功的标准，主要是美学的原则。”艺术说：是说“数学是一门艺术。”万物皆数说：是说数的规律是世界的根本规律，一切都可以归结为整数与整数比。14方延明：数学是研究现实世界中数与形之间各种形式模型的结构的一门科学。徐利治：数学是“实在世界的最一般的量与空间形式的科学，同时又作为实在世界中最具有特殊性、实践性及多样性的量与空间形式的科学”。回到恩格斯的定义：数学是研究（现实世界中的）数量关系与空间形式的一门科学。15[思]：请你在学习“数学文化”课的过程中，始终带着下面的问题——在学完“数学文化”课后，给出一个你自己对“数学”的定义。16二、数学的特点抽象性精确性应用的广泛性171．抽象性第一，数学的研究对象本身就是抽象的；第二，在数学的抽象中只保留量的关系和空间形式而舍弃了其他一切；第三，数学的抽象是一级一级逐步提高的，它们所达到的抽象程度大大超过了其它学科中的抽象；第四，核心数学主要处理抽象概念和它们的相互关系。182．精确性数学的精确性表现在数学推理的逻辑严格性和数学结论的确定无疑性。汉克尔说：“在大多数科学里，一代人要推倒另一代人所修筑的东西，只有数学，每一代人都能在旧建筑上增添一层新楼。”作为对照的三个例子：①电子管电路→半导体电路→集成电路②地心说→日心说→开普勒三定律③高温超导的上界（朱经武）30ºK→90ºK→120ºK→240ºK19关于“晶体的结构有多少种”的讨论曾经，许多物理学家、化学家、晶体学家给出了各不相同的结论。数学家介入以后，运用“群”的理论，得到了明确的答案：晶体的结构只能有240种。而且，数学家的推理是如此精确，让人信服，使得之后就不再有人去研究这一问题了，因为结论已经确定无疑。203．应用的广泛性华罗庚：宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之变，生物之谜，日用之繁，数学无处不在。例子：①哈雷彗星的发现；②海王星的发现；③电磁波的发现。21哈雷彗星的发现古时人们认为彗星的出现是不祥之兆，直到17世纪，英国天文学家哈雷开始计算彗星轨道时，发现1682年、1607年和1531年出现的彗星有相似的轨道，他判断这三颗彗星其实是同一颗彗星，并预言它将在1758年底或1759年初再次出现。1759年，这颗彗星果然出现了。虽然哈雷已在此前的1742年逝世，但为了纪念他，这颗彗星称为“哈雷彗星”。哈雷彗星的回归周期为76年，最近一次的回归是在1986年；下一次回归是在2062年。22海王星的发现这个太阳系最远的行星（之一），是1846年在数学计算的基础上发现的。天文学家分析了天王星运动的不规律性，推断出这是由其他行星的引力而产生的。勒未累计算出它应处的位置，观察员在指定位置发现了该行星。航海家2号拍摄,1989.8.23电磁波的发现英国物理学家麦克斯韦概括了由实验建立起来的电磁现象规律，把这些规律表述为“方程的形式”，用纯粹数学的方法推导出可能存在着电磁波并且这些电磁波应该以光速传播者。据此，他提出了光的电磁理论。此外，他的结论还推动了人们去寻找纯电起源的电磁波。24年后，德国物理学家赫兹在振荡放电实验中证实了电磁波的存在，不久，意大利的马可尼和俄国人波波夫又在此基础上独立地发明了无线电报。从此，电磁波走进了千家万户。24三、数学与其它领域的联系1.数学与教育数学对于受教育者，不仅仅是学会一门课程、一门知识、更重要的是学习数学的思想、方法、精神；把数学作为成才的基本素质要求。251）波利亚：“让我们教猜想吧！”波利亚还说：“在数学家证明一个定理之前，必须猜想到这个定理；在他完成证明的细节之前，必须先猜想出证明的主导思想。”事实上，教育并不总是在让学生认知，教育在很大程度上是让学生欣赏，只有这样，才有最佳的教育效益。262）作为数学教授的大学校长：丁石孙——北京大学苏步青——复旦大学谷超豪——中国科大潘承洞——山东大学齐民友——武汉大学伍卓群——吉林大学侯自新——南开大学李岳生——中山大学曹策问——郑州大学杨思明——湘潭大学展涛——山东大学黄达人——中山大学吴传喜——湖北大学周明儒——徐州师大王梓坤——北师大陆善镇——北师大王建磐——华东师大史宁中——东北师大路钢——华中师大邱玉辉——西南师大王国俊——陕西师大庾建设——广州大学房灵敏——西藏大学27大学校长是综合素质比较好的学者；众多大学校长都是数学教授，这也说明数学教育对人的综合素质的提高，影响很大。