5-高中数学解题思想方法讲座(数形结合)

1第五讲高中数学解题思想方法讲座---数形结合思想中学数学的基本知识分三类：一类是纯粹数的知识，如实数、代数式、方程（组）、不等式（组）、函数等；一类是关于纯粹形的知识，如平面几何、立体几何等；一类是关于数形结合的知识，主要体现是解析几何。数形结合是一个数学思想方法，包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面。数形结合的思想，其实质是将抽象的数学语言与直观的图像结合起来，关键是代数问题与图形之间的相互转化，它可以使代数问题几何化，几何问题代数化。在运用数形结合思想分析和解决问题时，要注意三点：第一要明白一些概念和运算的几何意义以及曲线的代数特征，对数学题目中的条件和结论既分析其几何意义又分析其代数意义；第二是恰当设参、合理用参，建立关系，由数思形，以形想数，做好数形转化；第三是正确确定参数的取值范围。数学中的知识，有的本身就可以看作是数形的结合。如：锐角三角函数的定义是借助于直角三角形来定义的；任意角的三角函数是借助于直角坐标系或单位圆来定义的。Ⅰ、预备性问题：1.设命题甲：0x5；命题乙：|x－2|3，那么甲是乙的（A）A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件2.若loga2logb20，则（B）A.0ab1B.0ba1C.ab1D.ba13.如果|x|≤π4,那么函数f(x)＝cos2x＋sinx的最小值是（D）A.212B.－212C.－1D.1224.如果奇函数f(x)在区间[3,7]上是增函数且最小值是5，那么f(x)的[-7,-3]上是（B）A.增函数且最小值为－5B.增函数且最大值为－5C.减函数且最小值为－5D.减函数且最大值为－55.设全集I＝{(x,y)|x,y∈R}，集合M＝{(x,y)|yx32＝1}，N＝{(x,y)|y≠x＋1}，那么()ICMN等于（B）A.φB.{(2,3)}C.(2,3)D.{(x,y)|y＝x＋16.方程sin(x–4)=41x的实数解的个数是(B)A.2B.3C.4D.以上均不对7.已知集合E＝{θ|cosθsinθ，0≤θ≤2π}，F＝{θ|tanθsinθ}，那么E∩F是（A）A.(π2,π)B.(π4,34π)C.(π,32π)D.(34π,54π)8.对于抛物线24yx上任一点Q，点(,0)Pa都满足PQa，则a的取值范围是（B）A.,0B.,2C.0,2D.0,229.如果实数x、y满足等式(x－2)2＋y2＝3，那么yx的最大值是（D）A.12B.33C.32D.310.已知f(x)=(x–a)(x–b)–2（其中a＜b)，且α、β是方程f(x)=0的两根（＜β)，则实数a、b、、β的大小关系为(A)A.＜a＜b＜βB.＜a＜β＜bC.a＜＜b＜βD.a＜＜β＜b【注】以上各题是历年的高考客观题，都可以借助几何直观性来处理与数有关的问题，即借助数轴、单位圆、方程曲线。Ⅱ、典型例题例1.解不等式2(25)(2)(3)0(1)(4)xxxxx说明：用数轴标根法解，解集为5431122xxxxx或或或例2.若不等式m|x－1|＋|x＋1|的解集是非空数集，求实数m的取值范围。例3.曲线y=1+24x(–2≤x≤2)与直线y=r(x–2)+4有两个交点时，实数r的取值范围.答案：（43,125）解析：方程y=1+24x的曲线为半圆，y=r(x–2)+4为过（2，4）的直线.例3.试证明同时满足条件：（1）0,abcd（2）adbc,（3）2222adbc的四个实数,,,abcd不存在！分析：根据等式2222adbc，可以构造同斜边的两个直角三角形，联想到直经上的圆周角是直角，那么直角三角形的直角顶点必在以公共的斜边好直经的半圆周上，如果在圆弧上找不到这样的直角顶点，则命题得证。例4.设A={x｜–2≤x≤a}，B={y｜y=2x+3，且x∈A}，C={z｜z=x2，且x∈A}，若CB，求实数a的取值范围.错解分析：考生在确定z=x2，x∈［–2,a］的值域是易出错，不能分类而论.巧妙观察图象将是上策.不能漏掉a＜–2这一种特殊情形.技巧与方法：解决集合问题首先看清元素究竟是什么，然后再把集合语言“翻译”为一般的数学语言，进而分析条件与结论特点，再将其转化为图形语言，利用数形结合的思想来解决.