SPH方法的基础认识

光滑粒子流体动力学(SPH)SmoothedParticlesHydrodynamistic--Ameshfreeparticlemethod光滑粒子流体动力学方法(SPH):是一种模拟流体流动的无网格、自适应的纯拉格朗日的粒子法。目录SPH的产生、发展与应用SPH方法的特点SPH基本方程的构造：场函数及导数的核近似法和粒子近似法SPH相关概念光滑函数的构造构造条件构造方法基于Navier-Stokers方程的SPH方程应用SPH近似法将Navier-Stokers方程进行空间离散为SPH方程形式。介绍SPH方法相关的主要数值问题。展望SPH的提出：SPH最初提出是用于解三维开放空间天体物理学问题，天体物理学中的一系列离散的行星物质点不适合用连续的基于网格的方法进行模拟，基于无网格的粒子法：SPH被提出。SPH的发展背景：在模拟流体动力学问题中传统的基于网格方法的如FDM和FEM存在明显的局限性，比如爆炸或高速冲击过程中存在的大变形、运动物质交界面、变形边界和自由表面的特性是基于网格的数值方法难以求解的。SPH的广泛应用：在SPH法中，系统的状态由一系列的粒子来描述，这些粒子包含着独自的材料性质，而且以牛顿经典力学作为控制方程，所以可以将流体这一连续介质离散为一系列的粒子来表示，通过追踪粒子的运动就可以容易得到整个物理系统的特性，所以确定自由表面、运动交界面和变形边界不在是一项艰难的工作，并且在材料上任意一点的场变量的时间历程也可以得到。所以SPH方法广泛应用于流体力学中。SPH的特点：无网格：问题域用粒子表示，将粒子作为场变量近似的计算框架，无需划分网格单元，更避免了网格扭曲与网格重构的麻烦。自适应：场函数核近似是在每一时间步当前时刻连续域内的任意粒子的基础上进行的，故SPH方程不受粒子随时间变化而任意分布的影响。拉格朗日性质与粒子性质的和谐结合：将粒子近似法应用于拉格朗日描述下的基于密度、速度、能量等变量场的偏微分方程组的离散。SPH基本方程的构造SPH基本方程的构造常按两个关键步：第一步为积分表示法，又称场函数及其导数核近似法；第二步为粒子近似法。第一步：核近似法xdhxxWxfxf),()()(W为光滑函数，需满足条件：第一个条件为正规化条件：1),(xdhxxW第二个条件是当光滑程度趋于零时具有狄拉克函数性质：)(),(lim0xxhxxWh第三个条件是紧支性条件：0),(hxxWhxx||是与点处光滑函数相关的常数，并确定光滑函数的有效范围（非零），此有效范围称作点处光滑函数的支撑域.场函数核近似：为三维坐标向量的函数；为包含的积分体积；为光滑长度。xxfxxh场函数的导数的核近似法:场函数导数的SPH积分表达式允许空间变量的梯度由场函数的值和光滑函数的导数来确定，而不是由函数本身的导数来确定，这种性质可以减少对场函数连续性的要求，结果稳定性更强。啊啊啊xdhxxWxfxf),()()(W第二步：粒子近似法：将SPH核近似法相关的连续积分表达式转化为支持域内所有粒子叠加求和的离散化形式：在粒子处的函数粒子近似式：啊),()()(1hxxWxfmxfjNjjjijjNjjjjWxfmxf)()(1i场函数空间导数的粒子近似式：),()()(1hxxWxfmxfjjNjjj在上述方程中，梯度W与粒子相关，故在粒子处的函数粒子近似式最终可写成：ij1)()(WxfmxfjNjjjiijijijijijijijjiijirWrxrWrxxW应当注意的是，在粒子近似法中，方程引入了粒子的质量和密度。对于密度是关于场变量的流体力学问题而言，这种方法非常适用。jiSPH相关概念支持域：域内所有的点的信息都被用于决定x处的点的信息。影响域：一个点对周围产生影响的范围。在无网格方法中，影响域只与节点有关，而支持域与任意位置点相关，作为一种粒子法，SPH方法旨在粒子上对场变量进行计算，也就是说，位置永远位于粒子（节点）上。因此，在SPH方法中，粒子同时具有支持域和影响域。xx光滑函数的构造光滑函数在SPH近似法中起着重要作用，它决定了函数表达式的精度和计算效率。一：光滑函数主要特性总结归纳如下：第一为正规化条件：第二为满足紧支性条件：此性质将SPH近似从全局坐标转换到局部坐标，这种转换将得到一系列稀疏矩阵，这对于计算效率非常重要。