有些人把它叫做有趣的中国现象282）作为数学教授的大学校长：丁石孙——北京大学苏步青——复旦大学谷超豪——中国科大潘承洞——山东大学齐民友——武汉大学伍卓群——吉林大学侯自新——南开大学李岳生——中山大学曹策问——郑州大学杨思明——湘潭大学展涛——山东大学黄达人——中山大学吴传喜——湖北大学周明儒——徐州师大王梓坤——北师大陆善镇——北师大王建磐——华东师大史宁中——东北师大路钢——华中师大邱玉辉——西南师大王国俊——陕西师大庾建设——广州大学房灵敏——西藏大学29丁石孙：北京大学校长丁石孙：北京大学校长（1984-1989年）全国人大常委会副委员长，民盟中央名誉主席。汉族，1927年9月生，江苏镇江人，民盟成员、中共党员，1950年参加工作，清华大学数学系毕业，大学学历，教授。专长:代数、数论。30苏步青，复旦大学校长苏步青：复旦大学校长（1978-1983年）1902年生于浙江，2003年卒于上海。中国科学院院士。他是国际公认的几何学权威，我国微分几何学派的创始人。早在20年代，他的仿射不变的四次（三阶）的代数锥面，被命名为苏锥面。他的仿射微分几何的高水平工作，至今在国际数学界仍享有很高的评价。31谷超豪，中国科技大学校长谷超豪：中国科技大学校长简历：1926年生于浙江温州。1948年毕业于浙江大学数学系，1953年起在复旦大学任教，1957年赴前苏联莫斯科大学进修，获科学博士学位。历任复旦大学副校长和中国科技大学校长。1980年当选为中国科学院数学物理学部委员。专长偏微分方程、微分几何和数学物理。32潘承洞，山东大学校长潘承洞：山东大学校长（1986年-？）1934出生，江苏省苏州市人。1997年12月27日在济南病逝。中国科学院院士。1981年与其胞弟潘承彪合作编著的《哥德巴赫猜想》一书，为世界上第一本全面系统地论述哥德巴赫猜想研究工作的专著；1982年与王元、陈景润共同以哥德巴赫猜想的研究成果获国家自然科学一等奖。33齐民友，武汉大学校长齐民友：武汉大学校长（1988-1992年）1930年出生，1952年毕业于武汉大学数学系，并从事偏微分方程理论的研究。武汉大学博士导师。曾任国务院学位委员会数学组成员。中国数学会副理事长，湖北省数学会理事长。1984年起任武汉大学副校长，1988年任武汉大学校长。34李岳生，中山大学校长李岳生：中山大学校长（1984-1991年）1930年1月生，中山大学教授，博士生导师。曾任中山大学校长、计算机科学系主任、数学研究所所长；国务院学位委员会第二、三届学科评议组成员，从事常微分方程、计算数学、微分方程数值解法、样条函数与变分方法等方面的研究。35曹策问，郑州大学校长曹策问：郑州大学校长简历：1940年2月出生，湖南长沙人。1957年9月进入北京大学数学力学系数学专业学习；1963年9月在北京大学数学力学系读研究生；1979年3月任郑州大学数学系教师，1986年任教授；1987年2月任郑州大学副校长；1994年起任校长；；2003年1月任政协河南省第九届委员会副主席。专长：可积动力系统。36展涛，山东大学校长展涛，男，回族，1963年4月出生，山东兖州人，中共党员，理学博士，教授，博士生导师。1979年9月入山东大学数学系学习，先后获得学士、硕士、博士学位；1987年留校任教，先后被评聘为讲师、副教授、教授；1991年1月至1992年12月获德国洪堡基金会奖励基金，赴德国弗莱堡大学从事合作研究；1993年4月任山东大学数学系副主任；1995年3月任山东大学副校长；1996年12月任山东大学党委常委、副校长；2000年7月任山东大学党委常委、校长。37黄达人，中山大学校长黄达人，男，1945年4月生，浙江象山人。1962年至1968年就读于浙江大学数学系。1978年至1981年在浙江大学数学系读研究生，毕业后留校任教。1985年至1986年作为访问学者在美国南卡罗来纳大学数学系进修访问一年。1988年任浙江大学数学系教授。曾任浙江大学数学系副主任、范岁久医学图像实验室主任、教务处长、副教务长等职。1992年至1998年任浙江大学副校长。1998年11月调任中山大学常务副校长。1999年8月至今任中山大学校长。学术研究领域为函数逼近论、小波分析、信号和图像处理。38吴传喜，湖北大学吴传