解：∵y=2x+3在［–2,a］上是增函数∴–1≤y≤2a+3，即B={y｜–1≤y≤2a+3}作出z=x2的图象，该函数定义域右端点x=a有三种不同的位置情况如下：3①当–2≤a≤0时，a2≤z≤4即C={z｜a2≤z≤4}要使CB,必须且只须2a+3≥4得a≥21与–2≤a＜0矛盾.②当0≤a≤2时，0≤z≤4即C={z｜0≤z≤4}，要使CB，由图可知：必须且只需20432aa解得21≤a≤2③当a＞2时，0≤z≤a2，即C={z｜0≤z≤a2}，要使CB必须且只需2322aaa解得2＜a≤3④当a＜–2时，A=此时B=C=，则CB成立.综上所述，a的取值范围是(–∞,–2)∪［21,3］.例5.若方程lg(－x2＋3x－m)＝lg(3－x)在x∈(0,3)内有唯一解，求实数m的取值范围。【分析】将对数方程进行等价变形，转化为一元二次方程在某个范围内有实解的问题，再利用二次函数的图像进行解决。【解】原方程变形为30332xxxmx即：30212xxm()设曲线y1＝(x－2)2,x∈(0,3)和直线y2＝1－m，图像如图所示。由图可知：①当1－m＝0时，有唯一解，m＝1;②当1≤1－m4时，有唯一解，即－3m≤0,∴m＝1或－3m≤0此题也可设曲线y1＝－(x－2)2＋1,x∈(0,3)和直线y2＝m后画出图像求解。【注】一般地，方程的解、不等式的解集、函数的性质等进行讨论时，可以借助于函数的图像直观解决，简单明了。此题也可用代数方法来讨论方程的解的情况，还可用分离参数法来求（也注意结合图像分析只一个x值）。例6.直线L的方程为：x＝－p2(p0),椭圆中心D(2＋p2,0)，焦点在x轴上，长半轴为2，短半轴为1，它的左顶点为A。问p在什么范围内取值，椭圆上有四个不同的点，它们中每一个点到点A的距离等于该点到直线L的距离？y4y=1-m1O23x4【分析】由抛物线定义，可将问题转化成：p为何值时，以A为焦点、L为准线的抛物线与椭圆有四个交点，再立方程组转化成代数问题（研究方程组解的情况）。【解】由已知得：a＝2，b＝1,A(p2,0)，设椭圆与双曲线方程并联立有：ypxxpy22222241[()]，消y得：x2－(4－7p)x＋(2p＋p24)＝0△0,得p13或p1结合范围(p2,4+p2)内两根，设f(x)＝x2－(4－7p)x＋(2p＋p24)，所以p2472p4+p2即p12，且f(p2)0、f(4+p2)0即p－4＋32。结合以上，所以－4＋32p13。【注】本题利用方程的曲线将曲线有交点的几何问题转化为方程有实解的代数问题。一般地，当给出方程的解的情况求参数的范围时可考虑应用“判别式法”，其中特别要注意解的范围。另外，“定义法”、“数形结合法”、“转化思想”、“方程思想”等知识都在本题进行了综合运用。例7.一条10寸长的线段，被随机的分成三段，求这三条线段能构成三角形的三条边的概率.解：设三段长分别为x,y,10-x-y则x0,y0,x+y10，即（x,y）在以（0,0）、（10,0），（0,10）为顶点的三角形内，此三角形面积为S1=50.又x,y,10-x-y要构成三角形的三条边，必须有x5,y5，x+y5，因此(x,y)在以x=5,y=5,x+y=5围成的三角形内，此三角形面积为S2=50.210.25sps所求概率为例8.某生物考察队共有15人，其中6人熟悉当地环境可当向导，现在要从这15人中选5人组成先遣队，要求其中至少有2名向导。问一共有多少种选法？分四类解，画出树图。例9.在长方体1AC中，己知1,,ABaADbAAc，且0abc，一个动点从点A在长方体表面上运动到点C1,试问动点的最短路径是多少？解：立体展开图，分三种情况比较，最短路径是2222abcbcⅢ、巩固性题组：1.已知5x＋12y＝60，则xy22的最小值是_______________2.已知集合P＝{(x,y)|y＝92x}、Q＝{(x,y)|y＝x＋b}，若P∩Q≠φ，则b的取值范围是_____3.方程2x＝x2＋2x＋1的实数解的个数是______________4.方程x＝10sinx的实根的个数是____________5.若方程x2－3ax＋2a2＝0的一个根小于1，而另一根大于1，则实数a的取值范围是______56.解不等式：xx22b－x7.设A＝{x|1x3}，又设B是关于x的不等式组xxaxbx2220250≤≤的解集，试确定a、b的取值范围，使得AB。8.定义域内不等式2x〉x＋a恒成立，求实数a的取值范围。9.已知函数y＝()x112＋()x592，求函数的最小值及此时x的值。10.若方程lg(kx)＝2lg(x＋1)只有一个实数解，求常数k的取值范围。