第三为在点上的粒子支持域内任意一点处有（非负性）光滑函数非负，确保对一些物理现象的物理意义的描述是非常重要的。第四为：当粒子间的距离增大时，粒子的光滑函数值应该是单调递减的。随着两个相互作用的粒子间距离增大，它们的相互作用力减小。1),(xdhxxW0),(hxxWhxx||xx0),(hxxWW第五为：当光滑长度趋向于0时，光滑函数应该满足狄拉克函数条件：此性质确保了当光滑长度趋向于0时，近似值趋向于函数值。第六为：光滑函数应为偶函数（对称性质）。此性质表示与给定粒子距离相同但不同位置上的粒子对给定粒子的影响应该是相同的。第七为：光滑函数应该充分光滑。对于一个函数及其导数的近似，光滑函数必须充分连续以得到好的结果。h)(),(lim0xxhxxWh二：函数和它的前两阶导数要达到阶近似，光滑函数用该满足：和1),(0xdhxxWM0),(1xdhxxWxxM）（0),(22xdhxxWxxM）（0),(33xdhxxWxxM）（0),(xdhxxWxxMnn）（n0),(shxxW0),(shxxW构造光滑函数及其相关问题假设光滑函数只取决于粒子间相对距离相关的多项式，那么在影响宽度是的支持域内就可以假设为以下形式：将代入光滑函数的条件方程组，从总的线性方程组中计算参数，函数就可以确定光滑函数。由此可以看出光滑函数的最终表达式可以作为函数及其导数的积分表达式中的通用权函数。相关问题：光滑函数的中心峰值非常重要，其决定了粒子本身对近似所做的贡献。若函数近似的最高精度为二阶，那么光滑函数矩越小，光滑函数的精度越高，光滑函数具有较大的中心峰值。hnnRaRaRaRaaRWhxxW332210)(,）（naaaaa,,,,,32,10W2M基于Navier-Stokers方程的SPH方程在广义流体力学中，运用SPH的核近似法和粒子近似法对Navier-Stokers方程进行空间离散化推导出适用于广义流体力学的SPH方程，可得到一系列与时间相关的常微分方程组，这一系列的常微分方程可通过对时间的积分求解。一：应用SPH近似法将Navier-Stokers方程进行空间离散为SPH方程形式。二：介绍SPH方法相关的主要数值问题。一：应用SPH近似法将Navier-Stokers方程进行空间离散为SPH方程形式质量守恒：密度法：连续性密度法：动量守恒：能量守恒：ijNjjiWm1NjijjjNjijjiWmWm11)(iijjiNjjjiixWvvmdtd)(1iijjiNjjixWvvmdtd)(1iijjjiiNjjiWmdtdv)(221jiiiiijijjijiNjjiuxWvppmdtde2211jiiiiijijjjiiNjjiuxWvppmdtde221221）（二：介绍SPH方法相关的主要数值问题。Monaghan人工粘度:处理冲击波为体重的低耗散和非物理穿透问题。可变化光滑长度：根据每个粒子自身的密度配置独立的光滑长度。粒子间相互作用的对称化:每个粒子具有独立的光滑长度，为保持粒子间相互作用对称性，需对光滑长度进行修正。人工压缩率：把不可压缩流体流体考虑为实际可压缩的，引进压力梯度。边界处理：1.补充边界上或临近边界处粒子的支持域内粒子数，减少粒子积分近似缺陷，故在布置时采用加密布置或多层布置；2.在固定边界分布一组虚粒子来阻止邻近边界粒子非物理穿透。展望SPH方法的应用范围非常广．由计算流体力学(CFD)到计算固体力学(CSM)．由微观、宏观到天文尺度．由离散系统到连续系统。在流体力学领域，SPH方法可以应用于模拟具有各种不同特性的流体问题，虽然SPH方法还处在起步和发展阶段，现在还没有得到广泛的应用，但是它的粒子性、自适应性等是其他数值模拟方法所无法比拟的。模拟计算方面：粒子的初始分布，光滑长度的选取等一些因素对计算结果影响较大，稍作变动，结果就随之变化。因此，需要在参数的选取对模拟结果影响上深入研究。SPH法的计时主要花费在相邻粒子的搜索与光滑长度的优化上，采用效率更高的搜索方法与优化方法还有长时间的探索，要将这种方法发展得像传统的基于网格的方法如FEM和FDM那样适用性广、实用价值高和有效性好，仍有待于更清楚认识SPH相关方法的稳定性、精度、收敛性以研究出新的算法。